Aufgaben zum Aufstellen von Funktionstermen

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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 2. Grades $f (x)$ schneidet die Koordinatenachsen in $P_{x_{1}} (k | 0); P_{x_{2}} (- 2 | 0)$ und in $P_{y} (0 | - k)$ mit $k \neq 0$ .

Bestimme die Funktionsgleichung $f (x)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Funktionsgleichung aufstellen

geg.: $P_{x_{1}} (k | 0); P_{x_{2}} (- 2 | 0)$ ; $P_{y} (0 | - k)$

Die Punkte $P_{x_{1}}$ und $P_{x_{2}}$ sagen dir, dass die Funktion $f$ die Nullstellen $x = k$ und $x = - 2$ hat. Das bedeutet, dass die faktorisierte Funktionsgleichung die Faktoren $(x - k)$ und $(x + 2)$ enthält. Da die ganzrationale Funktion 2. Grades sein soll, gibt es nur maximal 2 Nullstellen und damit auch nur maximal 2 verschiedene Linearfaktoren. Du kannst die Funktionsgleichung also bis auf einen Vorfaktor bereits bestimmen.

$f (x) = a \cdot (x - k) \cdot (x + 2)$

Der Graph muss noch die y-Achse im Punkt $P_{y} (0 | - k)$ schneiden. Daraus folgt: $f (0) = - k$

Setze $0$ in die Funktionsgleichung von oben ein und setze $f (0) = - k$ . Löse dann nach $a$ auf.

$f (0)$	$=$	$a \cdot (0 - k) \cdot (0 + 2)$
	↓	Setze $f (0) = - k$ ein.
$- k$	$=$	$a \cdot (0 - k) \cdot (0 + 2)$
	↓	Vereinfache.
$- k$	$=$	$a \cdot (- k) \cdot 2$
$- k$	$=$	$- 2 k a$	$: - 2 k$
	↓	Teile durch $- 2 k$ . Laut Angabe ist $k \neq 0$ . Also darfst du das.
$\frac{- k}{- 2 k}$	$=$	$a$
	↓	Kürze $- k$ .
$\frac{1}{2}$	$=$	$a$

Setze nun $a$ in die Linearfaktorschreibweise ein:

Lösung: $f (x) = \frac{1}{2} (x - k) (x + 2)$

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