Aufgaben zu Kreisen und Kreisteilen

Hier findest du Aufgaben zu Kreisen und Kreisteilen. Vertiefe dein Wissen, damit alles rund läuft!

1
Wähle die richtige Antwort aus.
1. In welchem Bild ist der Radius rot markiert?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius
  Der Radius ist die Länge einer Strecke vom Mittelpunkt $M$ bis zum Rand des Kreises.
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  Informiere dich genau über die Begriffe: Umfang, Durchmesser, Radius.
  Sobald du die Definitionen kennst, weißt du die Antwort.
2. Wie berechnet man den Flächeninhalt $A$ von einem Kreis mit Radius $r$ ?
  $A = π \cdot r^{2}$
  $A = π^{2} \cdot r$
  $A = \frac{r}{2} \cdot π$
  $A = 2 \cdot π \cdot r$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius
  Die richtige Antwort ist $A = π \cdot r^{2}$ . Sie ist die einzige Formel unter den Antwortmöglichkeiten, bei der du eine Fläche als Ergebnis erhältst. Rechne zum Beispiel mit $r = 1 cm$ . Dann erhältst du $A = π \cdot 1 {cm}^{2} \approx 3,14 {cm}^{2}$ . In den anderen Formeln kommt der Radius $r$ ohne Quadrat vor und dein Ergebnis wird keine Fläche.
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  Denke zuerst logisch nach, welche Formel am sinnvollsten für dich erscheint. Wenn du dir nicht weiter helfen kannst, benutze deine Formelsammlung! Wenn du keine hast, recherchiere im Internet.
3. Welche Formel stimmt? (Mit $A$ ist der Flächeninhalt vom Kreis gemeint.)
  $A = \frac{U \cdot r}{2}$
  $A = \frac{π}{r}$
  $r = 2 \cdot d$
  $U = π \cdot r$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formeln zum Kreis
  Die richtige Antwort ist $A = \frac{U \cdot r}{2}$ .
  Um zu überprüfen, dass die Antwort stimmt, kannst du die Formel für den Umfang $U = 2 \cdot π \cdot r$ einsetzen.
  $A = \frac{U \cdot r}{2} = \frac{2 \cdot π \cdot r \cdot r}{2}$
  Kürze den Bruch.
  $A = π \cdot r \cdot r = π \cdot r^{2}$
  Das ist die richtige Formel für den Flächeninhalt. Es wurden nur Äquivalenzumformungen verwendet. Deshalb ist auch die Ausgangsformel $A = \frac{U \cdot r}{2}$ richtig.
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  Denke zuerst logisch nach, welche Formel am sinnvollsten für dich erscheint. Wenn du dir nicht weiter helfen kannst, benutze deine Formelsammlung! Wenn du keine hast, recherchiere im Internet.
4. Auf welchem Bild ist ein Kreissegment dargestellt?
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
  
  Ein Kreissegment ist im nebenstehenden Bild zu sehen.
  Die Grundbegriffe zum Kreis musst du auswendig können.
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  Benutze deine Formelsammlung! Wenn du keine hast, recherchiere im Internet.

Berechne von den folgenden geometrischen Körpern/Figuren den Radius $r$ .

Ein Kreis hat den Umfang $U = 6,283 cm$ . Berechne den Radius $r$ . Runde das Ergebnis auf drei Dezimalstellen genau.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Radius

gegeben: $U = 6,283 cm$
gesucht: $r$
Um den Radius zu berechnen, wenn der Umfang gegeben ist, benutzt du die passende Formel und forme nach $r$ um.
$U$ $=$ $2 π r$ $: 2 π$
$\frac{U}{2 π}$ $=$ $r$
↓
Setze den Wert für den Umfang $U$ ein.
$r$ $=$ $\frac{6,283 cm}{2 π}$
↓
Berechne mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis.
$r$ $\approx$ $1,000 cm$
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Stelle die richtige Formel für die Berechnung des Radius' bereit.
Der Umfang ist ja gegeben - das heißt, du musst nach r umstellen.
Setze ein und berechne.
Runde dann am Ende auf drei Dezimalstellen.

Ein Kreis hat die Fläche $A = 7,35 m^{2}$ . Berechne den Radius $r$ in $cm$ , runde dabei auf ganze $cm$ !

