A I

Grundsätzlich gibt es mehrere Methoden, Nullstellen einer Funktion zu ermitteln: Ausklammern und Satz vom Nullprodukt, Polynomdivision, Substitution und für quadratische Funktionen die Mitternachtsformel.

Für diese Aufgabe kannst du Ausklammern und anschließend dank dem Satz vom Nullprodukt die Mitternachtsformel verwenden. Außerdem musst du wissen, wie man die Vielfachheit einer Nullstelle bestimmt.

$f(x)=-\frac{1}{4}(x^3+8x^2+16x)f(x)=-\backslash frac\{1\}\{4\}(x^3+8x^2+16x)$

Klammere den Faktor $xx$ aus.

$f(x)=-\frac{1}{4}x(x^2+8x+16)f(x)=-\backslash frac\{1\}\{4\}x(x^2+8x+16)$

Setze beide Faktoren nach dem Satz vom Nullprodukt gleich Null.

$-\frac{1}{4}x=0\mathrm{\mid }:(-\frac{1}{4})-\backslash frac\{1\}\{4\}x=0\backslash qquad\; |:(-\backslash frac\{1\}\{4\})$

und

$x^2+8x+16=0x^2+8x+16=0$

Löse die erste Gleichung nach $xx$ auf, indem du durch $-\frac{1}{4}-\backslash frac14$ teilst.

Löse die zweite Gleichung auf, indem du in die Mitternachtsformel einsetzt.

$x_1=0x\_1=0$

$x_{2\mathrm{/}3}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4\cdot 1\cdot 16}}{2\cdot 1}=\frac{-8\pm \sqrt{64-64}}{2}=\frac{-8\pm 0}{2}=-4}x\_\{2/3\}=\backslash displaystyle\backslash frac\{-b\backslash pm\backslash sqrt\{b^2-4ac\}\}\{2a\}=\backslash frac\{-8\backslash pm\backslash sqrt\{8^2-4\backslash cdot\; 1\backslash cdot\; 16\}\}\{2\backslash cdot\; 1\}=\backslash frac\{-8\backslash pm\backslash sqrt\{64-64\}\}\{2\}=\backslash frac\{-8\backslash pm0\}\{2\}=-4$

Damit erhält man eine einfache Nullstelle bei $x_1=0x\_1=0$ und eine doppelte Nullstelle bei $x_{2\mathrm{/}3}=-4x\_\{2/3\}=-4$.

Vorgehen

Für die Bestimmung der maximalen Monotonieintervalle musst du die erste Ableitung bilden und gleich Null setzen. Anschließend kannst du mit Hilfe einer Vorzeichenwechseltabelle die Art der Extrema bestimmen. Wenn du abschließend noch die ermittelten $xx$-Werte in die Funktion einsetzt, erhälst du auch die $yy$-Koordinaten und damit die Lage der Extrema.

Maximale Monotonieintervalle

Ableitung bilden

Die Ableitung der Funktion bildest du, indem du das Gesetz für die Ableitung von Potenzenfunktionen verwendest.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{4}(3x^2+8\cdot 2x+16)=-\frac{1}{4}(3x^2+16x+16)f\text{'}(x)=-\backslash frac14(3x^2+8\backslash cdot\; 2x+16)=-\backslash frac14(3x^2+16x+16)$

Nullstellen der Ableitung

Dazu setzt du die Ableitung gleich Null:

$-\frac{1}{4}(3x^2+16x+16)=0\mathrm{\mid }:(-\frac{1}{4})-\backslash frac\{1\}\{4\}(3x^2+16x+16)=0\backslash qquad\; |:(-\backslash frac\{1\}\{4\})$

Teile durch den Vorfaktor.

$3x^2+16x+16=03x^2+16x+16=0$

Löse die quadratische Gleichung entweder Einsetzen in die Mitternachtsformel.

