Aufgaben zu Kreisen und Kreisteilen

Aufgaben
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius

  1. Informiere dich genau über die Begriffe: Umfang, Durchmesser, Radius.
  2. Sobald du die Definitionen kennst, weißt du die Antwort.



Der Radius ist die Länge einer Strecke vom Mittelpunkt MM bis zum Rand des Kreises.
Kreis Kreisbegriff
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Wie berechnet man den Flächeninhalt AA von einem Kreis mit Radius rr?
A=π⋅r2A=\pi \cdot r^2
A=π2⋅rA=\pi^2 \cdot r
A=r2⋅πA=\dfrac{r}{2}\cdot \pi
A=2⋅π⋅rA = 2\cdot \pi \cdot r

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius

Denke zuerst logisch nach, welche Formel am sinnvollsten für dich erscheint. Wenn du dir nicht weiter helfen kannst, benutze deine Formelsammlung! Wenn du keine hast, recherchiere im Internet.



Die richtige Antwort ist A=π⋅r2A=\pi \cdot r^2. Sie ist die einzige Formel unter den Antwortmöglichkeiten, bei der du eine Fläche als Ergebnis erhältst. Rechne zum Beispiel mit r=1 cmr=1\text{ cm}. Dann erhältst du A=π⋅1 cm2≈3,14 cm2A=\pi \cdot 1 \text{ cm}^2 \approx 3,14 \text{ cm}^2. In den anderen Formeln kommt der Radius rr ohne Quadrat vor und dein Ergebnis wird keine Fläche.
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Welche Formel stimmt? (Mit AA ist der Flächeninhalt vom Kreis gemeint.)
Kreis Kreisbegriffe
A=U⋅r2A =\dfrac{U\cdot r}{2}
A=πrA=\dfrac{\pi}{r}
r=2⋅dr=2 \cdot d
U=π⋅rU=\pi \cdot r

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formeln zum Kreis

Denke zuerst logisch nach, welche Formel am sinnvollsten für dich erscheint. Wenn du dir nicht weiter helfen kannst, benutze deine Formelsammlung! Wenn du keine hast, recherchiere im Internet.



Die richtige Antwort ist A=U⋅r2A=\dfrac{U\cdot r}{2}.
Um zu überprüfen, dass die Antwort stimmt, kannst du die Formel für den Umfang U=2⋅π⋅rU=2 \cdot \pi \cdot r einsetzen.
A=U⋅r2=2⋅π⋅r⋅r2A=\dfrac{U\cdot r}{2} =\dfrac{2 \cdot \pi \cdot r \cdot r}{2}
Kürze den Bruch.
A=π⋅r⋅r=π⋅r2A=\pi \cdot r \cdot r = \pi \cdot r^2
Das ist die richtige Formel für den Flächeninhalt. Es wurden nur Äquivalenzumformungen verwendet. Deshalb ist auch die Ausgangsformel A=U⋅r2A=\frac{U \cdot r}{2} richtig.
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Auf welchem Bild ist ein Kreissegment dargestellt?

Leider falsch. Das ist ein Kreissektor.

Falsch. Das hier hat keinen besonderen Namen.

Falsch. Das ist ein Kreisbogen.

Richtig. Gut gemacht!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis

Benutze deine Formelsammlung! Wenn du keine hast, recherchiere im Internet.



Ein Kreissegment ist im nebenstehenden Bild zu sehen.
Kreisteile
Die Grundbegriffe zum Kreis musst du auswendig können.
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Berechne von den folgenden geometrischen Körpern/Figuren den Radius rr.
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Ein Kreis hat den Umfang U=6,283 cmU=6,283 \text{ cm}. Berechne den Radius rr. Runde das Ergebnis auf drei Dezimalstellen genau.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius

  1. Stelle die richtige Formel für die Berechnung des Radius' bereit.
  2. Der Umfang ist ja gegeben - das heißt, du musst nach r umstellen.
  3. Setze ein und berechne.
  4. Runde dann am Ende auf drei Dezimalstellen.



