3Lösung 2a

Aufgabenstellung

$22$Eine zweite Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunktion vom Typ $k:x\mapsto 5\cdot cos(c\cdot x)k:\; x\; \backslash mapsto\; 5\backslash cdot\; cos(c\backslash cdot\; x)$ mit $c\in \mathbb{R}c\backslash in\backslash mathbb\{R\}$ und Definitionsbereich $D_k=[-5;5]D\_k=[-5;5]$, bei der offensichtlich Bedingung II erfüllt ist.

Bestimmen Sie c so, dass auch Bedingung I erfüllt ist, und berechnen Sie damit den Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels. (5 BE)

(zur Kontrolle: $c=\frac{\pi }{10}c=\backslash frac\{\backslash pi\}\{10\}$, Inhalt der Querschnittsfläche: $\frac{100}{\pi }{m}^2\backslash frac\{100\}\{\backslash pi\}m^2$)

Aufgabenstellung

Bestimmung der Variable c

Die Bedingung I besagt, dass die Breite des Tunnels $10m10m$ betragen soll. Das heißt, der Abstand zwischen der Nullstelle links und rechts vom Ursprung muss auch $10m10m$ betragen und der Abstand einer der Nullstellen zum Ursprung genau $5m5m$.

Der Kosinus besitzt seine erste Nullstelle bei $\frac{\pi }{2}\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$. Also setzt man das "Innere" des Kosinus gleich $\frac{\pi }{2}\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}$.

Man erhält also das Kontrollergebnis für $cc$.

Flächeninhalt der Querschnittsfläche

Wegen Bedingung I weiß man, dass die Nullstellen bei $x=-5x=-5$ und $x=5x=5$ sind. Für die Fläche muss man die Funktion von der ersten bis zur zweiten Nullstelle integrieren.

${\int }_{-5}^{5}5\cdot cos(\frac{\pi }{10}\cdot x)dx=5{\int }_{-5}^{5}cos(\frac{\pi }{10}\cdot x)dx=5\cdot [sin(\frac{\pi }{10}\cdot x)\cdot \frac{10}{\pi }{]}_{-5}^5=5\cdot (sin(\frac{\pi }{10}\cdot 5)\cdot \frac{10}{\pi }-sin(\frac{\pi }{10}\cdot (-5))\cdot \frac{10}{\pi })=\frac{50}{\pi }\cdot (sin(\frac{\pi }{2})-sin(-\frac{\pi }{2}))=\frac{50}{\pi }\cdot (1-(-1))=\frac{50}{\pi }\cdot 2=\frac{100}{\pi }\backslash int\_\{-5\}^\{5\}\; 5\backslash cdot\; cos(\backslash frac\{\backslash pi\}\{10\}\backslash cdot\; x)\; dx\; =\; 5\backslash int\_\{-5\}^\{5\}\; cos(\backslash frac\{\backslash pi\}\{10\}\backslash cdot\; x)\; dx\; =\; 5\; \backslash cdot\; [sin(\backslash frac\{\backslash pi\}\{10\}\backslash cdot\; x)\backslash cdot\backslash frac\{10\}\{\backslash pi\}]\_\{-5\}^\{5\}=\; \backslash \backslash \; 5\backslash cdot\; (sin(\backslash frac\{\backslash pi\}\{10\}\backslash cdot\; 5)\backslash cdot\backslash frac\{10\}\{\backslash pi\}-sin(\backslash frac\{\backslash pi\}\{10\}\backslash cdot\; (-5))\backslash cdot\backslash frac\{10\}\{\backslash pi\})=\backslash frac\{50\}\{\backslash pi\}\; \backslash cdot\; (sin(\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\})-sin(-\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}))=\; \backslash frac\{50\}\{\backslash pi\}\; \backslash cdot\; (1-(-1))=\backslash frac\{50\}\{\backslash pi\}\; \backslash cdot2\; =\; \backslash frac\{100\}\{\backslash pi\}$

Damit hat man das Kontrollergebnis erhalten.