3
Zeichne dieses Mandala mit dem Zirkel.

Die genaue Reihenfolge beim Zeichnen ist nicht festgegeben. Falls du die Schritte in einer anderen Reihenfolge gemacht hast, ist das auch richtig.
Schritt 1
Stelle deinen Zirkel auf 2,5cm ein. Zeichne mit dem Zirkel einen Kreis.
Schritt 2
Schau im Bild nach wie groß der Radius des kleinen Kreises ist. Er beträgt 1,5cm. Wichtig ist hier, dass du dabei nicht das Bild auf dem Bildschirm abmisst, sondern überlegst wie breit ein Kästchen ist. Der Radius des großen Kreises soll 2,5cm betragen. Wenn du nun ins Bild schaust, kannst du erkennen, dass genau 5 große Kästchen zwischen dem Mittelpunkt und der Außenlinie sind. Zwischen dem kleinen Kreis und der Außenlinie gibt es drei Kästchen, also ist der Radius 1,5cm. Stich mit dem Zirkel erneut in den Mittelpunkt und zeichne den kleinen Kreis mit Radius 1,5cm.
Schritt 3
Du stellst deinen Zirkel nicht um und lässt ihn bei 1,5cm. Du stichst an einer beliebigen Stelle des kleinen Kreises ein (hier im Bild bei $B_{2}$ ) und zeichnest mit dem Zirkel eine Line im Inneren des kleinen Kreises. Diese Linie sollte durch den Mittelpunkt gehen (hier im Bild $V_{1}$ ).
Schritt 4
Nun setzt du den Zirkel dort an, wo die neue Linie den Kreis schneidet (im Bild $A_{2}$ ). Von dort aus zeichnest du wieder eine gekrümmte Linie mit dem Zirkel im Inneren des kleinen Kreises.
Schritt 5
Nun führst du den Schritt 4 immer wieder aus, bis eine Blume im Inneren des kleinen Kreises entsteht.
4
Zeichne die folgende Figur mit dem Zirkel nach. Du kannst die Zeichnung selbstverständlich in den Grautönen deines Zirkels belassen. Tipp: der Radius der orangen Halbkreise beträgt 1cm.