gegeben: U=6,283 cmU=6,283 \text{ cm}
gesucht: rr
Um den Radius zu berechnen, wenn der Umfang gegeben ist, benutzt du die passende Formel und forme nach rr um.
U=2πrU=2\pi r
∣:2π\mid : 2\pi
U2π=r\dfrac{U}{2\pi}=r
Setze den Wert für den Umfang UU ein.
r=6,283 cm2πr=\dfrac{6,283 \text{ cm}}{2\pi}
Berechne mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis.
r≈1,000 cmr\approx 1,000 \text{ cm}

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Ein Kreis hat die Fläche A=7,35 m2A=7,35 \text{ m}^2. Berechne den Radius rr in cm\text{cm}, runde dabei auf ganze cm\text{cm}!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius


  1. Stelle die richtige Formel für die Berechnung des Radius' bereit.
  2. Die Fläche ist ja gegeben - das heißt, du musst nach r umstellen.
  3. Setze ein und berechne.
  4. Vergiss nicht auf ganze cm umzuformen!



gegeben: A=7,35 m2A=7,35 \text{ m}^2
gesucht: rr in cm\text{cm}
Um den Radius zu berechnen, wenn die Fläche gegeben ist, benutzt du die passende Formel und forme nach rr um.
A=πr2A=\pi r^2
∣:π\mid :\pi
Aπ=r2\dfrac{A}{\pi}=r^2
Ziehe die Wurzel.
±Aπ=r\pm \sqrt{\dfrac{A}{\pi}}=r
Der Radius kann nur positiv sein. Daher kannst du das negtive Ergebnis ignorieren.
r=Aπr=\sqrt{\dfrac{A}{\pi}}
Setze den Wert für die Fläche AA ein.
r=7,35 m2πr=\sqrt{\dfrac{7,35 \text{ m}^2}{\pi}}
Rechne mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis.
r≈1,53 mr\approx1,53 \text{ m}
Rechne in cm\text{cm} um.
r≈153 cmr\approx 153 \text{ cm}

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Zeichne dieses Mandala mit dem Zirkel.
Zeichnen mit Zirkel
Die genaue Reihenfolge beim Zeichnen ist nicht festgegeben. Falls du die Schritte in einer anderen Reihenfolge gemacht hast, ist das auch richtig.

Schritt 1

Stelle deinen Zirkel auf 2,5cm ein. Zeichne mit dem Zirkel einen Kreis.
Zeichnen mit Zirkel

Schritt 2

Schau im Bild nach wie groß der Radius des kleinen Kreises ist. Er beträgt 1,5cm. Wichtig ist hier, dass du dabei nicht das Bild auf dem Bildschirm abmisst, sondern überlegst wie breit ein Kästchen ist. Der Radius des großen Kreises soll 2,5cm betragen. Wenn du nun ins Bild schaust, kannst du erkennen, dass genau 5 große Kästchen zwischen dem Mittelpunkt und der Außenlinie sind. Zwischen dem kleinen Kreis und der Außenlinie gibt es drei Kästchen, also ist der Radius 1,5cm. Stich mit dem Zirkel erneut in den Mittelpunkt und zeichne den kleinen Kreis mit Radius 1,5cm.
Zeichnen mit Zirkel

Schritt 3

Du stellst deinen Zirkel nicht um und lässt ihn bei 1,5cm. Du stichst an einer beliebigen Stelle des kleinen Kreises ein (hier im Bild bei B2 B_2) und zeichnest mit dem Zirkel eine Line im Inneren des kleinen Kreises. Diese Linie sollte durch den Mittelpunkt gehen (hier im Bild V1V_1).
Zeichnen mit Zirkel

Schritt 4

Nun setzt du den Zirkel dort an, wo die neue Linie den Kreis schneidet (im Bild A2A_2). Von dort aus zeichnest du wieder eine gekrümmte Linie mit dem Zirkel im Inneren des kleinen Kreises.
Zeichnen mit Zirkel

Schritt 5

Nun führst du den Schritt 4 immer wieder aus, bis eine Blume im Inneren des kleinen Kreises entsteht.
Zeichnen mit Zirkel
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Zeichne die folgende Figur mit dem Zirkel nach. Du kannst die Zeichnung selbstverständlich in den Grautönen deines Zirkels belassen. Tipp: der Radius der orangen Halbkreise beträgt 1cm.

