Löse die Bruchgleichung.
Tipp: Versuche die Nenner zu faktorisieren und kürze die Brüche anschließend.
Definitionsmenge bestimmen
Kein Nenner darf 0 werden, deshalb muss man bestimmte Werte ausschließen.
x−2=0⇔x=2
x+3=0⇔x=−3
6+2x=0⇔x=−3
6−3x=0⇔x=2
Es müssen die Zahlen 2 und −3 ausgeschlossen werden. Daher ist die Definitionsmenge D=Q\{−3;2}
Bruchgleichung lösen
Für diese Bruchgleichung muss man den Hauptnenner finden. Es bietet sich aber an, zuerst alle Nenner zu faktorisieren.
| x−22+x+34 | = | 6+2x6−6−3x3 | |
| ↓ | Die Nenner auf der linken Seite können nicht mehr faktorisiert werden, rechts allerdings schon. | ||
| x−22+x+34 | = | 2⋅(3+x)6−3⋅(2−x)3 | |
| ↓ | kürzen | ||
| x−22+x+34 | = | 3+x3−2−x1 | |
| ↓ | Nun kann man beim letzten Bruch das Minuszeichen vor dem Bruch mit dem Nenner verarbeiten, sodass sich dessen Summanden vertauschen. | ||
| x−22+x+34 | = | x+33+x−21 | |
Die Bausteine des Hauptnenners sind damit:
[x−2]
[x+3]
Mit dem Hauptnenner muss nun multipliziert werden und gleich gekürzt werden.
| 2⋅(x+3)+4⋅(x−2) | = | 3⋅(x−2)+1⋅(x+3) | |
| ↓ | Ausmultiplizieren | ||
| 2x+6+4x−8 | = | 3x−6+x+3 | |
| ↓ | Terme zusammenfassen | ||
| 6x−2 | = | 4x−3 | +2−4x |
| 2x | = | −1 | :2 |
| x | = | −21 | |
Da −21 in der Definitionsmenge liegt, lautet die Lösungsmenge::
L={−21}
