Aufgaben zum Rechnen mit e und ln

Forme um.

$\left(e^x+e^{-x}\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendung der Potenzgesetze

$\displaystyle \left(e^x+e^{-x}\right)^2$	$=$
	↓	1. Binomische Formel anwenden
	$=$	$\displaystyle e^{2x}+2e^xe^{-x}+e^{-2x}$
	↓	1. Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle e^{2x}+2e^{x-x}+e^{-2x}$
	$=$	$\displaystyle e^{2x}+2e^0+e^{-2x}$
	↓	Benutze $e^{0} = 1$
	$=$	$\displaystyle e^{2x}+2+e^{-2x}$

Hast du eine Frage oder Feedback?

$\left(e^x-e^{-x}+5\right)\cdot e^x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendung der Potenzgesetze

$\displaystyle \left(e^x-e^{-x}+5\right)\cdot e^x$	$=$
	↓	ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle e^x\cdot e^x-e^{-x}\cdot e^x+5e^x$
	↓	1. Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle e^{x+x}-e^{-x+x}+5e^x$
	$=$	$\displaystyle e^{2x}-e^0+5e^x$
	↓	$e^{0} = 1$
	$=$	$\displaystyle e^{2x}+5e^x-1$

$\dfrac{e^{3x+1}}{e^{-x+2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendung der Potenzgesetze

$\displaystyle \frac{e^{3x+1}}{e^{-x+2}}$	$=$
	↓	2. Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle \textstyle e^{3x+1}\cdot e^{-(-x+2)}$
	↓	Klammern auflösen
	$=$	$\displaystyle \textstyle e^{3x+1+x-2}$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle e^{4x-1}$

$e^{-x}\cdot e^{-x+2}\cdot e^{2x-3}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendung der Potenzgesetze

$\displaystyle e^{-x}\cdot e^{-x+2}\cdot e^{2x-3}$	$=$
	↓	1. Potenzgesetz anwenden
	$=$	$\displaystyle e^{-x+(-x+2)+(2x-3)}$
	$=$	$\displaystyle e^{-x-x+2+2x-3}$
	↓	Zusammenfassen
	$=$	$\displaystyle e^{-1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{e}$

$\frac{1}{e^{2x}}+3(e^{-x})^2-(\frac{2}{e^x})^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Anwendung der Potenzgesetze

$\displaystyle \frac{1}{e^{2x}}+3\left(e^{-x}\right)^2-\left(\frac{2}{e^x}\right)^2$	$=$
	↓	6. Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle e^{-2x}+3e^{-2x}-\left(\frac4{e^{2x}}\right)$
	↓	Zusammenfassen und umformen.
	$=$	$\displaystyle 4e^{-2x}-4e^{-2x}$
	$=$	$\displaystyle 0$