Bei diese Zeichnung gibt es keinen Halbkreis mit dem man zuerst beginnen muss. Die Reihenfolge liegt ganz bei dir. Die Musterlösung beginnt bei den orangen Halbkreisen.

Schritt 1

Zeichne eine Hilfsline auf dein Blatt. Stelle deinen Zirkel auf 1cm ein. Wähle nun einen Punkt auf der Linie und steche dort mit dem Zirkel ein. Zeichne den Halbkreis.
Zeichnen mit Zirkel

Schritt 2

Nun stichst du mit dem Zirkel an der Stelle der Hilfslinie ein, wo der erste Halbkreis sie schneidet. Nun kannst du den unteren Halbkreis zeichnen. Dieser Halbkreis schneidet nun wieder die Hilfslinie. Genau dort kannst du wieder einstecken und den letzten Halbkreis zeichnen.
Zeichnen mit Zirkel

Schritt 3

Nun musst du deinen Zirkel verstellen. Stelle ihn auf 0,5cm ein. Jetzt stichst du wieder am Anfangspunkt ein und zeichnest einen Halbkreis.
Zeichnen mit Zirkel

Schritt 4

Für den nächsten blauen Halbkreis stichst du dort ein, wo die beiden orangen Halbkreise die Hilfsline schneiden. Für den dritten Halbkreis stichst du dort ein, wo der untere orange Halbkreis an seinem rechten Ende die Hilfsline schneidet.
Zeichnen mit Zirkel

Schritt 5

Nun fehlen nur noch zwei Halbkreise. Für den linken lila Halbkreis stichst du dort ein, wo der linke blaue Halbkreis die Hilfsline schneidet. Für den rechten Halbkreis stichst du mit deinem Zirkel dort ein, wo der rechte blaue Halbkreis die Hilfsline schneidet.
Zeichnen mit Zirkel

Schritt 6

Wenn du Lust hast, kannst du nun die Linien bunt nachfahren, oder auch eine kleine Autorennstrecke in deine Zeichnung malen.
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Zeichne folgende Figuren auf ein kariertes Blatt Papier. Nutze Zirkel und Lineal.
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In dieser Aufgabe übst du den Umgang mit Zirkel und Lineal.
Die Figur besteht aus 6 Halbkreisen. Im Bild sind deren Kreismittelpunkte mit Kreuzen markiert. Die großen Kreise haben einen Radius von 3 Kästchen, die kleinen einen Radius von 2 Kästchen.
Zudem musst du noch ein paar Linien einzeichnen. Achte auf die Abstände der Linien und Kreise.
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In dieser Aufgabe übst du den Umgang mit dem Zirkel.
Die Figur besteht aus einem Kreis in der Mitte, 4 Dreiviertelkreise oben, unten, links und rechts sowie 4 Halbkreisen.
Im Bild sind die Kreismittelpunkte mit Kreuzen markiert.
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In dieser Aufgabe übst du den Umgang mit Zirkel und Lineal.
Die Figur besteht aus 4 Kreisen, einem Dreieck und 9 Linien im Inneren des Dreiecks.
Im Bild sind die Kreismittelpunkte mit Kreuzen markiert. Zeichne zuerst einen vollen Kreis um M1M_1 mit einem Radius von 2 Kästchen. Danach kannst du einen Kreisbogen um M2M_2 mit einem Radius von 2 Kästchen ziehen. Die weiteren 2 Kreisbogen ergeben sich durch zeichnen eines Kreisbogens um M3M_3 und M4M_4.
Nun kannst du die dreieckige Eistüte zeichnen. Das Rautenmuster in der Tüte ergibt sich durch Einzeichnen von Diagonalen durch die Kästchen im Inneren des Dreiecks.
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In dieser Aufgabe übst du den Umgang mit dem Zirkel.
Das Muster ergibt sich durch Einzeichnen von 24 Viertelkreisen. Im Bild sind die Mittelpunkte der Kreisbögen mit Kreuzen markiert.
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Bestimme den Flächeninhalt der folgenden Kreissektoren. Gib deine Lösungen auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet ein.
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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formel für die Berechnung der Kreissektorfläche