$x_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{-16\pm \sqrt{{16}^2-4\cdot 3\cdot 16}}{2\cdot 3}=\frac{-16\pm \sqrt{64}}{6}}x\_\{1/2\}=\backslash displaystyle\backslash frac\{-16\backslash pm\backslash sqrt\{16^2-4\backslash cdot3\backslash cdot16\}\}\{2\backslash cdot3\}=\backslash frac\{-16\backslash pm\backslash sqrt\{64\}\}\{6\}$

Maximale Monotonieintervalle

Damit sind die Grenzen der Monotonieintervalle $x=-4x=-4$ und $x=-\frac{4}{3}x=-\backslash frac43$. Schreibe die dadurch abgetrennten Intervalle in Intervallschreibweise. Achte darauf, dass die Nullstellen ausgeschlossen sein müssen.

$]-\mathrm{\infty };-4[]-\backslash infty;-4[\backslash quad$ und $]-4;-\frac{4}{3}[\backslash quad]-4;-\backslash frac43[\backslash quad$ und $]-\frac{4}{3};\mathrm{\infty }[\backslash quad]-\backslash frac43;\backslash infty[$

Art der Extrema

Dafür fertigst du eine Vorzeichenwechseltabelle (Monotonietabelle) an:

Bei $x=-4x=-4$ ist ein Tiefpunkt und bei $x=-\frac{4}{3}x=-\backslash frac43$ ist ein Hochpunkt.

Lage der Extrema

Setze dazu die ermittelten $xx$-Werte in die Funktion ein:

$f(-4)=-\frac{1}{4}((-4{)}^3+8(-4{)}^2+16(-4))=0f(-4)=-\backslash frac14\; ((-4)^3+8(-4)^2+16(-4))=0$

$f(-\frac{4}{3})=-\frac{1}{4}((-\frac{4}{3}{)}^3+8(-\frac{4}{3}{)}^2+16(-\frac{4}{3}))=\frac{64}{27}f(-\backslash frac43)=-\backslash frac14\; ((-\backslash frac43)^3+8(-\backslash frac43)^2+16(-\backslash frac43))=\backslash frac\{64\}\{27\}$

Damit weiß man, dass bei $(-4\mathrm{\mid }0)(-4|0)$ ein Tiefpunkt und bei $(-\frac{4}{3}\mathrm{\mid }\frac{64}{27})(-\backslash frac43|\backslash frac\{64\}\{27\})$ ein Hochpunkt liegt.

Die Steigung wird durch die Ableitungsfunktion dargestellt. Will man nun die Stelle mit maximaler Steigung ermitteln, sucht man das Extremum der Ableitung. Um dieses herauszufinden, geht man genauso vor, wie bei dem Extremum einer Funktion (Extrema berechnen). Man leitet einmal ab und setzt das Ergebnis gleich Null. Nur diesmal handelt es sich bei dem Abzuleitendem bereits um die Ableitung.

Du bildest also die Ableitung der Ableitung (Ableitung von Potenzenfunktionen), also die zweite Ableitung:

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\frac{1}{4}(3\cdot 2x+16)=-\frac{1}{4}(6x+16)f\text{'}\text{'}(x)=-\backslash frac14(3\backslash cdot\; 2x+16)=-\backslash frac14(6x+16)$

Diese setzt du gleich Null:

$-\frac{1}{4}(6x+16)=0\mathrm{\mid }:(-\frac{1}{4})-\backslash frac\{1\}\{4\}(6x+16)=0\backslash qquad\; |:(-\backslash frac\{1\}\{4\})$

Teile durch den Vorfaktor.

$6x+16=0\mathrm{\mid }-166x+16=0\backslash qquad\; |-16$

Isoliere $xx$ auf einer Seite.

$6x=-16\mathrm{\mid }:66x=-16\backslash qquad\; |:6$

Teile durch den Faktor.

$x=-\frac{16}{6}=-\frac{8}{3}x=-\backslash frac\{16\}\{6\}=-\backslash frac\{8\}\{3\}$

Jetzt kennst du die Stelle, an der die Steigung extrem ist. Um zu erkennen, dass es sich um ein Maximum handelt, kannst du eine weitere Ableitung bilden und den Wert einsetzen:

Nachdem dieser Wert unabhängig vom $xx$-Wert kleiner als $00$ ist, muss es sich um ein Maximum haben. Alternativ hättest du dir auch eine Vorzeichenwechseltabelle (Monotonietabelle) anschauen können.