Bei diese Zeichnung gibt es keinen Halbkreis mit dem man zuerst beginnen muss. Die Reihenfolge liegt ganz bei dir. Die Musterlösung beginnt bei den orangen Halbkreisen.
Schritt 1
Zeichne eine Hilfsline auf dein Blatt. Stelle deinen Zirkel auf 1cm ein. Wähle nun einen Punkt auf der Linie und steche dort mit dem Zirkel ein. Zeichne den Halbkreis.
Schritt 2
Nun stichst du mit dem Zirkel an der Stelle der Hilfslinie ein, wo der erste Halbkreis sie schneidet. Nun kannst du den unteren Halbkreis zeichnen. Dieser Halbkreis schneidet nun wieder die Hilfslinie. Genau dort kannst du wieder einstecken und den letzten Halbkreis zeichnen.
Schritt 3
Nun musst du deinen Zirkel verstellen. Stelle ihn auf 0,5cm ein. Jetzt stichst du wieder am Anfangspunkt ein und zeichnest einen Halbkreis.
Schritt 4
Für den nächsten blauen Halbkreis stichst du dort ein, wo die beiden orangen Halbkreise die Hilfsline schneiden. Für den dritten Halbkreis stichst du dort ein, wo der untere orange Halbkreis an seinem rechten Ende die Hilfsline schneidet.
Schritt 5
Nun fehlen nur noch zwei Halbkreise. Für den linken lila Halbkreis stichst du dort ein, wo der linke blaue Halbkreis die Hilfsline schneidet. Für den rechten Halbkreis stichst du mit deinem Zirkel dort ein, wo der rechte blaue Halbkreis die Hilfsline schneidet.
Schritt 6
Wenn du Lust hast, kannst du nun die Linien bunt nachfahren, oder auch eine kleine Autorennstrecke in deine Zeichnung malen.
5
Zeichne folgende Figuren auf ein kariertes Blatt Papier. Nutze Zirkel und Lineal.
1. In dieser Aufgabe übst du den Umgang mit Zirkel und Lineal.
  Die Figur besteht aus 6 Halbkreisen. Im Bild sind deren Kreismittelpunkte mit Kreuzen markiert. Die großen Kreise haben einen Radius von 3 Kästchen, die kleinen einen Radius von 2 Kästchen.
  Zudem musst du noch ein paar Linien einzeichnen. Achte auf die Abstände der Linien und Kreise.
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2. In dieser Aufgabe übst du den Umgang mit dem Zirkel.
  Die Figur besteht aus einem Kreis in der Mitte, 4 Dreiviertelkreise oben, unten, links und rechts sowie 4 Halbkreisen.
  Im Bild sind die Kreismittelpunkte mit Kreuzen markiert.
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3. In dieser Aufgabe übst du den Umgang mit Zirkel und Lineal.
  Die Figur besteht aus 4 Kreisen, einem Dreieck und 9 Linien im Inneren des Dreiecks.
  Im Bild sind die Kreismittelpunkte mit Kreuzen markiert. Zeichne zuerst einen vollen Kreis um $M_{1}$ mit einem Radius von 2 Kästchen. Danach kannst du einen Kreisbogen um $M_{2}$ mit einem Radius von 2 Kästchen ziehen. Die weiteren 2 Kreisbogen ergeben sich durch zeichnen eines Kreisbogens um $M_{3}$ und $M_{4}$ .
  Nun kannst du die dreieckige Eistüte zeichnen. Das Rautenmuster in der Tüte ergibt sich durch Einzeichnen von Diagonalen durch die Kästchen im Inneren des Dreiecks.
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4. In dieser Aufgabe übst du den Umgang mit dem Zirkel.
  Das Muster ergibt sich durch Einzeichnen von 24 Viertelkreisen. Im Bild sind die Mittelpunkte der Kreisbögen mit Kreuzen markiert.
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6
Bestimme den Flächeninhalt der folgenden Kreissektoren. Gib deine Lösungen auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet ein.
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Formel für die Berechnung der Kreissektorfläche
  $A = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
  Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen. Rechne anschließend den Term aus:
  $\begin{aligned} A & = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360 °} \\ = 10^{2} \cdot π \cdot \frac{25 °}{360 °} \\ = 100 \cdot π \cdot \frac{5}{72} \\ \approx 21,82 \end{aligned}$
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2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Kreissektors
  $A_{Sektor} = \frac{b \cdot r}{2}$
  Setze die Bogenlänge und den Radius in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
  $A_{Sektor} = \frac{b \cdot r}{2} = \frac{5,82 \cdot 6}{2} = 17,46$
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3. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Kreissektors
  $A = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
  Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
  $A = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360^{\circ}} = 8^{2} \cdot π \cdot \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}}$
  Rechne aus und runde auf zwei Stellen nach dem Komma.
  $= 64 \cdot π \cdot \frac{1}{6} \approx 33,51$
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4. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt eines Kreissektors
  1. Möglichkeit: Mit dem Radius und dem Mittelpunktswinkel
  Benutze die Formel, in der $α$ und $r$ vorkommen:
  $A = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
  Setze den Radius und den Mittelpunktswinkel in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
  $A = r^{2} \cdot π \cdot \frac{α}{360^{\circ}} = 8^{2} \cdot π \cdot \frac{125^{\circ}}{360^{\circ}}$
  Berechne.
  $= 64 \cdot π \cdot \frac{25}{72} \approx 69,81$
  2. Möglichkeit: Mit dem Radius und der Länge des Kreisbogens
  Benutze die Formel, in der $b$ und $r$ vorkommen:
  $A_{Sektor} = \frac{b \cdot r}{2}$
  Setze die Bogenlänge und den Radius in die Formel ein, um den Flächeninhalt zu bestimmen.
  $A_{Sektor} = \frac{b \cdot r}{2} = \frac{17,44 \cdot 8}{2} = 69,76$
  Die kleine Abweichung zum vorherigen Ergebnis kommt vom Runden der Länge des Kreisbogens.
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7
Der abgebildete Rasensprenger schwenkt um 40° und besprüht so eine Rasenfläche von $20 m^{2}$ .
Wie groß ist seine Reichweite?
Gib das Ergebnis auf zwei Stellen nach dem Komma gerundet ein.
Quelle: Sebastian & Kari, CC BY-SA 2.0, Wikimedia Commons
m