A=r2⋅π⋅α360∘\displaystyle A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ}
Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen. Rechne anschließend den Term aus:

A=r2⋅π⋅α360°=102⋅π⋅25°360°=100⋅π⋅572≈21,82\displaystyle \begin{array}{rl}A&= r^2\cdot \pi \cdot \frac{\alpha}{360°}\\&=10^2\cdot \pi \cdot \frac{25°}{360°}\\&=100\cdot \pi \cdot \frac{5}{72}\\&\approx 21,82\end{array}

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Kreissektor mit Bogenlänge

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Kreissektors

ASektor=b⋅r2\displaystyle \displaystyle A_\text{Sektor}=\frac{b\cdot r}2
Setze die Bogenlänge und den Radius in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
ASektor=b⋅r2= 5,82⋅62=17,46  \displaystyle \displaystyle A_\text{Sektor}=\frac{b\cdot r}2=\:\frac{5,82\cdot6}2=17,46\;
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Kreissektor mit Mittelpunktswinkel

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Kreissektors

A=r2⋅π⋅α360∘\displaystyle A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ}
Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
A=r2⋅π⋅α360∘=82⋅π⋅60∘360∘\displaystyle A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ}=8^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac{60^\circ}{360^\circ}
Rechne aus und runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
=  64⋅π⋅16≈33,51\displaystyle =\;64\cdot\mathrm\pi\cdot\frac{1}{6}\approx33,51
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Kreissektor mit Mittelpunktswinkel und Bogenlänge

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Kreissektors

1. Möglichkeit: Mit dem Radius und dem Mittelpunktswinkel

Benutze die Formel, in der α\alpha und rr vorkommen:
A=r2⋅π⋅α360∘\displaystyle A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ}
Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
A=r2⋅π⋅α360∘=82⋅π⋅125∘360∘\displaystyle A=r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac\alpha{360^\circ}=8^2\cdot\mathrm\pi\cdot\frac{125^\circ}{360^\circ}
Berechne.
=  64⋅π⋅2572≈69,81\displaystyle =\;64\cdot\mathrm\pi\cdot\frac{25}{72}\approx69,81

2. Möglichkeit: Mit dem Radius und der Länge des Kreisbogens

Benutze die Formel, in der bb und rr vorkommen:
ASektor=b⋅r2\displaystyle \displaystyle A_\text{Sektor}=\frac{b\cdot r}2
Setze die Bogenlänge und den Radius in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
ASektor=b⋅r2= 17,44⋅82=69,76  \displaystyle \displaystyle A_\text{Sektor}=\frac{b\cdot r}2=\:\frac{17,44\cdot8}2=69,76\;
Die kleine Abweichung zum vorherigen Ergebnis kommt vom Runden der Länge des Kreisbogens.
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Der abgebildete Rasensprenger schwenkt um 40° und besprüht so eine Rasenfläche von 20 m220\:m^2.
Wie groß ist seine Reichweite?
Gib das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet ein.
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreissektor

