Newtonsches Näherungsverfahren

Das Newton-Verfahren

Da gewisse Nullstellen nicht genau bestimmbar sind, wird das Newton-Verfahren eingesetzt, um Nullstellen anzunähern. Um diese zu berechnen, benötigst du die Ableitung.

Beispiel:

Nullstelle von $f(x)=x^3+4x-4$

Überprüfe, ob du nicht andere Lösungswege benutzen kannst!

Dies bedeutet, dass Ergebnisse eines Schrittes wieder als Ausgangswert für den jeweils nächsten Schritt genommen werden. Dies kannst du in der Graphik mit der Rechenmaschine erkennen.

Beispiel:

• $f(x)=x^3+4x-4$

• $f^{\prime }(x)=3x^2+4$

• $x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3+4x_n-4}{3x_n^2+4}$

So erhältst du $x_0$:

Falls du ein Intervall gegeben hast, in dem deine Nullstelle liegt, bietet es sich an, die Mitte des Intervalls zu wählen

Beispiel: Die Nullstelle liegt im Intervall $[2;4]$ $\Rightarrow$ Wähle also $x_0=3$

Falls kein Intervall gegeben ist, kannst du $x_0$ durch eine Wertetabelle bestimmen, eine Skizze kann dir ebenfalls helfen, notfalls kannst du auch raten. Das Newton-Verfahren kann aber auch schiefgehen, wenn du als $x_0$ eine Extremstelle wählst. Falls dein $x_0$ sehr weit von der Nullstelle entfernt ist, brauchst du sehr, sehr viele Iterationsschritte. Du versuchst also dein $x_0$ möglichst nahe der Nullstelle zu wählen.

Bestimmung von $x_0$ durch eine Wertetabelle:

• Lege eine Wertetabelle der Funktion $f(x)$ an, mit $x$- Werten, in deren Umgebung du die Nullstelle vermutest. (Eine Skizze hilft dir.)

• Suche nach einem Vorzeichenwechsel der Funktionswerte.

• Die Nullstelle liegt zwischen den $x$-Werten, deren Funktionswerte einen Vorzeichenwechsel haben.

Beispiel:

$f(x)=x^3+4x-4$

Vorzeichenwechsel im Intervall $x\in [0;1]\Rightarrow$ wähle z.B. $x_0=\mathrm{0,5}$

So erhältst du deine angenäherte Lösung:

Je länger du das Verfahren anwendest, desto näher kommst du an die Nullstelle. Ein Ziel deiner Näherung könnte sein, die ersten drei Nachkommastellen korrekt zu bestimmen. Wenn sich nach mehreren Iterationsschritten deine drei Nachkommastellen nicht mehr ändern, kannst du davon ausgehen, dass du am Ziel bist.

Beispiel:

$x_2\approx \mathrm{0,84}86187342$

$x_3\approx \mathrm{0,847707}9411$

$x_4\approx \mathrm{0,8477075981}$

$x_5\approx \mathrm{0,8477075981}$ $\Rightarrow$ Die Nullstelle liegt bei ca. $\mathrm{0,8477075981}$.

Vereinfachung für den Taschenrechner

Ausführlicher Lösungsweg

Wertetabelle:

Setze verschiedene Werte, für $x$ ein, um jeweils nach dem y-Wert aufzulösen. Trage dies anschließend in eine Wertetabelle ein und finde den Übergang vom Positiven/Negativen, diese zwei Punkte stellen dann dein Intervall dar. Beim Wählen beachte, dass $x_0$ keine Extremstelle darstellen darf.

Beispiel:

$f(1)=\frac{1}{3}\cdot 1^3-1^2-\frac{1}{3}$

$f(1)=-1$

Vorzeichenwechsel im Intervall $x\in [3;4]\Rightarrow$ wähle z.B. $x_0=\mathrm{3,5}$.

$x_4=\mathrm{3,103803403}$ ist die Annäherung der Nullstelle bis zur $9.$ Nachkommastelle von $f(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x^2-\frac{1}{3}$