Aufgaben
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Zu text-exercise-group 14365:
metzgaria 2017-07-06 20:47:02+0200
Hallo!
ist das Absicht, dass im Ordner "Aufgaben zum Rechnen mit e und ln" diese Aufgabe zwei Mal mit leicht unterschiedlichen Lösungen ist?
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(ex+ex)2\left(\mathrm e^x+\mathrm e^{-x}\right)^2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze

Mehrfache Anwendung der Potenzgesetze verwandelt den Term in eine Summe.
(ex+ex)2\left(\mathrm{e}^{{x}}+\mathrm{e}^{-{x}}\right)_{ }^2
Ausmultiplizieren mit Hilfe der Binomischen Formeln ergibt:
(ex)2+2exex+(ex)2\left(\mathrm e^\mathrm x\right)^2+2\cdot\mathrm e^\mathrm x\cdot\mathrm e^{-\mathrm x}+\left(\mathrm e^{-\mathrm x}\right)^2
Vereinfachung der Exponenten mit den Potenzgesetzen bringt:
e2x+2exex+e  2x\mathrm e^{2 x}+2\cdot e^x\cdot e^{-x}+\mathrm e^{-\;2x}
Wende erneut die Potenzgesetze an:
e2x+2ex+(x)+e  2x\mathrm e^{2x}+2\cdot\mathrm e^{x+\left(-x\right)}+\mathrm e^{-\;2x}
und zusammengefasst:
e2x+2e0+e  2x\mathrm e^{2x}+2\cdot\mathrm e^0+\mathrm e^{-\;2x}

Unter Beachtung von e0=1\mathrm e^0=1 ergibt sich schließlich:
e2x+2+e  2x\mathrm e^{2x}+2+\mathrm e^{-\;2x}.
(exex+5)ex\left(\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}+5\right)\cdot\mathrm e^x

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze

(exex+5)ex\left(\mathrm e^x-\mathrm e^{-x}+5\right)\cdot\mathrm e^x
Multipliziere die Klammer aus:
(ex)2exex+5ex\left(\mathrm e^x\right)^2-\mathrm e^{-x}\cdot\mathrm e^x+5\cdot\mathrm e^x
Wende das Potenzgesetz an:
e2xexex+5ex\mathrm e^{2x}-\mathrm e^{-x}\cdot\mathrm e^x+5\mathrm e^x
Wende das Potenzgesetz an:
e2xex+x+5ex\mathrm e^{2x}-\mathrm e^{-x+x}+5\mathrm e^x
e2xe0+5ex\mathrm e^{2x}-\mathrm e^0+5\mathrm e^x
Verwende e0=1\mathrm e^0=1:
e2x1+5ex\mathrm e^{2 x}-1+5\mathrm e^x
e3x+1ex+2\dfrac{\mathrm e^{3x+1}}{\mathrm e^{-x+2}}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze

e3x+1ex+2\displaystyle\frac{\mathrm e^{3\mathrm x+1}}{\mathrm e^{-\mathrm x+2}}
Wende die Potenzgesetze an:
e3x+1(x+2)e^{3x+1-(-x+2)}
Löse die Minusklammer auf:
e3x+1+x2e^{3x+1+x-2}
und fasse zusammen:
e4x1e^{4x-1}.
exex+2e2x3\mathrm e^{-x}\cdot\mathrm e^{-x+2}\cdot\mathrm e^{2x-3}

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze

exex+2e2x3\mathrm e^{-x}\cdot\mathrm e^{-x+2}\cdot\mathrm e^{2x-3}
Wende das Potenzgesetz an:
ex+(x)+2+2x+(3)\mathrm e^{-x+\left(-x\right)+2+2x+\left(-3\right)}
Fasse im Exponenten zusammen und schreibe alternativ ohne Potenz
e1=1e\mathrm e^{-1} =\displaystyle \frac1{\mathrm e}
1e2x+3(ex)2(2ex)2\frac1{\mathrm e^{2x}}+3\left(\mathrm e^{-x}\right)^2-\left(\frac2{\mathrm e^x}\right)^2