Bei dieser Aufgabe musst du den Radius eines Kreissektors berechnen.
Die besprühte Rasenfläche bildet einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel φ=40∘\varphi=40^\circ und dem gesuchten Radius r.
r2⋅π⋅φ360∘=20  m2\dfrac{r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm\varphi}{360^\circ}=20\;m^2
Setze den Wert φ=40∘\varphi = 40^\circ in die Formel ein.
r2⋅π⋅40∘360∘=20  m2\dfrac{r^2\cdot\mathrm\pi\cdot\mathrm40^\circ}{360^\circ}=20\;m^2
Kürze die Winkel
r2⋅π9=20  m2\dfrac{r^2\cdot\mathrm\pi}{9}=20\;m^2
Löse die Gleichung nach r auf.
r=180  m2π=180πm≈7,57 mr=\sqrt{\dfrac{180\;m^2}{\pi}} = \sqrt{\dfrac{180}{\pi}}m \approx 7,57\ m
Der Rasensprenger reicht also 7,57 m7,57\,\text{m} weit.
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Berechne den Umfang der abgebildeten Figuren.
Beachte bei der Eingabe der Ergebnisse ins entsprechende Eingabefeld auf Folgendes:
Gib die Ergebnisse auf eine Stelle nach dem Komma gerundet und ohne Einheit ein.
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Fläche eines Viertelkreises


Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis

Umfang des Kreises: U  =  2⋅π⋅rU\;=\;2\cdot\pi\cdot r
Bei der Figur handelt es sich um einen rechtwinkligen Kreisausschnitt, also einen Kreisausschnitt mit 90∘90^\circ.
Du kannst demnach diese Gleichung durch 4 teilen bzw. mal ein Viertel nehmen, um den Umfang des Kreisbogens UKreisbogenU_{Kreisbogen} zu bestimmen.
UKreisbogen  =  14⋅2⋅π⋅rU_{Kreisbogen}\;=\;\frac14\cdot2\cdot\pi\cdot r

Alternativ

UKreisbogen  =  2⋅π⋅r⋅90∘360∘=14⋅2⋅π⋅rU_{Kreisbogen}\;=\;2\cdot\pi\cdot r \cdot \dfrac{90^\circ}{360^\circ}= \dfrac14\cdot2\cdot\pi\cdot r
Alternativ kannst du aber auch gleich die Formel für die Kreisbogenlänge mit dem Winkel φ=90∘\varphi = 90^\circ verwenden.
Jetzt fehlen noch die 2 geraden Stücke. Diese haben gerade jeweils die Länge des Radius rr des Kreises. Also musst du noch zwei Mal den Radius des Kreises addieren, um den gesamten Umfang der Figur UFigurU_{Figur} zu bekommen.
UFigur  =  14⋅2⋅π⋅r  +  2⋅rU_{Figur}\;=\;\frac14\cdot2\cdot\pi\cdot r\;+\;2\cdot r
Jetzt muss nur noch für r=3 cmr = 3 \, cm eingesetzt werden.
UFigur  =  14⋅2⋅π⋅3  +  2⋅3U_{Figur}\;=\;\frac14\cdot2\cdot\pi\cdot3\;+\;2\cdot3
UFigur  ≈  10,7 U_{Figur}\;\approx\;10,7\,
Das Ergebnis ist gerundet.
Der Umfang beträgt 10,7 cm10,7 \, cm..
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Fläche eines Sechstel-Kreises

Flächenberechnung am Rechteck mit zwei fehlenden Halbkreisen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis

Flächenberechnung am Rechteck mit zwei fehlenden Halbkreisen
Der Umfang dieser Figur UFigurU_{Figur} besteht aus zwei geraden Stücken jeweils der Länge 5,8 cm5{,}8\,cm und aus dem Umfang der zwei Halbkreise mit jeweils dem Radius 1,2 cm1{,}2\,cm.
Wenn du die zwei Halbkreise nebeneinander legst, erkennst du, dass ein Kreis mit dem Radius 1,2 cm1{,}2\,cm entsteht.
Du kannst folglich gleich den Umfang des Kreises (UKreis=2⋅π⋅rU_{Kreis}=2\cdot \pi \cdot r) mit dem Radius r=1,2 cmr= 1{,}2\,cm statt die Umfänge der zwei Halbkreise hernehmen.
Ugerade Stu¨cke=2⋅5,8U_{gerade \, Stücke} = 2 \cdot 5,8
UHalbkreise=UKreis=2⋅π⋅1,2U_{Halbkreise}=U_{Kreis}= 2 \cdot \pi \cdot 1,2
Ingesamt erhält man
UFigur=2⋅5,8+2⋅π⋅1,2≈19,1U_{Figur}=2\cdot5,8+2\cdot \pi \cdot 1,2\approx19,1% 
Der Umfang beträgt 19,1 cm19,1 \, cm.
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Begründe, wie sich jeweils Umfang und Flächeninhalt eines Kreises ändern, wenn man seinen Radius verdoppelt, verdreifacht bzw. vervierfacht.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnung am Kreis