Nachdem du nun auch weißt, dass es sich um ein Maximum handelt, kannst du den Wert dieser Steigung noch genau ausrechnen, indem du den $xx$-Wert in die Ableitung einsetzt:

$f^{\mathrm{\prime }}(-\frac{8}{3})=-\frac{1}{4}(3((-\frac{8}{3}{)}^2+16(-\frac{8}{3})+16)=\frac{4}{3}f\text{'}(-\backslash frac83)=-\backslash frac14(3((-\backslash frac83)^2+16(-\backslash frac83)+16)=\backslash frac43$

Die maximal positive Steigung des Graphen $G_{f}G\_f$ beträgt $\frac{4}{3}\backslash frac43$.

Um einen Graphen zu zeichnen, bietet es sich an, eine Wertetabelle zu erstellen.

Wertetabelle

Merkmale

Du sollst den Graphen unter "Kennzeichnung bisheriger Ergebnisse" zeichnen, deswegen solltest du folgende Merkmale einzeichnen

• einfache Nullstelle bei $x=0x=0$

• doppelte Nullstelle bei $x=-4x=-4$ und gleichzeitig Tiefpunkt bei $(-4\mathrm{\mid }0)(-4|0)$

• Hochpunkt bei $(-\frac{4}{3}\mathrm{\mid }\frac{64}{27})(-\backslash frac43|\backslash frac\{64\}\{27\})$

• Wendepunkt bei $x=-\frac{8}{3}x=-\backslash frac83$, da hier der Ort maximaler Steigung ist

Graph

Hierfür musst du in der Lage sein, ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen aufzulösen.

Durch die angegebenen Punkte kannst du drei Gleichungen aufstellen, indem du jeweils den $xx$- und $yy$-Wert in die allgemeine Form einer quadratischen Funktion einsetzt:

$(I)(I)$ $a(-6{)}^2+b(-6)+c=6a(-6)^2+b(-6)+c=6$

$(II)(II)$ $a(-2{)}^2+b(-2)+c=-2a(-2)^2+b(-2)+c=-2$

$(III)(III)$ $a\cdot 1^2+b\cdot 1+c=\mathrm{2,5}a\backslash cdot\; 1^2+b\backslash cdot\; 1+c=2\{,\}5\backslash \backslash$

Vereinfache die einzelnen Gleichungen.

$(I)(I)$ $36a-6b+c=636a-6b+c=6$

$(II)(II)$ $4a-2b+c=-24a-2b+c=-2$

$(III)(III)$ $a+b+c=\mathrm{2,5}a+b+c=2\{,\}5\backslash \backslash$

Löse eine der Gleichungen nach einer der Variablen auf. Zum Beispiel Gleichung $(I)(I)$ nach $cc$.

$(I^{\mathrm{\prime }})(I\text{'})$ $c=6-36a+6bc=6-36a+6b\backslash \backslash$

Setze den Term für $cc$ in $(II)(II)$ und $(III)(III)$ ein.

$(I{I}^{\mathrm{\prime }})(II\text{'})$ $4a-2b+(6-36a+6b)=-24a-2b+(6-36a+6b)=-2$

$(I{I}^{\mathrm{\prime }})(II\text{'})$ $-32a+4b+6=-2-32a+4b+6=-2\backslash \backslash$

$(II{I}^{\mathrm{\prime }})(III\text{'})$ $a+b+(6-36a+6b)=\mathrm{2,5}a+b+(6-36a+6b)=2\{,\}5$

$(II{I}^{\mathrm{\prime }})(III\text{'})$ $-35a+7b+6=\mathrm{2,5}-35a+7b+6=2\{,\}5$

$(II{I}^{\mathrm{\prime }})(III\text{'})$ $-35a+7b=-\mathrm{3,5}\mathrm{\mid }:7-35a+7b=-3\{,\}5\backslash quad|:7$

$(II{I}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})(III\text{'}\text{'})$ $-5a+b=-\mathrm{0,5}-5a+b=-0\{,\}5\backslash \backslash$

Löse eine weitere Gleichung nach einer Variablen auf. Zum Beispiel Gleichung $(I{I}^{\mathrm{\prime }})(II\text{'})$ nach $bb$.