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Potenzgesetze

1e2x+3(ex)2(2ex)2\frac1{\mathrm e^{2x}}+3\left(\mathrm e^{-x}\right)^2-\left(\frac2{\mathrm e^x}\right)^2
Wende das Potenzgesetz an:
e2x+3e2x(2ex)2e^{-2x}+3e^{-2x}-\left(\frac2{e^x}\right)^2
Verwende (2ex)2=4e2x\left(\frac2{\mathrm e^x}\right)^2=\frac4{\mathrm e^{2x}}:
e2x+3e2x4e2xe^{-2x}+3e^{-2x}-\frac4{e^{2x}}
Schreibe den Bruch mit Hilfe eines negativen Exponenenten und fasse zusammen:
e2x+3e2x4e2xe^{-2x}+3e^{-2x}-4e^{-2x}
4e2x4e2x=04e^{-2x}-4e^{-2x}=0

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Zu text-exercise-group 11003:
Nish 2019-09-17 16:52:31+0200
Die Lösungen der Aufgaben sollten nochmals nach den aktuellen Qualitätsrichtlinien für Aufgabenlösungen (http://de.serlo.dev/90400) überarbeitet werden. Das wäre super!

LG,
Nish
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%%\ln(e^2)-3\cdot\ln\left(\frac e2\right)%%

Rechenregeln für Logarithmus anwenden

%%\ln(e^2)-3\cdot\ln\left(\frac e2\right)%%

Potenzregel und Quotientenregel für Logarithmus anwenden.

%%=2\cdot\ln\left(e\right)-3\left[\ln\left(e\right)-\ln\left(2\right)\right]%%

%%\ln(e)=1%%

%%=2\cdot1-3\left[1-\ln\left(2\right)\right]%%

Zusammenfassen.

%%=2-3+3\cdot\ln\left(2\right)%%

%%=3\cdot\ln(2)-1%%

%%\ln(2e^2)+\ln\left(\frac e2\right)%%

Rechenregeln für Logarithmus anwenden

%%\ln(2e^2)+\ln\left(\frac e2\right)%%

Produktregel und Quotientenregel für Logarithmus anwenden

%%=\ln(2)+\ln(e^2)+\ln(e)-\ln(2)%%

Potenzregel für Logarithmus anwenden

%%=\ln\left(2\right)+2\cdot\ln\left(e\right)+\ln\left(e\right)-\ln\left(2\right)%%

Zusammenfassen.

%%=3\cdot\ln\left(e\right)=%%

Benutze %%\ln\left(\mathrm e\right)=1%% .

%%=3%%

%%\frac23e^{-\ln\left(\frac34k\right)}%%

Rechenregeln für Logarithmus anwenden

Artikel zum Thema

$$\frac23e^{-\ln\left(\frac34k\right)}$$

$$=\frac23\cdot\frac1{e^{\ln\left({\displaystyle\frac34}k\right)}}$$

Quotientenregel für Logarithmus anwenden.

$$=\frac23\cdot\frac1{{\displaystyle\frac34}k}$$

Division von Brüchen

$$=\frac23\cdot\frac4{3k}$$

$$=\frac8{9k}$$

Vereinfache jeden der Terme so weit wie möglich

%%\ln(\frac{3}{a})+\ln(6a)%%

Möglicher Lösungsweg mit den Logarithmus-Rechenregeln:

%%\ln(\frac 3 a )+ \ln(6a)=%%

Ziehe den Quotienten im ersten Logarithmus und das Produkt im zweiten Logarithmus mit den Rechenregeln für Logarithmen auseinander.

%%\ln(3)-\ln(a)+\ln(6)+\ln(a)=%%

Vereinfache.

%%\ln(3)+\ln(6)=%%

Ziehe die beiden Summanden mit den Logarithmus-Rechenregeln wieder zusammen.

%%\ln(3\cdot 6)=\ln(18)%%

Ohne Taschenrechner lässt sich dieser Term nicht weiter vereinfachen.