Diagramm zum Verhältnis von Radius zum Umfang eines Kreises
Änderung des Umfangs beim Vervielfachen des Radius:
Stelle zuerst die Formel für den ursprünglichen, kleinen Umfang des Kreises auf.
U1=2⋅r1⋅πU_1=2\cdot r_1\cdot\pi
Ebenfalls die Formel für den neuen Umfang aufstellen:
U2=2⋅r2⋅πU_2=2\cdot r_2\cdot\pi
r1r_1 wird um den neuen Umfang U2U_2 zu erhalten vervielfacht: r2=n⋅r1r_2=n\cdot r_1. Setze ein.
U2=2⋅(r1⋅n)⋅π=n⋅2⋅r1⋅πU_2=2\cdot\left(r_1\cdot n\right)\cdot\pi=n\cdot2\cdot r_1\cdot\pi
Benutze 2⋅r1⋅π=U12\cdot r_1\cdot\pi=U_1 um den Ausdruck zu vereinfachen.
U2=n⋅U1U_2=n\cdot U_1
⇒\Rightarrow Das heißt der Umfang, des Kreises vergrößert sich um den Faktor nn.
Also wird der Umfang beispielsweise doppelt so groß, wenn der Radius verdoppelt wird.
Änderung des Flächeninhalts beim Vielfachen des Radius:
Stelle zuerst die Formel für den ursprünglichen Flächeninhalt des Kreises auf.
A1=r12πA_1=r_1^2\pi
Ebenfalls die Formel für den neuen Flächeninhalt aufstellen:
A2=r22πA_2=r_2^2\pi
r1r_1 wird um den neuen Flächeinhalt A2A_2 zu erhalten vervielfacht: r2=n⋅r1r_2=n\cdot r_1
A2=(n⋅r1)2π=n2⋅r12⋅πA_2=\left(n\cdot r_1\right)^2\pi=n^2\cdot r_1^2\cdot\pi
Benutze r12π=A1r_1^2\pi=A_1, um den Zusammenhang zu vereinfachen.
A2=n2⋅A1A_2=n^2\cdot{A}_1
⇒\Rightarrow Multipliziert man den Radius rr mit nn, so wird der Flächeninhalt des Kreises immer mit n2n^2 vervielfacht. Zum Beispiel wird der Flächeninhalt bei Verdoppelung des Radius viermal so groß.
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In einem Kreis mit Radius  r=5cmr=5\mathrm{cm} ist ein Sektor mit Mittelpunktswinkel φ=45∘\varphi=45^\circ eingezeichnet.
Gib die Fläche des Sektors und die Länge des zugehörigen Bogens an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreissektor

Thema dieser Aufgabe ist der Kreissektor.
r=5 cmr=5\text{ cm}
φ=45∘\varphi=45^\circ
Formel für die Bogenlänge anwenden um die Länge des Bogens zu berechnen.
b=π⋅5cm⋅45∘180∘=54πcm≈3,93cmb=\pi\cdot5\text{cm}\cdot\frac{45^{\circ}}{180^{\circ}}=\frac{5}{4}\pi\text{cm}\approx3,93\text{cm}
Formel für den Kreissektorflächeninhalt anwenden.
Aks=12⋅5cm⋅54πcm=258πcm2≈9,82cm2A_{ks}=\frac{1}{2}\cdot5\text{cm}\cdot\frac{5}{4}\pi\text{cm}=\frac{25}{8}\pi\text{cm}^2\approx9,82\text{cm}^2
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Ein runder Tisch zum Ausziehen hat einen Durchmesser von 1,20 m. Er kann durch rechteckige Einlegeplatten, die jeweils 50 cm breit sind, vergrößert werden (siehe Skizze).

