Folgende Herleitung zeigt, dass nicht nur %%\frac{\mathrm d H}{\mathrm d t} = \frac{\partial H}{\partial t}%% aus den Lagrange-Gleichungen hergeleitet werden können, sondern auch umgekehrt die Lagrange-Gleichungen aus dieser Gleichung der Energieerhaltung gewonnen werden kann. Damit ist es möglich, den Lagrange-Formalismus aus dem Grundsatz der Energieerhaltung zu gewinnen.

Herleitung

Die partielle Ableitung %%\frac{\partial H}{\partial t}%% gibt an, wie stark sich die Energie eines Systems ändert, wenn die Systemkonfiguration gleich bleibt. Dies ist die Energie, die in ein System hineingesteckt oder herausgenommen wird. Da innerhalb eines Systems die Energie erhalten bleibt, gilt:

$$\frac{\mathrm d H}{\mathrm d t} = \frac{\partial H}{\partial t}$$

Die Gesamtänderung der Energie eines Systems ist gleich Energieänderung durch außen. Nun gilt %%\frac{\partial H}{\partial t} = - \frac{\partial L}{\partial t}%% (Es fehlt noch eine Eklärung, warum dies intuitiv gilt, siehe Abschnitt „Offene Fragen“). Aus diesem Ansatz kann die Langrange-Gleichung 2. Art hergeleitet werden:

$$\begin{array}{rrl} & \frac{\mathrm d H}{\mathrm d t} & = \frac{\partial H}{\partial t} \\ \iff & \frac{\mathrm d H}{\mathrm d t} & = - \frac{\partial L}{\partial t} \\ \iff & \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(p\dot q - L) & = - \frac{\partial L}{\partial t} \\ \iff & \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(p\dot q) - \frac{\partial L}{\partial \dot q} \ddot q - \frac{\partial L}{\partial q} \dot q - \frac{\partial L}{\partial t} & = - \frac{\partial L}{\partial t} \\ \iff & \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}(p\dot q) - \frac{\partial L}{\partial \dot q} \ddot q - \frac{\partial L}{\partial q} \dot q & = 0 \\ \iff & \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\dot q\right) - \frac{\partial L}{\partial \dot q} \ddot q - \frac{\partial L}{\partial q} \dot q & = 0 \\ \iff & \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right)\dot q + \frac{\partial L}{\partial \dot q} \ddot q - \frac{\partial L}{\partial \dot q} \ddot q - \frac{\partial L}{\partial q} \dot q & = 0 \\ \iff & \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right)\dot q - \frac{\partial L}{\partial q} \dot q & = 0 \\ \iff & \frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot q}\right) - \frac{\partial L}{\partial q} & = 0 \\ \end{array}$$

Offene Fragen

  • Wieso ist intuitiv gesehen %%\frac{\partial H}{\partial t} = - \frac{\partial L}{\partial t}%%?
  • Wieso ist intuitiv gesehen %%H = \frac{\partial L}{\partial \dot q} \cdot q - L%%?
  • Die partielle Ableitungen in %%\frac{\partial H}{\partial t}%% und in %%\frac{\partial L}{\partial t}%% sind unterschiedlich. Bei %%\frac{\partial H}{\partial t}%% wird %%p%% und %%q%% konstant gehalten und in %%\frac{\partial L}{\partial t}%% sind %%\dot q%% und %%q%% konstant. Dies muss in der obigen Herleitung noch eingearbeitet werden. Weitere Infos zu diesem Punkt, siehe diese Physics Stackexchange Frage.
Kommentieren Kommentare