Grundsätzlich gibt es mehrere Methoden, Nullstellen einer Funktion zu ermitteln: Ausklammern und Satz vom Nullprodukt, Polynomdivision, Substitution und für quadratische Funktionen die Mitternachtsformel.

Für diese Aufgabe kannst du Ausklammern und anschließend dank dem Satz vom Nullprodukt die Mitternachtsformel verwenden. Außerdem musst du wissen, wie man die Vielfachheit einer Nullstelle bestimmt.

$f(x)=-\frac{1}{4}(x^3+8x^2+16x)$

Klammere den Faktor $x$ aus.

$f(x)=-\frac{1}{4}x(x^2+8x+16)$

Setze beide Faktoren nach dem Satz vom Nullprodukt gleich Null.

$-\frac{1}{4}x=0|:(-\frac{1}{4})$

und

$x^2+8x+16=0$

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf, indem du durch $-\frac{1}{4}$ teilst.

Löse die zweite Gleichung auf, indem du in die Mitternachtsformel einsetzt.

$x_1=0$

$$x_{2/3}={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4\cdot 1\cdot 16}}{2\cdot 1}=\frac{-8\pm \sqrt{64-64}}{2}=\frac{-8\pm 0}{2}=-4}$$

Damit erhält man eine einfache Nullstelle bei $x_1=0$ und eine doppelte Nullstelle bei $x_{2/3}=-4$.

Vorgehen

Für die Bestimmung der maximalen Monotonieintervalle musst du die erste Ableitung bilden und gleich Null setzen. Anschließend kannst du mit Hilfe einer Vorzeichenwechseltabelle die Art der Extrema bestimmen. Wenn du abschließend noch die ermittelten $x$-Werte in die Funktion einsetzt, erhälst du auch die $y$-Koordinaten und damit die Lage der Extrema.

Maximale Monotonieintervalle

Ableitung bilden

Die Ableitung der Funktion bildest du, indem du das Gesetz für die Ableitung von Potenzenfunktionen verwendest.

$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{4}(3x^2+8\cdot 2x+16)=-\frac{1}{4}(3x^2+16x+16)$

Nullstellen der Ableitung

Dazu setzt du die Ableitung gleich Null:

$-\frac{1}{4}(3x^2+16x+16)=0|:(-\frac{1}{4})$

Teile durch den Vorfaktor.

$3x^2+16x+16=0$

Löse die quadratische Gleichung entweder Einsetzen in die Mitternachtsformel.

$$x_{1/2}={\displaystyle \frac{-16\pm \sqrt{{16}^2-4\cdot 3\cdot 16}}{2\cdot 3}=\frac{-16\pm \sqrt{64}}{6}}$$

Maximale Monotonieintervalle

Damit sind die Grenzen der Monotonieintervalle $x=-4$ und $x=-\frac{4}{3}$. Schreibe die dadurch abgetrennten Intervalle in Intervallschreibweise. Achte darauf, dass die Nullstellen ausgeschlossen sein müssen.

$]-\infty ;-4[$ und $]-4;-\frac{4}{3}[$ und $]-\frac{4}{3};\infty [$

Art der Extrema

Dafür fertigst du eine Vorzeichenwechseltabelle (Monotonietabelle) an:

Bei $x=-4$ ist ein Tiefpunkt und bei $x=-\frac{4}{3}$ ist ein Hochpunkt.

Lage der Extrema

Setze dazu die ermittelten $x$-Werte in die Funktion ein:

$f(-4)=-\frac{1}{4}((-4{)}^3+8(-4{)}^2+16(-4))=0$

$f(-\frac{4}{3})=-\frac{1}{4}((-\frac{4}{3}{)}^3+8(-\frac{4}{3}{)}^2+16(-\frac{4}{3}))=\frac{64}{27}$

Damit weiß man, dass bei $(-4|0)$ ein Tiefpunkt und bei $(-\frac{4}{3}|\frac{64}{27})$ ein Hochpunkt liegt.

Die Steigung wird durch die Ableitungsfunktion dargestellt. Will man nun die Stelle mit maximaler Steigung ermitteln, sucht man das Extremum der Ableitung. Um dieses herauszufinden, geht man genauso vor, wie bei dem Extremum einer Funktion (Extrema berechnen). Man leitet einmal ab und setzt das Ergebnis gleich Null. Nur diesmal handelt es sich bei dem Abzuleitendem bereits um die Ableitung.

Du bildest also die Ableitung der Ableitung (Ableitung von Potenzenfunktionen), also die zweite Ableitung:

$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{4}(3\cdot 2x+16)=-\frac{1}{4}(6x+16)$

Diese setzt du gleich Null:

$-\frac{1}{4}(6x+16)=0|:(-\frac{1}{4})$

Teile durch den Vorfaktor.

$6x+16=0|-16$

Isoliere $x$ auf einer Seite.

$6x=-16|:6$

Teile durch den Faktor.

$x=-\frac{16}{6}=-\frac{8}{3}$

Jetzt kennst du die Stelle, an der die Steigung extrem ist. Um zu erkennen, dass es sich um ein Maximum handelt, kannst du eine weitere Ableitung bilden und den Wert einsetzen:

$f^{\prime \prime \prime }(x)=-\frac{1}{4}\cdot 6=-\frac{3}{2}<0$

Nachdem dieser Wert unabhängig vom $x$-Wert kleiner als $0$ ist, muss es sich um ein Maximum haben. Alternativ hättest du dir auch eine Vorzeichenwechseltabelle (Monotonietabelle) anschauen können.

Nachdem du nun auch weißt, dass es sich um ein Maximum handelt, kannst du den Wert dieser Steigung noch genau ausrechnen, indem du den $x$-Wert in die Ableitung einsetzt:

$f^{\prime }(-\frac{8}{3})=-\frac{1}{4}(3((-\frac{8}{3}{)}^2+16(-\frac{8}{3})+16)=\frac{4}{3}$

Die maximal positive Steigung des Graphen $G_f$ beträgt $\frac{4}{3}$.

Um einen Graphen zu zeichnen, bietet es sich an, eine Wertetabelle zu erstellen.

Wertetabelle

Merkmale

Du sollst den Graphen unter "Kennzeichnung bisheriger Ergebnisse" zeichnen, deswegen solltest du folgende Merkmale einzeichnen

• einfache Nullstelle bei $x=0$

• doppelte Nullstelle bei $x=-4$ und gleichzeitig Tiefpunkt bei $(-4|0)$

• Hochpunkt bei $(-\frac{4}{3}|\frac{64}{27})$

• Wendepunkt bei $x=-\frac{8}{3}$, da hier der Ort maximaler Steigung ist

Graph