A I - lernen mit Serlo!

4.0 Ein Planschbecken soll entsprechend folgender Skizze hergestellt werden, wobei der Boden und die Wand luftgefüllte Hohlkammern mit einer Dicke von 10 cm sind. Die Summe aus Radius R und Höhe h soll konstant 90 cm betragen.

4.1 Stellen Sie eine Gleichung der Funktion V auf, welche die Maßzahl des Volumens des mit Luft gefüllten Teils des Planschbeckens in Abhängigkeit von R beschreibt. (6 BE)

[Mögliches Ergebnis: $V(R)=\pi(-10R^2+1700R-8000)$ ]

4.2 Mit der Vorgabe $10<R\le55$ soll die Funktion $V:R\mapsto V(R)$ den absolut größten Wert annehmen. Berechnen Sie für diesen Fall die maximale Füllhöhe des Planschbeckens. (5 BE)

Lösung zur Teilaufgabe 4.1

Für diese Teilaufgabe solltest du als Vorwissen die Formel für das Volumen einer Zylinders mitbringen (oder wissen, wo du sie nachschauen kannst). Außerdem solltest du sicher Klammern ausmultiplizieren können.

Der mit Luft gefüllte Teil des Planschbeckens ist der große Zylinder abzüglich der mit Wasser gefüllte kleine Zylinder.

$\displaystyle V_{Luft}$	$=$	$\displaystyle V_{gr.Zylinder}-V_{kl.Zylinder}$
	↓	Setze die Formeln für das Zylindervolumen ein. (Das Wort Zylinder wird nun mit ZL abgekürzt).
	$=$	$\displaystyle \pi r_{gr.ZL}^2h_{gr.ZL}-\pi r_{kl.ZL}^2h_{kl.ZL}$
	↓	Überlege dir aus der Zeichnung die Werte $r_{gr. ZY}$ , $h_{gr. ZY}$ , $r_{kl. ZY}$ und $h_{kl. ZY}$ .
$\displaystyle r_{gr.ZY}$	$=$	$\displaystyle R$
$\displaystyle h_{gr.ZY}$	$=$	$\displaystyle h$
$\displaystyle r_{kl.ZY}$	$=$	$\displaystyle R-10$
$\displaystyle h_{kl.ZY}$	$=$	$\displaystyle h-10$
$\displaystyle \Rightarrow\ V_{Luft}$	$=$	$\displaystyle \pi R^2h-\pi(R-10)^2(h-10)$

Dein Ergebnis soll nur von R abhängen. Also verwendest du die Angabe in der Aufgabenstellung $h + R = 90$ , um alle $h$ 's in Abhängigkeit von $R$ 's auszudrücken.

$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 90-R$
	↓	Setze das in die Formel ein.
	$=$	$\displaystyle \pi R^2(90-R)-\pi(R-10)^2((90-R)-10)$
	↓	Multipliziere die erste Klammer aus. Vereinfache die letzte Klammer.
	$=$	$\displaystyle \pi(90R^2-R^3)-\pi(R-10)^2(80-R)$
	↓	Verwende die binomische Formel, um das Quadrat aufzulösen.
	$=$	$\displaystyle \pi(90R^2-R^3)-\pi(R^2-20R+100)(80-R)$
	↓	Multipliziere die hinteren beiden Klammern aus.
	$=$	$\displaystyle \pi(90R^2-R^3)-\pi(80R^2-1600R+8000-R^3+20R^2-100R)$
	↓	Klammere $π \pi$ aus.
	$=$	$\displaystyle \pi\left[90R^2-R^3-(80R^2-1600R+8000-R^3+20R^2-100R)\right]$
	↓	Löse die runde Klammer auf, indem du jedes Vorzeichen innerhalb umdrehst.
	$=$	$\displaystyle \pi\left[90R^2-R^3-80R^2+1600R-8000+R^3-20R^2+100R\right]$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \pi(-10R^2+1700R-8000)$

Das Ergebnis ist also $V(R)=\pi(-10R^2+1700R-8000)$ .

Lösung zur Teilaufgabe 4.2

Für diese Teilaufgabe solltest du Eigenschaften von Parabeln kennen.

Bei Graphen zu $V (R)$ handelt es sich um eine nach unten geöffnete Parabel, da der höchste Exponent 2 ist und der Leitkoeffizient negativ ist.

Den maximalen Wert kannst du ermitteln, indem die Ableitung bildest und sie gleich Null setzt (du gehst also so vor wie immer, um ein Extremum zu bestimmen):

$\displaystyle V'(R)$	$=$	$\displaystyle \pi(-10\cdot2R+1700)$
	$=$	$\displaystyle \pi(-20R+1700)$
	↓	Setze die Ableitung gleich Null.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \pi(-20R+1700)$	$\displaystyle :\pi$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -20R+1700$	$\displaystyle -1700$
$\displaystyle -1700$	$=$	$\displaystyle -20R$	$\displaystyle :\left(-20\right)$
$\displaystyle R$	$=$	$\displaystyle 85$

Du weißt nun, dass der Scheitel der Parabel (deren Maximum) bei $R = 85$ liegt.

Du sollst allerdings den maximalen Wert im Bereich $10<R\le55$ herausfinden. Es handelt sich um eine nach unten geöffnete Parabel, also erhält man für den Wert $R = 55$ ein größeres Volumen.

Wenn man $R = 55$ hat, dann kann man die Bedingung $h + R = 90$ verwenden:

$\displaystyle h+R$	$=$	$\displaystyle 90$	$\displaystyle -R$
	↓	Löse nach $h$ auf.
$\displaystyle h$	$=$	$\displaystyle 90-R$
	↓	Setze den Wert für $R$ ein.
	$=$	$\displaystyle 90-55$
	$=$	$\displaystyle 35$

Nun bist du noch nicht ganz fertig, weil nicht nach der gesamten Höhe des Planschbeckens gefragt ist, sondern nur nach der maximalen Füllhöhe, die $10$ cm weniger beträgt. Ziehe also noch $10$ cm von deinem Ergebnis ab.

$h_{Füllhöhe}=h_{gesamt}-10=35-10=25$

Die Füllhöhe für das maximale Luftvolumen $V (R)$ im angegebenen Intervall für $R$ beträgt $25$ cm.

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