Die Steigung wird durch die Ableitungsfunktion dargestellt. Will man nun die Stelle mit maximaler Steigung ermitteln, sucht man das Extremum der Ableitung. Um dieses herauszufinden, geht man genauso vor, wie bei dem Extremum einer Funktion (Extrema berechnen). Man leitet einmal ab und setzt das Ergebnis gleich Null. Nur diesmal handelt es sich bei dem Abzuleitendem bereits um die Ableitung.
Du bildest also die Ableitung der Ableitung (Ableitung von Potenzenfunktionen), also die zweite Ableitung:
fâČâČ(x)=â41â(3â
2x+16)=â41â(6x+16)
Diese setzt du gleich Null:
â41â(6x+16)=0âŁ:(â41â)
Teile durch den Vorfaktor.
6x+16=0âŁâ16
Isoliere x auf einer Seite.
6x=â16âŁ:6
Teile durch den Faktor.
x=â616â=â38â
Jetzt kennst du die Stelle, an der die Steigung extrem ist. Um zu erkennen, dass es sich um ein Maximum handelt, kannst du eine weitere Ableitung bilden und den Wert einsetzen:
fâČâČâČ(x)=â41ââ
6=â23â<0
Nachdem dieser Wert unabhÀngig vom x-Wert kleiner als 0 ist, muss es sich um ein Maximum haben. Alternativ hÀttest du dir auch eine Vorzeichenwechseltabelle (Monotonietabelle) anschauen können.
Nachdem du nun auch weiĂt, dass es sich um ein Maximum handelt, kannst du den Wert dieser Steigung noch genau ausrechnen, indem du den x-Wert in die Ableitung einsetzt:
fâČ(â38â)=â41â(3((â38â)2+16(â38â)+16)=34â
Die maximal positive Steigung des Graphen Gfâ betrĂ€gt 34â.