$(I{I}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})(II\text{'}\text{'})$ $4b=-8+32a4b=-8+32a$

$(I{I}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})(II\text{'}\text{'})$ $b=-2+8ab=-2+8a\backslash \backslash$

Setze das Ergebnis für $bb$ in Gleichung $(II{I}^{\mathrm{\prime }})(III\text{'})$ ein.

$(II{I}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})(III\text{'}\text{'})$ $-5a+(-2+8a)=-\mathrm{0,5}-5a+(-2+8a)=-0\{,\}5$

$(II{I}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }})(III\text{'}\text{'})$

Setze den Wert für $aa$ in $bb$ ein.

$b=-2+8\cdot \mathrm{0,5}=-2+4=2b=-2+8\backslash cdot\; 0\{,\}5=-2+4=2\backslash \backslash$

Setze die Werte für $aa$ und $bb$ in den Ausdruck für $cc$ ein.

$c=6-36\cdot \mathrm{0,5}+6\cdot 2=0c=6-36\backslash cdot0\{,\}5+6\backslash cdot2=0$

Wenn du diese Werte wieder in die allgemeine Form der quadratischen Gleichung einsetzt, erhältst du

Zum Zeichnen eines Graphen kannst du eine Wertetabelle anfertigen.

Für die Lösung dieser Teilaufgabe solltest du wissen, wie du den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen ausrechnest.

Markierung des linken endlichen Flächenstücks

Das gesuchte Flächenstück ist in Orange markiert.

Berechnung des Flächeninhalts

Den Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen berechnet man mithilfe eines Integrals.

Die Grenzen des Integrals dürfen abgelesen werden, es handelt sich um die $xx$-Werte der Schnittpunkte der beiden Graphen:

Der linke Schnittpunkt liegt bei $x=-6x=-6$, der rechte bei $x=-4x=-4$.

Nun kann man in die Formel für die Flächenberechnung zwischen zwei Graphen einsetzen:

Die Reihenfolge von $f(x)f(x)$ und $p(x)p(x)$ ist egal, solange man an Betragsstriche denkt. Lässt man diese weg, muss man darauf achten, dass man den unteren Graphen vom oberen abzieht.

${\displaystyle \mid {\int }_a^b(f(x)-p(x))\mathrm{d}x\mid }\backslash displaystyle\backslash left|\backslash int\_a^b\backslash left(f(x)-p(x)\backslash right)\backslash mathrm\{d\}x\backslash right|$

Setze die Werte ein.

${\displaystyle \mid {\int }_{-6}^{-4}(-\frac{1}{4}(x^3+8x^2+16x)-(\mathrm{0,5}{x}^2+2x))\mathrm{d}x\mid }\backslash displaystyle\backslash left|\backslash int\_\{-6\}^\{-4\}\backslash left(-\backslash frac14\; (x^3+8x^2+16x)-(0\{,\}5x^2+2x)\backslash right)\backslash mathrm\{d\}x\backslash right|$

Vereinfache.

${\displaystyle \mid {\int }_{-6}^{-4}(-\frac{1}{4}{x}^3-\mathrm{2,5}{x}^2-6x)\mathrm{d}x\mid }\backslash displaystyle\backslash left|\backslash int\_\{-6\}^\{-4\}\backslash left(-\backslash frac14\; x^3-2\{,\}5x^2-6x\backslash right)\backslash mathrm\{d\}x\backslash right|$

Bilde die Stammfunktion.

Der Flächeninhalt beträgt $\frac{5}{3}FE\approx \mathrm{1,7}FE\backslash frac53\; FE\backslash approx\; 1\{,\}7\; FE$.

Für diese Teilaufgabe musst du mit ganzrationalen Funktionen vertraut sein, insbesondere mit Nullstellenbestimmung bei ganzrationalen Funktionen.

Nullstellen

Nullstellen kannst du in dieser Form $h_t=\frac{1}{4}x(tx-1)(x+4)(x-3)h\_t=\backslash frac14x(tx-1)(x+4)(x-3)$, aufgeteilt in die verschiedenen Linearfaktoren, fast direkt ablesen. Du darfst die einzelnen Faktoren nach dem Satz vom Nullprodukt einzeln gleich null setzen und nach $xx$ auflösen.

