Aufgaben zum Rechnen mit e und ln

Forme um.

123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendung der Potenzgesetze
${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$ $=$
↓
1. Binomische Formel anwenden
$=$ $e^{2 x} + 2 e^{x} e^{- x} + e^{- 2 x}$
↓
1. Potenzgesetz anwenden
$=$ $e^{2 x} + 2 e^{x - x} + e^{- 2 x}$
$=$ $e^{2 x} + 2 e^{0} + e^{- 2 x}$
↓
Benutze $e^{0} = 1$
$=$ $e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x}$
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$(e^{x} - e^{- x} + 5) \cdot e^{x}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendung der Potenzgesetze
$(e^{x} - e^{- x} + 5) \cdot e^{x}$ $=$
↓
ausmultiplizieren
$=$ $e^{x} \cdot e^{x} - e^{- x} \cdot e^{x} + 5 e^{x}$
↓
1. Potenzgesetz anwenden
$=$ $e^{x + x} - e^{- x + x} + 5 e^{x}$
$=$ $e^{2 x} - e^{0} + 5 e^{x}$
↓
$e^{0} = 1$
$=$ $e^{2 x} + 5 e^{x} - 1$
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$\frac{e^{3 x + 1}}{e^{- x + 2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendung der Potenzgesetze
$\frac{e^{3 x + 1}}{e^{- x + 2}}$ $=$
↓
2. Potenzgesetz anwenden
$=$ $e^{3 x + 1} \cdot e^{- (- x + 2)}$
↓
Klammern auflösen
$=$ $e^{3 x + 1 + x - 2}$
↓
Zusammenfassen
$=$ $e^{4 x - 1}$
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$e^{- x} \cdot e^{- x + 2} \cdot e^{2 x - 3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendung der Potenzgesetze
$e^{- x} \cdot e^{- x + 2} \cdot e^{2 x - 3}$ $=$
↓
1. Potenzgesetz anwenden
$=$ $e^{- x + (- x + 2) + (2 x - 3)}$
$=$ $e^{- x - x + 2 + 2 x - 3}$
↓
Zusammenfassen
$=$ $e^{- 1}$
$=$ $\frac{1}{e}$
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$\frac{1}{e^{2 x}} + 3 (e^{- x})^{2} - (\frac{2}{e^{x}})^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendung der Potenzgesetze
$\frac{1}{e^{2 x}} + 3 {(e^{- x})}^{2} - {(\frac{2}{e^{x}})}^{2}$ $=$
↓
6. Potenzgesetz anwenden.
$=$ $e^{- 2 x} + 3 e^{- 2 x} - (\frac{4}{e^{2 x}})$
↓
Zusammenfassen und umformen.
$=$ $4 e^{- 2 x} - 4 e^{- 2 x}$
$=$ $0$
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

${(e^{x} + e^{- x})}^{2}$	$=$
	↓	1. Binomische Formel anwenden
	$=$	$e^{2 x} + 2 e^{x} e^{- x} + e^{- 2 x}$
	↓	1. Potenzgesetz anwenden
	$=$	$e^{2 x} + 2 e^{x - x} + e^{- 2 x}$
	$=$	$e^{2 x} + 2 e^{0} + e^{- 2 x}$
	↓	Benutze $e^{0} = 1$
	$=$	$e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x}$

$(e^{x} - e^{- x} + 5) \cdot e^{x}$	$=$
	↓	ausmultiplizieren
	$=$	$e^{x} \cdot e^{x} - e^{- x} \cdot e^{x} + 5 e^{x}$
	↓	1. Potenzgesetz anwenden
	$=$	$e^{x + x} - e^{- x + x} + 5 e^{x}$
	$=$	$e^{2 x} - e^{0} + 5 e^{x}$
	↓	$e^{0} = 1$
	$=$	$e^{2 x} + 5 e^{x} - 1$

$\frac{e^{3 x + 1}}{e^{- x + 2}}$	$=$
	↓	2. Potenzgesetz anwenden
	$=$	$e^{3 x + 1} \cdot e^{- (- x + 2)}$
	↓	Klammern auflösen
	$=$	$e^{3 x + 1 + x - 2}$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$e^{4 x - 1}$

$e^{- x} \cdot e^{- x + 2} \cdot e^{2 x - 3}$	$=$
	↓	1. Potenzgesetz anwenden
	$=$	$e^{- x + (- x + 2) + (2 x - 3)}$
	$=$	$e^{- x - x + 2 + 2 x - 3}$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$e^{- 1}$
	$=$	$\frac{1}{e}$

$\frac{1}{e^{2 x}} + 3 {(e^{- x})}^{2} - {(\frac{2}{e^{x}})}^{2}$	$=$
	↓	6. Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$e^{- 2 x} + 3 e^{- 2 x} - (\frac{4}{e^{2 x}})$
	↓	Zusammenfassen und umformen.
	$=$	$4 e^{- 2 x} - 4 e^{- 2 x}$
	$=$	$0$

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