3Lösung 3b

Aufgabenstellung

$3.3.$ Ein Pharmaunternehmen hat einen Hauttest zum Nachweis einer Tierhaarallergie entwickelt. Im Rahmen einer klinischen Studie zeigt sich, dass der Hauttest bei einer aus der Bevölkerung Deutschlands zufällig ausgewählten Person mit einer Wahrscheinlichkeit von $\mathrm{39,5}39\{,\}5$ % ein positives Testergebnis liefert. Leidet eine Person an einer Tierhaarallergie, so ist das Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von $8585$ % positiv. Das Testergebnis ist jedoch bei einer Person, die nicht an einer Tierhaarallergie leidet, mit einer Wahrscheinlichkeit von $3535$ % ebenfalls positiv.

$aa$) Ermitteln Sie, welcher Anteil der Bevölkerung Deutschlands demnach allergisch auf Tierhaare reagiert. (4 BE)

Lösung

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von Ereignis $AA$ für den Fall, dass Ereignis $BB$ schon eingetreten ist. In mathematischer Schreibweise ausdrückt also die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_B(A)P\_B(A)$.

Nun gilt per Definition für bedingte Wahrscheinlichkeiten folgende Beziehung:

Aus dem Baumdiagramm der vorherigen Aufgabe lässt sich $P(B\cap A)P(B\backslash cap\; A)$ einfach ausrechnen. $P(B)P(B)$ ist bereits bekannt. Es folgt:

Antwort: Die Wahrscheinlichkeit, dass eine positiv getestete Person tatsächlich an einer Tierallergie leidet, beträgt ungefähr $1919$ Prozent.