Löse die Gleichungen über der Grundmenge %%G=\mathbb{R}%%

Zu text-exercise-group 79689:
ZenGorilla 2019-09-18 10:39:16+0200
Bei den Aufgaben b) bis i) fehlen die Lösungen. Oder ich kann sie nicht sehen...
MarK97 2019-09-18 13:43:38+0200
Hi ZenGorilla,
vielen Dank für diesen Hinweis, hier fehlen tatsächlich Lösungen. Hat vielleicht jemand aus der Community Lust, welche hinzuzufügen?
Falls du Zeit und Lust hast, kannst du natürlich auch gerne selbst Lösungen hinzufügen, Hilfe dazu findest du hier: https://de.serlo.org/community/hilfe-bearbeitung
LG Mark
ZenGorilla 2019-09-18 17:51:41+0200
Ich versuche, erstmal auf die Lösungen zu kommen. Ich versuche, in den nächsten Tagen mal ein paar einzustellen.
ZenGorilla 2019-09-21 06:05:51+0200
Ich habe noch drei Lösungen eingefügt. Hoffe, sie passen so. Die noch fehlende Aufgabe h) ist eine quadratische Gleichung. Die kann ich zur Zeit noch nicht lösen.
Nish 2019-09-22 09:08:06+0200
Mega Cool, dass du selbstständig die Lösungen hinzugefügt hast, ZenGorilla! Freut mich und sicher auch Mark sehr :) Ich oder jdn. anderes aus der Community schaut sich deine Lösungen an und stellen diese danach mit ggf. Feedback (Verbesserungsvorschläge) an dich online ;)

LG,
Nish
ZenGorilla 2019-09-23 03:56:54+0200
Hi Nish. Sehr gerne. Hat Spaß gemacht. Ich warte schon auf das Feedback. :-)
Nish 2019-09-23 15:20:27+0200
Hallo ZenGorilla,

aus Zeitgründen komme ich erst heute Abend oder morgen dazu, dir mein Feedback zu übermiiteln. Hoffe, dass es so in Ordung geht ;)

LG und bis bald,
Nish
Nish 2019-09-24 23:18:59+0200
Hallo ZenGorilla,

ich bin heute noch dazu gekommen, dir mein Feedback zu übermitteln :) (siehe meine drei Kommentare unter den jeweiligen Lösungen) Ich hoffe, du kommst damit gut zurecht und ich helfe dir damit weiter. Falls ich etwas besser machen kann oder dir anders viel mehr helfen kann, lass es mich wissen.

LG,
Nish
ZenGorilla 2019-09-25 04:48:41+0200
Guten Morgen. Vielen Dank für das Feedback. Gibt ja doch einiges zu beachten. ;-) Ich glaube, dass ich alles verstanden habe und kann es auch nachvollziehen. Ich versuche, dass ich das bei meinen anderen Lösungen selbst ändere, dann seh ich gleich, wie es funktioniert. Kann aber ein paar Tage dauern, weil nicht immer so dazu komme. Wenn ich noch Fragen habe, melde ich mich.
Nish 2019-09-25 17:19:39+0200
Hi :) Sehr gerne und super! Danke auch dir für deine sehr schnelle Rückmeldung! Freut mich, dass du die Aufgaben gleich selber überarbeiten möchtest. Lass dir ruhig Zeit bzw. mach dir kein Stress.
Ich hab natürlich vollstes Verständnis für deine unterschiedlichen Zeitkapazitäten.

LG,
Nish
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%%\mathrm e^x=9{,}5%%

Exponentialgleichung lösen

Da bei dieser Gleichung die gesuchte Variable %%x%% im Exponenten vorkommt, handelt es sich bei der Gleichung um eine Exponentialgleichung.

Allgemeine Erklärungen und Hilfe zum Lösen von Exponentialgleichungen findest du im Serlo-Artikel zur Exponentialgleichung.

%%\mathrm e^x=9{,}5%%

%%\Big |\ \ln (…)%%

Wende die %%\ln%%-Funktion an.

%%\ln(\mathrm e^x) = \ln(9{,}5)%%

Da %%\ln(x)%% die Umkehrfunktion zu %%\mathrm e^x%% darstellt, heben sich %%\mathrm e^{…}%% und %%\ln (…)%% auf.

