Gegeben ist die Funktion f(x)=â41â(x3+8x2+16x) mit Dfâ=R. Der Graph wird mit Gfâ bezeichnet.
Ermitteln Sie sÀmtliche Nullstellen der Funktion f mit jeweiliger Vielfachheit. (4 BE)
GrundsĂ€tzlich gibt es mehrere Methoden, Nullstellen einer Funktion zu ermitteln: Ausklammern und Satz vom Nullprodukt, Polynomdivision, Substitution und fĂŒr quadratische Funktionen die Mitternachtsformel.
FĂŒr diese Aufgabe kannst du Ausklammern und anschlieĂend dank dem Satz vom Nullprodukt die Mitternachtsformel verwenden. AuĂerdem musst du wissen, wie man die Vielfachheit einer Nullstelle bestimmt.
f(x)=â41â(x3+8x2+16x)
Klammere den Faktor x aus.
f(x)=â41âx(x2+8x+16)
Setze beide Faktoren nach dem Satz vom Nullprodukt gleich Null.
â41âx=0âŁ:(â41â)
und
x2+8x+16=0
Löse die erste Gleichung nach x auf, indem du durch â41â teilst.
Löse die zweite Gleichung auf, indem du in die Mitternachtsformel einsetzt.
x1â=0
x2/3â=2aâb±b2â4acââ=2â 1â8±82â4â 1â 16ââ=2â8±64â64ââ=2â8±0â=â4
Damit erhĂ€lt man eine einfache Nullstelle bei x1â=0 und eine doppelte Nullstelle bei x2/3â=â4.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Bestimmen Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie Art und Koordinaten der relativen Extrempunkte des Graphen Gfâ. (8 BE)
Vorgehen
FĂŒr die Bestimmung der maximalen Monotonieintervalle musst du die erste Ableitung bilden und gleich Null setzen. AnschlieĂend kannst du mit Hilfe einer Vorzeichenwechseltabelle die Art der Extrema bestimmen. Wenn du abschlieĂend noch die ermittelten x-Werte in die Funktion einsetzt, erhĂ€lst du auch die y-Koordinaten und damit die Lage der Extrema.
Maximale Monotonieintervalle
Ableitung bilden
Die Ableitung der Funktion bildest du, indem du das Gesetz fĂŒr die Ableitung von Potenzenfunktionen verwendest.
fâČ(x)=â41â(3x2+8â 2x+16)=â41â(3x2+16x+16)
Nullstellen der Ableitung
Dazu setzt du die Ableitung gleich Null:
â41â(3x2+16x+16)=0âŁ:(â41â)
Teile durch den Vorfaktor.
3x2+16x+16=0
Löse die quadratische Gleichung entweder Einsetzen in die Mitternachtsformel.
x1/2â=2â 3â16±162â4â 3â 16ââ=6â16±64ââ
Maximale Monotonieintervalle
Damit sind die Grenzen der Monotonieintervalle x=â4 und x=â34â. Schreibe die dadurch abgetrennten Intervalle in Intervallschreibweise. Achte darauf, dass die Nullstellen ausgeschlossen sein mĂŒssen.
]ââ;â4[ und ]â4;â34â[ und ]â34â;â[
Art der Extrema
DafĂŒr fertigst du eine Vorzeichenwechseltabelle (Monotonietabelle) an:
x
]ââ;â4[
â4
]â4;â34â[
â34â
]â34â,â[
VZ von f'(x)
â
0
+
0
â
Gfâ
â
TP
â
HP
â
Bei x=â4 ist ein Tiefpunkt und bei x=â34â ist ein Hochpunkt.
Lage der Extrema
Setze dazu die ermittelten x-Werte in die Funktion ein:
f(â4)=â41â((â4)3+8(â4)2+16(â4))=0
f(â34â)=â41â((â34â)3+8(â34â)2+16(â34â))=2764â
Damit weiĂ man, dass bei (â4âŁ0) ein Tiefpunkt und bei (â34ââŁ2764â) ein Hochpunkt liegt.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Berechnen Sie die maximale positive Steigung des Graphen Gfâ. (5 BE)
Die Steigung wird durch die Ableitungsfunktion dargestellt. Will man nun die Stelle mit maximaler Steigung ermitteln, sucht man das Extremum der Ableitung. Um dieses herauszufinden, geht man genauso vor, wie bei dem Extremum einer Funktion (Extrema berechnen). Man leitet einmal ab und setzt das Ergebnis gleich Null. Nur diesmal handelt es sich bei dem Abzuleitendem bereits um die Ableitung.
Du bildest also die Ableitung der Ableitung (Ableitung von Potenzenfunktionen), also die zweite Ableitung:
fâČâČ(x)=â41â(3â 2x+16)=â41â(6x+16)
Diese setzt du gleich Null:
â41â(6x+16)=0âŁ:(â41â)
Teile durch den Vorfaktor.
6x+16=0âŁâ16
Isoliere x auf einer Seite.
6x=â16âŁ:6
Teile durch den Faktor.
x=â616â=â38â
Jetzt kennst du die Stelle, an der die Steigung extrem ist. Um zu erkennen, dass es sich um ein Maximum handelt, kannst du eine weitere Ableitung bilden und den Wert einsetzen:
fâČâČâČ(x)=â41ââ 6=â23â<0
Nachdem dieser Wert unabhÀngig vom x-Wert kleiner als 0 ist, muss es sich um ein Maximum haben. Alternativ hÀttest du dir auch eine Vorzeichenwechseltabelle (Monotonietabelle) anschauen können.
Nachdem du nun auch weiĂt, dass es sich um ein Maximum handelt, kannst du den Wert dieser Steigung noch genau ausrechnen, indem du den x-Wert in die Ableitung einsetzt:
fâČ(â38â)=â41â(3((â38â)2+16(â38â)+16)=34â
Die maximal positive Steigung des Graphen Gfâ betrĂ€gt 34â.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Zeichnen Sie den Graphen Gfâ im Bereich â6â€xâ€1 unter Kennzeichnung bisheriger Ergebnisse in ein kartesisches Koordinatensystem. MaĂstab: 1 LE=1 cm. (4 BE)
Um einen Graphen zu zeichnen, bietet es sich an, eine Wertetabelle zu erstellen.
Wertetabelle
Merkmale
Du sollst den Graphen unter "Kennzeichnung bisheriger Ergebnisse" zeichnen, deswegen solltest du folgende Merkmale einzeichnen
einfache Nullstelle bei x=0
doppelte Nullstelle bei x=â4 und gleichzeitig Tiefpunkt bei (â4âŁ0)
Hochpunkt bei (â34ââŁ2764â)
Wendepunkt bei x=â38â, da hier der Ort maximaler Steigung ist
Graph
Hast du eine Frage oder Feedback?