Aufgaben zu Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen führen

Löse die Bruchgleichung.

\displaystyle \frac2{x-2}+\frac4{x+3}=\frac6{6+2x}-\frac3{6-3x}

Tipp: Versuche die Nenner zu faktorisieren und kürze die Brüche anschließend.

Kein Nenner darf $0$ werden, deshalb muss man bestimmte Werte ausschließen.

$x-2=0\Leftrightarrow x=2$

$x+3=0\Leftrightarrow x=-3$

$6+2x=0\Leftrightarrow x=-3$

$6-3x=0 \Leftrightarrow x=2$

Es müssen die Zahlen $2$ und $- 3$ ausgeschlossen werden. Daher ist die Definitionsmenge $D=\mathbb{Q}\backslash\{-3;2\}$

Für diese Bruchgleichung muss man den Hauptnenner finden. Es bietet sich aber an, zuerst alle Nenner zu faktorisieren.

$\displaystyle \frac{2}{x-2}+\frac{4}{x+3}$	$=$	$\displaystyle \frac{6}{6+2x}-\frac{3}{6-3x}$
	↓	Die Nenner auf der linken Seite können nicht mehr faktorisiert werden, rechts allerdings schon.
$\displaystyle \frac{2}{x-2}+\frac{4}{x+3}$	$=$	$\displaystyle \frac{6}{2\cdot\left(3+x\right)}-\frac{3}{3\cdot\left(2-x\right)}$
	↓	kürzen
$\displaystyle \frac{2}{x-2}+\frac{4}{x+3}$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{3+x}-\frac{1}{2-x}$
	↓	Nun kann man beim letzten Bruch das Minuszeichen vor dem Bruch mit dem Nenner verarbeiten, sodass sich dessen Summanden vertauschen.
$\displaystyle \frac{2}{x-2}+\frac{4}{x+3}$	$=$	$\displaystyle \frac{3}{x+3}+\frac{1}{x-2}$

Die Bausteine des Hauptnenners sind damit:

Mit dem Hauptnenner muss nun multipliziert werden und gleich gekürzt werden.

$\displaystyle 2\cdot\left(x+3\right)+4\cdot\left(x-2\right)$	$=$	$\displaystyle 3\cdot\left(x-2\right)+1\cdot\left(x+3\right)$
	↓	Ausmultiplizieren
$\displaystyle 2x+6+4x-8$	$=$	$\displaystyle 3x-6+x+3$
	↓	Terme zusammenfassen
$\displaystyle 6x-2$	$=$	$\displaystyle 4x-3$	$\displaystyle +2-4x$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle -1$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{2}$

Da $-\frac12$ in der Definitionsmenge liegt, lautet die Lösungsmenge::

$L=\{-\frac12\}$

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