%%x=\ln(9{,}5)%%

Damit hast du die Lösung gefunden.

Wenn du möchtest, kannst du %%\ln(9{,}5)%% noch in den Taschenrechner eingeben, einen Näherungswert dafür ausrechnen lassen und das Ergebnis dann zum Beispiel auf 4 geltenden Ziffern gerundet angeben.

%%x\approx 2{,}251%%

In die Lösungsmenge schreibst du aber besser das exakte Ergebnis.

%%\mathbb{L} =\{ \ln (9{,}5) \}%%

e2x=3e^{2x}=-3

Exponentialgleichung lösen

In dieser Aufgabe geht es um das Lösen einer Exponentialgleichung.
e2x=3e^{2x} = -3
Wenn du den natürlichen Logarithmus auf beide Seiten anwendest, erhältst du:
2x=ln(3)2x = \ln(-3)
Da die Zahl -3 aber nicht in der Definitionsmenge R\mathbb{R}⁺ des Logarithmus enthalten ist, gibt es keine Lösung für diese Gleichung.
Die Lösungsmenge ist also die leere Menge: L={}\mathbb{L} = \{\}
Mit den Potenzgesetzen, kannst du den Term auf der linken Seite umschreiben:
(ex)2=3\left(e^x\right)^2 = -3
Hier kannst du nun erkennen, dass auf der linken Seite quadriert wird und dabei (in den reellen Zahlen) niemals eine negative Zahl, wie -3, herauskommen kann.
3e0,1x+2=183e^{0,1x+2}=18

Exponentialgleichung lösen

In dieser Aufgabe geht es um das Lösen einer Exponentialgleichung.
3e0,1x+2=18Abstand:33e^{0,1x+2}=18 \phantom{Abstand}| :3
e0,1x+2=6Abstandiiiln(...)e^{0,1x+2} = 6 \phantom{Abstandiii} | \ln(...)

Zuerst teilst du beide Seiten durch 33, so dass der Term mit dem xx alleine links steht. Danach wendest du den natürlichen Logarithmus auf die Gleichung an. Da er die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion ist, verschwindet diese.
0,1x+2=ln(6)Abstandln(6)1,790{,}1x+2=\ln(6) \phantom{Abstand} |\ln(6) \approx 1{,}79
0,1x+21,79Abstandi20{,}1x + 2 \approx 1{,}79 \phantom{Abstandi}| -2
0,1x=1,7920{,}1x = 1{,}79 - 2 
0,1x=0,21Abstandiiii:0,10{,}1x= -0{,}21 \phantom{Abstandiiii} | :0{,}1
x=2,1x = -2{,}1
Anschließend stellst du die Gleichung um, in dem du die 22 abziehst und anschließend durch 0,10{,}1 teilst.
Als Lösungsmenge erhältst du:
L={2,1}\mathbb{L} = \{-2{,}1\}
0,1x=ln(6)2Absta100{,}1x = \ln(6) - 2 \phantom{Absta} |\cdot10
x=10ln(6)20x = 10\ln(6) -20
L={10ln(6)20}\mathbb{L} = \{10\ln(6)-20\}
2lnx=182\ln x=18

Logarithmische Gleichung lösen

In dieser Aufgabe geht es um das Lösen einer Gleichung mit einem Logarithmus.
2lnx=18Abstand:22\ln x = 18 \phantom{Abstand} | :2
lnx=9Abstandnne(...)\ln x = 9 \phantom{Abstandnn} |e^{(...)}
x=e9x = e^9
Zuerst teilst du durch 22, damit nichts mehr vor dem "ln\ln" steht. Danach wendest du die Exponentialfunktion auf beide Seiten an, so dass das xx alleine steht. Dann erhältst du die Lösung:
L={e9}\mathbb{L} = \{e^9\}
Alternativ kannst du natürlich auch den Wert von e⁹ e⁹\ noch berechnen und erhältst:
x  8103x\ \approx\ 8103.
ln(3x)ln(1,5)=2\ln(3x)-\ln(1{,}5)=2