Damit erhältst du die folgenden Nullstellen:

Faktor 1:

Faktor 2:

Faktor 3:

Faktor 4:

Normalerweise gibt es also $44$ einfache Nullstellen bei den Werten $x_1=0x\_1=0$, $x_2=\frac{1}{t}x\_2=\backslash frac1t$, $x_3=-4x\_3=-4$ und $x_4=3x\_4=3$.

Jetzt musst du dir überlegen, ob das immer der Fall ist oder ob es Ausnahmen gibt.

Ausnahmen

Zwei Dinge könnten dir bei dieser Überlegung auffallen:

1. Ist $t=0t=0$, kannst du $x_2=\frac{1}{t}x\_2=\backslash frac1t$ nicht ausrechnen, weil du nicht durch null teilen darfst. Du solltest dir also genauer anschauen, was mit $h_t(x)h\_t(x)$ passiert, wenn $t=0t=0$ ist.

2. Es könnte passieren, dass $x_2=\frac{1}{t}x\_2=\backslash frac1t$ bei passend ausgewähltem $tt$ genau gleich groß ist, wie $x_1,x_{3}x\_1,\; x\_3$ oder $x_{4}x\_4$. In diesem Fall hättest du eine doppelte Nullstelle, dafür aber weniger verschiedene.

Fall $t=0t=0$:

Zuerst schauen wir uns den Fall an, der unter 1. beschrieben wird. Was passiert, wenn $t=0t=0$ ist?

Dann ist:

Du siehst, dass in diesem Fall der Linearfaktor mit dem $tt$ verschwindet. Übrig bleiben nur die anderen drei Linearfaktoren. Wenn $t=0t=0$ ist, erhält man also drei einfache Nullstellen bei $x_1=0x\_1=0$, $x_3=-4x\_3=-4$ und $x_4=3x\_4=3$ ($x_{2}x\_2$ gibt es hier nicht).

Zwei Linearfaktoren liefern dieselbe Nullstelle.

Nun kannst du dir überlegen, wann $x_{2}x\_2$ genauso groß ist wie $x_{3}x\_3$ oder $x_{4}x\_4$. Genau genommen kannst du es sogar ausrechnen, indem du es gleichsetzt:

Führe die gleiche Rechnung mit $x_{4}x\_4$ durch.

Genauso kannst du das mit $x_{1}x\_1$ überprüfen. Wenn du allerdings nach $tt$ umstellst, …

…kommst du auf eine Gleichung, die nicht richtig sein kann ($00$ ist nicht dasselbe wie $11$). Das heißt, diese Gleichung hat keine Lösung.

Du hast herausgefunden, dass für $t=-\frac{1}{4}t=-\backslash frac14$, $x_{2}x\_2$ und $x_{3}x\_3$ dasselbe sind und für $t=\frac{1}{3}t=\backslash frac13$ $x_{2}x\_2$ und $x_{4}x\_4$ dasselbe sind. In beiden Fällen hat man also eine doppelte Nullstelle (beim ersten bei $x=-4x=-4$ und beim zweiten bei $x=-3x=-3$).

Lösung im Überblick

Zusammengefasst gibt es also folgende Möglichkeiten, die unterschieden werden müssen:

• $t=0t=0$: Hier fällt ein Linearfaktor weg, man hat deswegen eine Nullstelle weniger und damit drei einfache Nullstellen bei $x_1=0x\_1=0$, $x_3=-4x\_3=-4$ und $x_4=3x\_4=3$

• $t=-\frac{1}{4}t=-\backslash frac14$ und $t=\frac{1}{3}t=\backslash frac13$: hier gibt es jeweils eine doppelte Nullstelle, weil $x_{2}x\_2$ mit einer der anderen Nullstellen übereinstimmt. Für $t=-\frac{1}{4}t=-\backslash frac14$ gibt es zwei einfache Nullstellen bei $x_1=0x\_1=0$ und bei $x_4=3x\_4=3$, außerdem gibt es eine doppelte Nullstelle bei $x_{2\mathrm{/}3}=-4x\_\{2/3\}=-4$. Für $t=\frac{1}{3}t=\backslash frac13$ gibt es zwei einfache Nullstellen bei $x_1=0x\_1=0$ und bei $x_3=-4x\_3=-4$, außerdem gibt es eine doppelte Nullstelle bei $x_{2\mathrm{/}4}=3x\_\{2/4\}=3$.

