Du sollst das Newton-Verfahren verwenden, um $\pi \backslash pi$ zu bestimmen. Das Newton-Verfahren dient dazu, Nullstellen von Funktionen zu bestimmen. Zunächst benötigst du also eine Funktion $f(x)f(x)$, die $\pi \backslash pi$ als Nullstelle hat, also $f(\pi )=0f(\backslash pi)\; =\; 0$ erfüllt.

Erinnere dich, dass $\sin (\pi )=0\backslash sin(\backslash pi)\; =\; 0$. Ein guter Kandidat ist also $f(x)=\sin (x)f(x)\; =\; \backslash sin(x)$. (Es gibt unendlich viele weitere Mögllichkeiten, dies ist nur die einfachste.)

Im Newton-Verfahren wendest du Iterationen der Rekursionsformel

an. Berechne dafür die Ableitung von $ff$, sie lautet $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\cos (x)f\text{'}(x)\; =\; \backslash cos(x)$. Die Rekursionsformel des Newton-Verfahren für diese Aufgabe lautet also

Alternative: Du kannst dir die folgenden Rechnungen einfacher machen, wenn du dich an folgenden Zusammenhang aus der Trigonometrie erinnerst:

Die Lösung wird allerdings den ausführlichen Weg präsentieren.

Erstelle nun eine Wertetabelle, um den Startwert für das Verfahren in die Nähe der Nullstelle zu bringen. Erinnere dich, dass $\pi \approx 3\backslash pi\; \backslash approx\; 3$.

In der Tat liegt die Nullstelle $\pi \backslash pi$ zwischen 3 und 4, denn dort wechselt der Sinus sein Vorzeichen.

Wähle einen Startwert. Jeder Startwert im Intervall $[3;4[[3;\; 4[$ ist sinnvoll, z.B. $x_0=3x\_0\; =\; 3\%$. Setze diesen in die Rekursionsformel ein:

Setze den Wert wiederholt in die Rekursionsformel ein, bis du die gewünschte Genauigkeit erhältst:

Du siehst, dass sich in den letzten beiden Iterationen die ersten sieben Nachkommastellen nicht geändert haben. Du hast daher sogar eine (mindestens) sechs Nachkommastellen genaue Lösung gefunden, genauer als verlangt.

Somit erhältst du, dass $\sin (\mathrm{3,141593})\approx 0\backslash sin(3\{,\}141593)\; \backslash approx\; 0$, und damit auch $\pi \approx \mathrm{3,141593}\backslash pi\; \backslash approx\; 3\{,\}141593$.