Logarithmische Gleichung lösen

In dieser Aufgabe geht es darum eine Gleichung mit einem Logarithmus zu lösen.
Als Erstes wendest du die Rechenregeln des Logarithmus an, um die linke Seite der Gleichung umzustellen.
ln(3x)  ln(1,5) = 2\ln\left(3x\right)\ -\ \ln\left(1,5\right)\ =\ 2
ln(3x1,5)=2Abstand3x1,5=2x\ln\left(\dfrac{3x}{1{,}5}\right) = 2 \phantom{Abstand} | \dfrac{3x}{1{,}5} =2x
ln(2x)=2Abstandaiie(...)\ln(2x) = 2 \phantom{Abstandaii} |e^{(...)}
Nun wendest du auf beide Seiten der Gleichung die Exponentialfunktion an. Und teilst anschließend durch 22.
2x=e²Abstandmana:22x = e²\phantom{Abstandmana} |:2
x=12e2x = \dfrac12 e^2
L={12e2}\mathbb{L} = \left\{\dfrac12 e^2\right\}

%%\ln(3^x)=\ln(27)%%

Rechnen mit e und ln

Thema dieser Aufgabe ist die ln-Funktion.

$$\ln\left(3^x\right)=\ln\left(27\right)$$

$$x\cdot\ln\left(3\right)=\ln\left(27\right)$$

Dividiere auf beiden Seiten $$\ln\left(3\right)$$

$$x=\frac{\ln\left(27\right)}{\ln\left(3\right)}$$

Schreibe %%\ln(27)%% als %%\ln(3^3)%% und wende die Potenzregel für Logarithmen an.

$$x=\frac{\ln(3^3)}{\ln(3)}=\frac{3 \cdot \ln(3)}{\ln(3)}$$

Kürze nun.

%%x= 3%%

%%\ln(5\mathrm e^{x+2})=\dfrac{\ln(25)}{2}%%

Rechnen mit e und ln

In dieser Aufgabe geht es hauptsächlich um den Logarithmus und dessen Regeln.

$$\ln\left(5e^{x+2}\right)=\frac{\ln\left(25\right)}2$$

$$\ln\left(5\right)+\ln\left(e^{x+2}\right)=\frac{\ln\left(25\right)}2$$

Forme $$\ln\left(5\right)$$ zu einem Bruch um, erweitere zu $$\frac{2\cdot\ln\left(5\right)}2$$ und subtrahiere auf beiden Seiten.

$$\ln\left(e^{x+2}\right)=\frac{\ln\left(25\right)-2\cdot\ln\left(5\right)}2$$

Verwende auf beiden Seiten die Potenzregel für Logarithmen.

$$(x+2)\cdot\ln\left(e\right)=\frac{\ln\left(25\right)-\ln\left(5^2\right)}2$$

$$\ln\left(e\right)=1$$ Vereinfache auf der rechten Seite (Potenz ausrechnen, Logarithmen subtrahieren, es bleibt 0 im Zähler und daher 0 auf der rechten Seite).

$$x+2=0$$

Subtrahiere auf beiden Seiten 2.

$$x=-2$$

ex25ex=0e^{x^2}-5e^{x}=0

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Natürlicher Logarithmus

Du kannst die Aufgabe mit folgender Strategie lösen:
1) Schreibe die Gleichung so um, dass auf beiden Seiten der natürliche Logarithmus angewendet werden kann.
2) Wende auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an.
3) Die erhaltene Gleichung ist eine quadratischen Gleichung. Löse diese dann mit der p-q-Formel.
In dieser Aufgabe geht es darum, eine Gleichung mit einer e-Funktion zu lösen. Der Definitionsbereich für diese Gleichung ist D=R\mathbb{D}=\mathbb{R}.


