Die Logarithmusfunktion mit der Basis %%e%%, der Eulerschen Zahl, wird natürlicher Logarithmus oder auch %%\ln%%-Funktion genannt. Ihre Funktionsvorschrift ist:

$$f:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}, x\mapsto \ln(x)$$

Dabei bezeichnet %%\ln(x)%% den Logarithmus zur Basis %%e%%, also %%\ln(x)=\log_e(x)%%.

Eigenschaften

Die %%\ln%%-Funktion hat die gleichen Eigenschaften wie Logarithmusfunktionen zu beliebigen Basen. Weil %%e\approx2,718>1%% ist sie monoton steigend.

Graph der %%\ln%%-Funktion:

Beziehung zu anderen Funktionen

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion der %%\ln%%-Funktion ist die %%e%%-Funktion. Für %%f(x)=\ln(x)%% gilt also:

$$f^{-1}(x)=e^x\quad\Rightarrow\quad e^{\ln(x)}=x=\ln(e^x)$$

Ableitung

Die Ableitung von %%f(x)=\ln(x)%%, ist gegeben durch:

$$f'(x)=\frac1x$$

Herleitung der Ableitung

Sind die Umkehrfunktion und ihre Ableitung bekannt, kann man mit Hilfe der Umkehrregel die Ableitung der Funktion berechnen:

Sind %%f%% und %%f^{-1}%% differenzierbar, dann gilt mit %%y=f(x)%%: $$(f^{-1})'(y)=\frac1{f'\left(f^{-1}(y)\right)}=\frac1{f'(x)}$$

Im Fall %%y=\ln(x)%% heißt das:

$$f^{-1}(y)=e^y,\quad (f^{-1})'(y)=e^y$$

$$\Rightarrow\quad e^y=\frac1{f'(x)}\quad\Rightarrow\quad f'(x)=\frac1{e^y}=\frac1{e^{\ln(x)}}=\frac1x$$

Stammfunktion

Das erste Integral bzw. eine Stammfunktion zu %%f(x)=\ln(x)%% lautet:

$$F(x)=x\cdot\ln(x)-x$$

Zur Herleitung bzw. Berechnung der Stammfunktion siehe den Artikel Partielle Integration.

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Zu article ln-Funktion: Ergänzungen
blacksleet 2014-03-11 16:23:23
Die Formel, um Logarithmen zu einer anderen Basis zu berechnen sollte ergänzt werden.
Außerdem sollte ein Link zum Logarithmus-Artikel her.
Tinsaye 2014-04-08 18:11:59
Vielleicht sollte noch Definitions und Wertebereich ergänzt werden