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Newtonsches Näherungsverfahren

Das Newton-Verfahren dient zur Annäherung an Nullstellen; durch das immer wieder neu Einsetzen des Ergebnisses in die Newton-Formel nähert man die Nachkommastellen der Nullstelle immer mehr an. Diese Art von Verfahren nennt man Iterationsverfahren.

Iterationsformel:

xn+1=xn−f(xn)f´(xn)\displaystyle x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f´(x_n)}
Bild

Das Newton-Verfahren

Da gewisse Nullstellen nicht genau bestimmbar sind, wird das Newton-Verfahren eingesetzt, um Nullstellen anzunähern. Um diese zu berechnen, benötigst du die Ableitung.

Beispiel:

Nullstelle von f(x)=x3+4x−4f(x)=x³+4x-4

Überprüfe, ob du nicht andere Lösungswege benutzen kannst!

Dies bedeutet, dass Ergebnisse eines Schrittes wieder als Ausgangswert für den jeweils nächsten Schritt genommen werden. Dies kannst du in der Graphik mit der Rechenmaschine erkennen.

Iterationsformel

xn+1=xn−f(xn)f´(xn)x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f´(x_n)}

Bild

Beispiel:

  • f(x)=x3+4x−4f(x)=x^3+4x-4

  • f′(x)=3x2+4f'(x)=3x^2+4

  • xn+1=xn−xn3+4xn−43xn2+4x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3+4x_n-4}{3x_n^2+4}

So erhältst du x0x_0:

Falls du ein Intervall gegeben hast, in dem deine Nullstelle liegt, bietet es sich an, die Mitte des Intervalls zu wählen

Beispiel: Die Nullstelle liegt im Intervall [2;4][2;4] ⇒\Rightarrow Wähle also x0=3x_0=3

Falls kein Intervall gegeben ist, kannst du x0x_0 durch eine Wertetabelle bestimmen, eine Skizze kann dir ebenfalls helfen, notfalls kannst du auch raten. Das Newton-Verfahren kann aber auch schiefgehen, wenn du als x0x_0 eine Extremstelle wählst. Falls dein x0x_0 sehr weit von der Nullstelle entfernt ist, brauchst du sehr, sehr viele Iterationsschritte. Du versuchst also dein x0x_0 möglichst nahe der Nullstelle zu wählen.

Bestimmung von x0x_0 durch eine Wertetabelle:

  • Lege eine Wertetabelle der Funktion f(x)f(x) an, mit xx- Werten, in deren Umgebung du die Nullstelle vermutest. (Eine Skizze hilft dir.)

  • Suche nach einem Vorzeichenwechsel der Funktionswerte.

  • Die Nullstelle liegt zwischen den xx-Werten, deren Funktionswerte einen Vorzeichenwechsel haben.

Beispiel:

f(x)=x3+4x−4f(x)=x^3+4x-4

xx

-3

-2

-1

0

1

2

3

yy

-43

-20

-9

-4

1

12

35

Vorzeichenwechsel im Intervall x∈[0;1]⇒x\in[0;1]\Rightarrow wähle z.B. x0=0,5x_0=0{,}5

So erhältst du deine angenäherte Lösung:

Je länger du das Verfahren anwendest, desto näher kommst du an die Nullstelle. Ein Ziel deiner Näherung könnte sein, die ersten drei Nachkommastellen korrekt zu bestimmen. Wenn sich nach mehreren Iterationsschritten deine drei Nachkommastellen nicht mehr ändern, kannst du davon ausgehen, dass du am Ziel bist.

Beispiel:

x2≈0,8486187342x_2\approx \color{#009900}{0{,}84} \color{black}{86187342}

x3≈0,8477079411x_3\approx\color{#009900}{0{,}847707}\color{black}{9411}

x4≈0,8477075981x_4\approx\color{#009900}{0{,}8477075981}

x5≈0,8477075981x_5\approx\color{#009900}{0{,}8477075981} ⇒\Rightarrow Die Nullstelle liegt bei ca. 0,8477075981\color{#009900}{0{,}8477075981}.