1) Schreibe die Gleichung um


ex25ex=0e^{x^2}-5 \cdot e^x =0

Addiere auf beiden Seiten der Gleichung 5ex5 \cdot e^x

ex2=5exe^{x^2}=5 \cdot e^x


2) Wende auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an.


ln(ex2)=ln(5ex)ln(e^{x^2})= ln(5 \cdot e^x)

Betrachte zunächst die linke Seite der Gleichung und verwende die Potenz zu Produkt Regel an.
Wende auf der rechten Seite der Gleichung die Produkt zu Summe Regel und anschließend die Potenz zu Produkt Regel an.

x2ln(e)=ln(5)+ln(ex) x^2 \cdot ln(e)= ln(5) + ln(e^x)

Beachte auf beiden Seiten, dass ln(e)=1ln(e) = 1 ist.

x2=ln(5)+xx^2 = ln(5) +x


3) Löse die quadratische Gleichung mit der p-q-Formel.


Subtrahiere auf beiden Seiten der Gleichung xx und ln(5)ln(5).

x2xln(5)=0x^2-x-ln(5)=0

Du hast nun eine quadratische Gleichung erhalten.

Löse die quadratische Gleichung mit der p-q- Formel.

x1/2=12±(12)2+ln(5)=0,5±(0,25+ln(5)x_{1/2}= \dfrac{1}{2} \pm \sqrt{(\dfrac{1}{2})^2+ln(5)}=0,5 \pm \sqrt{(0,25+ln(5)}

x1/2Dx_{1/2}\in \mathbb{D}, also ist die Lösungsmenge:
L={0,5(0,25+ln(5);0,5+(0,25+ln(5)}\mathbb{L}= \left\{0,5 - \sqrt{(0,25+ln(5)};0,5 + \sqrt{(0,25+ln(5)}\right\}


%%\dfrac{e^{3+5x}}{e^{2x}}=e^9%%

Rechnen mit e und ln

Hier geht es hauptsächlich um den natürlichen Logarithmus und die Rechenregeln für Logarithmen.

$$\frac{e^{3+5x}}{e^{2x}}=e^9$$

Verwende links die Quotientenregel für Potenzen.

$$e^{3+5x-2x}=e^9$$

Vereinfache links und wende auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus an.

$$\ln\left(e^{3x+3}\right)=\ln\left(e^9\right)$$

Verwende auf beiden Seiten die Potenzenregel für Logarithmen und die Tatsache, dass $$\ln\left(e\right)=1$$ ist.

$$3x+3=9$$

Subtrahiere auf beiden Seiten 3 und dividiere durch 3.

$$x=2$$

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Renate 2019-07-29 22:18:38+0200
AUFGABEN DOPPELT

Im Augenblick sind, soweit ich es richtig überblicke, die Aufgaben 1a bis 1e von der Aufgabenstellung her inhaltlich identisch mit den Aufgaben 2a bis 2e.

Ich schlage vor, dass wir die Aufgaben 2a bis 2e herausnehmen.


Die Aufgaben "separat" in der Aufgabe 1 zu haben, hat nämlich den Vorteil, dass dann in Aufgabe 1 die Aufgaben sind, in denen nur die e-Funktion und nicht außerdem der ln vorkommt, und in Aufgabe 2 die Aufgaben, in denen der ln enthalten ist.

(Das hat u. U. Vorteile bei der Einbindung in Lehrpläne, da man dort nur Aufgabengruppen als Ganzes einbinden kann.)


Bevor 2a bis 2e gelöscht werden, sollte man allerdings noch einen Blick auf die Lösungen werfen, und sehen, welche jeweils besser gestaltet ist.


Hat jemand Einwände gegen diese Vorgehensweise?

Viele Grüße
Renate
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Nanami 2019-07-29 13:10:14+0200
Die Schriftgrößen sind hier sehr unterschiedlich. Z.B. bei 2.c) ist die Schrift sehr klein. Es wäre super hier eine einheitliche Lösung zu finden. :-)
Renate 2019-07-29 21:44:09+0200
Hallo Nanami,

bei Aufgabe 2c lag das daran, dass hier ein Bruch steht.

Ich habe jetzt die vergrößerte Bruchdarstellung (mit dem Befehl \dfrac) statt der "normalen" (mit \frac) verwendet. Ist es jetzt so besser?

Viele Grüße
Renate
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