Aufgaben zu Kreisen und Kreisteilen

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Berechne die Fläche des markierten Kreissegments. Dabei ist der Radius $r = 20 c m$ und $φ = 108 °$ . Runde deine Lösung auf ganze ${cm}^{2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreissektor

r=20cm

$φ$ =108°

ges: $A_{S e g m e n t}$

Zunächst den Flächeninhalt des Kreissektors berechnen.

$A_{K r e i s s e k t o r} = {(20 cm)}^{2} \cdot π \cdot \frac{108^{\circ}}{360^{\circ}}$

$= 400 c m^{2} \cdot π \cdot \frac{3}{10} = 377 {cm}^{2}$

Die Höhe h berechnen, indem man das geteilte, rechtwinklige Dreieck betrachtet und den Cosinus anwendet.

$\cos (\frac{φ}{2})$	$=$	$\frac{h}{r}$	$\cdot r$
	↓	Die Gleichung nach h umstellen.
$h$	$=$	$\cos (54^{\circ}) \cdot 20 c m = 11,8 cm$
	↓	Jetzt mit dem Satz von Pythagoras $\frac{s}{2}$ berechnen.
$h^{2} + {(\frac{s}{2})}^{2}$	$=$	$r^{2}$	$- h^{2}$
	↓	Nach ${(\frac{s}{2})}^{2}$ umstellen.
${(\frac{s}{2})}^{2}$	$=$	$r^{2} - h^{2}$
	↓	Werte einsetzen.
${(\frac{s}{2})}^{2}$	$=$	$400 {cm}^{2} - 139,24 {cm}^{2}$
	↓	Subtrahieren und die Wurzel ziehen.
$\frac{s}{2}$	$=$	$16,1 cm$
	↓	s berechnen, indem man $\frac{s}{2}$ mit 2 multipliziert.
$s$	$=$	$16,1 cm \cdot 2$
$s$	$=$	$32,2 cm$

Den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen, dessen Seiten r, r und s sind.

$A_{S e g m e n t} = A_{K r e i s s e k t o r} - A_{D r e i e c k}$

$= 377 {cm}^{2} - 190 {cm}^{2} = 187 {cm}^{2}$