Aufgaben zum Aufstellen von Funktionstermen

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 2. Grades $f(x)$ schneidet die Koordinatenachsen in $P_{x_1}(k|0);\;P_{x_2}(-2|0)$ und in $P_y(0|-k)$ mit $k\neq0$ .

Bestimme die Funktionsgleichung $f(x)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgleichung aufstellen

geg.: $P_{x_1}(k|0);\;P_{x_2}(-2|0)$ ; $P_y(0|-k)$

Die Punkte $P_{x_1}$ und $P_{x_2}$ sagen dir, dass die Funktion $f$ die Nullstellen $x=k$ und $x=-2$ hat. Das bedeutet, dass die faktorisierte Funktionsgleichung die Faktoren $(x-k)$ und $(x+2)$ enthält. Da die ganzrationale Funktion 2. Grades sein soll, gibt es nur maximal 2 Nullstellen und damit auch nur maximal 2 verschiedene Linearfaktoren. Du kannst die Funktionsgleichung also bis auf einen Vorfaktor bereits bestimmen.

$f(x)=a\cdot\left(x-k\right)\cdot\left(x+2\right)$

Der Graph muss noch die y-Achse im Punkt $P_y\left(0|-k\right)$ schneiden. Daraus folgt: $f(0)=-k$

Setze $0$ in die Funktionsgleichung von oben ein und setze $f(0)=-\mathrm k$ . Löse dann nach $a$ auf.

$\displaystyle f\left(0\right)$	$=$	$\displaystyle a\cdot\left(0-k\right)\cdot\left(0+2\right)$
	↓	Setze $f(0)=-k$ ein.
$\displaystyle -k$	$=$	$\displaystyle a\cdot\left(0-k\right)\cdot\left(0+2\right)$
	↓	Vereinfache.
$\displaystyle -k$	$=$	$\displaystyle a\cdot\left(-k\right)\cdot2$
$\displaystyle -k$	$=$	$\displaystyle -2ka$	$\displaystyle :-2k$
	↓	Teile durch $-2k$ . Laut Angabe ist $k\neq 0$ . Also darfst du das.
$\displaystyle \frac{-k}{-2k}$	$=$	$\displaystyle a$
	↓	Kürze $-k$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}$	$=$	$\displaystyle a$

Setze nun $a$ in die Linearfaktorschreibweise ein:

Lösung: $f(x)=\frac{1}{2}\left(x-k\right)\left(x+2\right)$

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