Vereinfachung für den Taschenrechner

Ausführlicher Lösungsweg

Du benötigst

Ergebnis

Erhältst du durch

f(x)f(x)

13x3−x2−13\frac{1}{3}x^3-x^2-\frac{1}{3}

f′(x)f'(x)

x2−2xx^2-2x

x0x_0

33

Berechnen

Wertetabelle:

Setze verschiedene Werte, für xx ein, um jeweils nach dem y-Wert aufzulösen. Trage dies anschließend in eine Wertetabelle ein und finde den Übergang vom Positiven/Negativen, diese zwei Punkte stellen dann dein Intervall dar. Beim Wählen beachte, dass x0x_0 keine Extremstelle darstellen darf.

Beispiel:

f(1)=13⋅13−12−13f(1)=\frac{1}{3}\cdot1³-1²-\frac{1}{3}

f(1)=−1f(1)=-1

−4-4

−3-3

−2-2

−1-1

00

11

22

33

44

−1133-\frac{113}{3}

−553-\frac{55}{3}

-7

−53-\frac{5}{3}

−13-\frac{1}{3}

−1-1

−53-\frac{5}{3}

−13-\frac{1}{3}

55

Vorzeichenwechsel im Intervall x∈[3;4]⇒x\in[3;4]\Rightarrow wähle z.B. x0=3,5x_0=3{,}5.

Ausführliches Beispiel

Berechnung

Erklärung

xm=xn−f(xn)f´(xn)x_m=x_n-\frac{f(x_n)}{f´(x_n)}

x1=3,5−13⋅3,53−3,52−133,53−2⋅3,5x1=3,5−41242878x1=3,452380952=14542x_1=3{,}5-\frac{\frac{1}{3}\cdot3{,}5^3-3{,}5²-\frac{1}{3}}{3{,}5³-2\cdot3{,}5}\\ x_1=3{,}5-\frac{\frac{41}{24}}{\frac{287}{8}} \\x_1=\color{#009900}{3},452380952=\frac{145}{42}

Setze f(x0),f′(x0)f(x_0),f'(x_0) und x0x_0 in die Formel ein und berechne x1x_1.

x2=20063−13⋅(20063)3−(20063)2−13(20063)2−2⋅20063x_2=\frac{200}{63}-\frac{\frac{1}{3}\cdot(\frac{200}{63})³-(\frac{200}{63})²-\frac{1}{3}}{(\frac{200}{63})²-2\cdot\frac{200}{63}}

x2=20063−0,25322306073,728898967x_2=\frac{200}{63}-\frac{0{,}2532230607}{3{,}728898967}

x2=3,106694909x_2=\color{#009900}{3{,}1}06694909

Setze f(x1),f′(x1)f(x_1),f'(x_1) und x1x_1 in die Formel ein und berechne x2x_2.

x3=3,106694909−13⋅3,1066949093−3,1066949092−133,1066949092−2⋅3,106694909x_3=3{,}106694909-\frac{\frac{1}{3}\cdot3{,}106694909³-3{,}106694909²-\frac{1}{3}}{3{,}106694909²-2\cdot3{,}106694909}

x3=3,106694909−0,0099238662093,43816344x_3=3{,}106694909-\frac{0{,}009923866209}{3{,}43816344}

x3=3,103808523x_3=\color{#009900}{3{,}10}3808523

Setze f(x2),f′(x2)f(x_2),f'(x_2) und x2x_2 in die Formel ein und berechne x3x_3.

x4=3,103808523−13⋅3,1038085233−3,1038085232−133,1038085232−2⋅3,103808523x_4=3{,}103808523-\frac{\frac{1}{3}\cdot3{,}103808523³-3{,}103808523²-\frac{1}{3}}{3{,}103808523²-2\cdot3{,}103808523}

x4=3,103808523−0,000017542631393,426010301x_4=3{,}103808523-\frac{0{,}00001754263139}{3{,}426010301}

x4=3,103803403x_4=\color{#009900}{3{,}1038}03403

Setze f(x3),f′(x3)f(x_3),f'(x_3) und x3x_3 in die Formel ein. Und löse nach x4x_4 auf.

x4=3,103803403x_4=\color{#009900}{3{,}1038}03403 ist die Annäherung der Nullstelle bis zur 9.9. Nachkommastelle von f(x)=13x3−x2−13f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2-\frac{1}{3}

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