• Für alle anderen Werte von $tt$ ($t\in \mathbb{R}\setminus \{-4;0;3\}t\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}\backslash setminus\backslash \{-4;0;3\backslash \}$) gibt es vier einfache Nullstellen bei $x_1=0x\_1=0$, $x_2=\frac{1}{t}x\_2=\backslash frac1t$, $x_3=-4x\_3=-4$ und $x_4=3x\_4=3$.

Für diese Teilaufgabe solltest du Nullstellen aus einem Graphen ablesen und aus einem Funktionsterm bestimmen können. Außerdem solltest du wissen, was ein Leitkoeffizient ist und wie sich eine ganzrationale Funktion im Unendlichen verhält.

Graph 1 ($t=0t=0$)

Dieser Graph kann zu $h_t(x)h\_t(x)$ gehören. $h_t(x)h\_t(x)$ ist allerdings nur in genau einem Fall eine ganzrationale Funktion 3. Grades, nämlich wenn $t=0t=0$ ist (immer sonst gibt es insgesamt vier Nullstellen, man muss für den Grad die doppelten Nullstellen doppelt zählen).

Für $t=0t=0$ ist $h_0(x)=-\frac{1}{4}x(x+4)(x-3)h\_0(x)=-\backslash frac14x(x+4)(x-3)$ (Berechnung siehe Teilaufgabe 3.1). Hier ist der Leitkoeffizient negativ und damit geht die Funktion von "links oben" nach "rechts unten", was mit dem Graphen übereinstimmt. Auch die Nullstellen (siehe Teilaufgabe 3.1) stimmen mit dem Graphen überein.

Graph 2 ($t=-\frac{1}{2}t=-\backslash frac12$)

Man erkennt, dass es vier Nullstellen gibt, bei $x=-4x=-4$, $x=-2x=-2$, $x=0x=0$ und $x=3x=3$. Alle außer der Nullstelle bei $x=-2x=-2$ sind Nullstellen wie oben im Fall $t\in \mathbb{R}\setminus \{-4;0;3\}t\backslash in\; \backslash mathbb\{R\}\backslash setminus\backslash \{-4;0;3\backslash \}$ beschrieben. Das heißt, bei dieser Nullstelle könnte es sich um die Nullstelle bei $x=\frac{1}{t}x=\backslash frac1t$ handeln:

Für den Fall $t=-\frac{1}{2}t=-\backslash frac12$ ist

$h_{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}x(-\frac{1}{2}x-1)(x+4)(x-3)h\_\{-\backslash frac\{1\}\{2\}\}=\backslash frac\{1\}\{4\}x(-\backslash frac\{1\}\{2\}x-1)(x+4)(x-3)$

jetzt kannst du in der ersten Klammer ein Minus ausklammern.

$=-\frac{1}{4}x(\frac{1}{2}x+1)(x+4)(x-3)=-\backslash frac\{1\}\{4\}x(\backslash frac\{1\}\{2\}x+1)(x+4)(x-3)$

Du kannst so nämlich erkennen, dass der Leitkoeffizient negativ ist und damit das Verhalten im Unendlichen so sein muss, wie es im Graphen gemalt ist, von "links unten" nach "rechts unten". Auch die Nullstellen stimmen überein, wie du gerade überprüft hast.

Graph 3 (kein $tt$)

Du erkennst hier eine doppelte Nullstelle bei $x=0x=0$. Du hast allerdings in Teilaufgabe 3.1 ausgerechnet, dass $x_{2}x\_2$ nie Null sein kann und dass es folglich auch keine doppelte Nullstelle bei $x=0x=0$ geben kann. Deswegen ist Graph 3 kein Graph der Funktionenschar $h_t(x)h\_t(x)$.