 

  1. Berechne den Flächeninhalt und den Umfang der vergrößerten Tischplatte.

  2. Für den ausgezogenen Tisch soll eine Tischdecke gekauft werden, die überall mindestens 15 cm überhängt. Welche der angebotenen Tischdecken eignet sich?

 

 

Breite

Länge

Tischdecke A

140 cm

260 cm

Tischdecke B

150 cm

250 cm

Tischdecke C

160 cm

240 cm

Teilaufgabe 1

Berechnungen am Kreis

%%U_{vergrößerte\;Tischplatte}=2\cdot r\cdot\pi+2\cdot2\cdot b%%

Der Umfang der Tischplatte setzt sich aus dem Umfang des Vollkreises und der Breite %%b%% der zwei gleichen Rechtecke zusammen.

%%=\;2\cdot0,6\cdot\mathrm\pi+4\cdot0,5%%

%%\approx5,77\;m%%

 

%%A_{vergrößerte\;Tischplatte}=\;r^2\cdot\mathrm\pi+2\cdot\left(b\cdot l\right)%%

Auch der Flächeninhalt berechnet sich aus einem Vollkreis und den beiden Rechtecken. Beachte, dass die Länge %%l%% der Rechtecke genau gleich groß wie der Durchmesser des Kreises ist.

%%=\;0,6^2\cdot\mathrm\pi+2\cdot\left(0,5\cdot1,2\right)%%

 

%%=2,33\;m^2%%

 

Teilaufgabe 2

Tischdecke A

 

Damit die Tischdecke an allen Seiten %%15cm%% übersteht, muss sie um %%30cm%% länger und breiter sein, als der Tisch.

%%b_{Tischdecke\;A}-b_{Tisch}\overset?\geq30\;cm%%

Betrachte die Differenz aus Breite der Tischdecke und Breite des Tisches.

%%140cm-120cm=20cm%%

 

%%20cm\leq30\;cm%%

Der erhaltene Überhang ist kleiner als die gewünschten %%30cm%%.

%%\Rightarrow%% Also fällt Tischdecke A weg.

 

Tischdecke B

 

%%150cm-120cm\;=30\;cm%%

Auch hier wird wieder die Differenz der beiden Breiten betrachtet.

%%30cm\geq30cm%%

Von der Breite her ist die Tischdecke groß genug. Deshalb musst du hier auch die Länge betrachten.

%%l_{Tischdecke\;B}-d_{Tisch}\overset?\geq30cm%%

Berechne also die Differenz der jeweiligen Längen.

%%250cm-\left(2\cdot60cm+2\cdot50cm\right)=%%

 

%%250cm-220cm\geq30cm%%

 

%%30cm=30cm%%

Auch die Länge dieser Tischdecke ist groß genug, um %%30cm%% über zu stehen.

In den Ecken der Tischdecke steht sogar mehr als %%30cm%% über, da der Tisch abgerundet ist.
%%\Rightarrow%% Dass heißt: Tischdecke B ist ideal. 

Prüfe Tischdecke C

 

Zuerst wird die Breite überprüft.

%%160cm-120cm\geq30cm%%

%%40cm\geq30cm%%

%%\Rightarrow%% Tischdecke C ist breit genug.

Anschließend wird die Länge betrachtet.

%%240cm-220cm\geq30cm%%

 

%%20cm\leq30cm%%

%%\Rightarrow%% Jedoch ist sie nicht lang genug, um %%30cm%% über zu stehen.

%%\Rightarrow%% Deshalb ist auch C nicht geeignet. 

A: Tischdecke B eignet sich.

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnung am Kreis

Viertelkreissektor
A=14⋅AKreis=14⋅πr2=πr24\displaystyle A=\frac14\cdot A_{Kreis}=\frac14\cdot\pi r^2=\frac{\pi r^2}4
U=14⋅UKreis+r+r=2πr4+2r=πr2+2r\displaystyle U=\frac14\cdot U_{Kreis}+r+r=\frac{2\pi r}4+2r=\frac{\pi r}2+2r
Achtung: Zum Umfang eines Kreissektors wie einem Viertelkreis gehört nicht nur der Kreisbogen, sondern auch die begrenzenden Radien.
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Berechne die Fläche des markierten Kreissegments. Dabei ist der Radius r=20cmr=20cm und φ=108°\varphi = 108°. Runde deine Lösung auf ganze cm2\text{cm}^2.
Kreissegment

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreissektor

r=20cm
φ\varphi =108°
ges: ASegmentA_{Segment}
Zunächst den Flächeninhalt des Kreissektors berechnen.
AKreissektor=(20cm)2⋅π⋅108∘360∘A_{Kreissektor}=\left(20\text{cm}\right)^2\cdot\pi\cdot\frac{108^\circ}{360^\circ}
=400cm2⋅π⋅310=377cm2=400cm^2\cdot\pi\cdot\frac3{10}=377\text{cm}^2
Die Höhe h berechnen, indem man das geteilte, rechtwinklige Dreieck betrachtet und den Cosinus anwendet.
cos⁡(φ2)\cos\left(\frac{\varphi}{2}\right)==hr\frac{h}{r}|⋅r\cdot r
↓
Die Gleichung nach h umstellen.
hh==cos⁡(54∘)⋅20cm=11,8cm\cos\left(54^\circ\right)\cdot20cm=11,8\text{cm}
↓
Jetzt mit dem Satz von Pythagoras s2\frac s2 berechnen.
h2+(s2)2h^2+\left(\frac s2\right)^2==r2r^2|−h2-h^2
↓
Nach (s2)2\left(\frac s2\right)^2 umstellen.
(s2)2\left(\frac s2\right)^2==r2−h2r^2-h^2
↓
Werte einsetzen.
(s2)2\left(\frac s2\right)^2==400cm2−139,24cm2400\text{cm}^2-139,24\text{cm}^2
↓
Subtrahieren und die Wurzel ziehen.
s2\frac s2==16,1cm16,1\text{cm}
↓
s berechnen, indem man s2\frac s2 mit 2 multipliziert.
ss==16,1cm⋅216,1\text{cm}\cdot2
ss==32,2cm32,2\text{cm}
Den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen, dessen Seiten r, r und s sind.
ADreieckA_{Dreieck}==12⋅s⋅h\frac12\cdot s\cdot h
↓
Werte einsetzen
==12⋅32,2cm⋅11,8cm\frac12\cdot32,2\text{cm}\cdot11,8\text{cm}
==190cm2190\text{cm}^2
ASegment=AKreissektor−ADreieckA_{Segment}=A_{Kreissektor}-A_{Dreieck}
=377cm2−190cm2=187cm2=377\text{cm}^2-190\text{cm}^2=187\text{cm}^2
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Bei einem Kreisring beträgt der Außenradius 10 cm. Stelle einen Funktionsterm auf, der den Flächeninhalt A des Kreisrings in Abhängigkeit vom Innenradius r beschreibt. Welche Werte für r ergeben eine sinnvolle Einsetzung?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis

Diagramm zum Verhältnis von Radius zur Fläche eines Kreisrings
Ein Kreisring kann man sich vorstellen als einen Kreis, aus dem ein kleinerer Kreis ausgeschnitten wurde, der denselben Mittelpunkt hat wie der große Kreis. Damit ist der Flächeninhalt:
A=AKreis−Akleiner  KreisA=A_{Kreis}-A_{kleiner\;Kreis}
Der Radius des größeren Kreises ist R=10 cmR=10\text{ cm}.
A=π⋅R2−π⋅r2=π⋅102−π⋅r2=π⋅(100−r2)A=\pi\cdot R^2-\pi\cdot r^2=\pi\cdot10^2-\pi\cdot r^2=\pi\cdot\left(100-r^2\right)
Es ist nur sinnvoll, dass der Radius des kleineren Kreises kleiner ist als der des größeren Kreises, d.h. r∈r\in ]0;10[ .
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