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreissektor
Bei dieser Aufgabe musst du den Radius eines Kreissektors berechnen.
Die besprühte Rasenfläche bildet einen Kreissektor mit dem Mittelpunktswinkel $φ = 40^{\circ}$ und dem gesuchten Radius r.
$\frac{r^{2} \cdot π \cdot φ}{360^{\circ}} = 20 m^{2}$
Setze den Wert $φ = 40^{\circ}$ in die Formel ein.
$\frac{r^{2} \cdot π \cdot 40^{\circ}}{360^{\circ}} = 20 m^{2}$
Kürze die Winkel
$\frac{r^{2} \cdot π}{9} = 20 m^{2}$
Löse die Gleichung nach r auf.
$r = \sqrt{\frac{180 m^{2}}{π}} = \sqrt{\frac{180}{π}} m \approx 7,57 m$
Der Rasensprenger reicht also $7,57 m$ weit.
8
Berechne den Umfang der abgebildeten Figuren.
Beachte bei der Eingabe der Ergebnisse ins entsprechende Eingabefeld auf Folgendes:
Gib die Ergebnisse auf eine Stelle nach dem Komma gerundet und ohne Einheit ein.
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang
  Umfang des Kreises: $U = 2 \cdot π \cdot r$
  Bei der Figur handelt es sich um einen rechtwinkligen Kreisausschnitt, also einen Kreisausschnitt mit $90^{\circ}$ .
  Du kannst demnach diese Gleichung durch 4 teilen bzw. mal ein Viertel nehmen, um den Umfang des Kreisbogens $U_{K r e i s b o g e n}$ zu bestimmen.
  $U_{K r e i s b o g e n} = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot π \cdot r$
  Alternativ
  $U_{K r e i s b o g e n} = 2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot π \cdot r$
  Alternativ kannst du aber auch gleich die Formel für die Kreisbogenlänge mit dem Winkel $φ = 90^{\circ}$ verwenden.
  Jetzt fehlen noch die 2 geraden Stücke. Diese haben gerade jeweils die Länge des Radius $r$ des Kreises. Also musst du noch zwei Mal den Radius des Kreises addieren, um den gesamten Umfang der Figur $U_{F i g u r}$ zu bekommen.
  $U_{F i g u r} = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot π \cdot r + 2 \cdot r$
  Jetzt muss nur noch für $r = 3 c m$ eingesetzt werden.
  $U_{F i g u r} = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot π \cdot 3 + 2 \cdot 3$
  $U_{F i g u r} \approx 10,7$
  Das Ergebnis ist gerundet.
  Der Umfang beträgt $10,7 c m$ ..
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2. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang
  Der Umfang der Figur $U_{F i g u r}$ besteht aus der Länge eines Kreisbogens mit dem Winkel $60^{\circ}$ und den 2 geraden Stücken.
  Diese geraden Stücke haben gerade jeweils die Länge des Radius $r$ des Kreissektors. Also musst du noch zwei Mal den Radius des Kreissektors addieren, um den gesamten Umfang der Figur zu erhalten.
  $U_{F i g u r} = 2 \cdot 3,7 \cdot π \cdot \frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} + 2 \cdot 3,7 \approx 11,3$
  Der Umfang beträgt $11,3 c m$ .
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3. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang
  Der Umfang dieser Figur $U_{F i g u r}$ besteht aus zwei geraden Stücken jeweils der Länge $5,8 c m$ und aus dem Umfang der zwei Halbkreise mit jeweils dem Radius $1,2 c m$ .
  Wenn du die zwei Halbkreise nebeneinander legst, erkennst du, dass ein Kreis mit dem Radius $1,2 c m$ entsteht.
  Du kannst folglich gleich den Umfang des Kreises ( $U_{K r e i s} = 2 \cdot π \cdot r$ ) mit dem Radius $r = 1,2 c m$ statt die Umfänge der zwei Halbkreise hernehmen.
  $U_{g e r a d e S t \ddot{u} c k e} = 2 \cdot 5,8$
  $U_{H a l b k r e i s e} = U_{K r e i s} = 2 \cdot π \cdot 1,2$
  Ingesamt erhält man
  $U_{F i g u r} = 2 \cdot 5,8 + 2 \cdot π \cdot 1,2 \approx 19,1$
  Der Umfang beträgt $19,1 c m$ .
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9
Begründe, wie sich jeweils Umfang und Flächeninhalt eines Kreises ändern, wenn man seinen Radius verdoppelt, verdreifacht bzw. vervierfacht.
Verdoppelt man den Radius, vervierfacht sich der Flächeninhalt.
Verdoppelt man den Radius, verdoppelt sich auch der Umfang.
Verdoppelt man den Radius, verdoppelt sich der Flächeninhalt.
Verdoppelt man den Radius, vervierfacht sich der Umfang.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang und Kreisfläche
Änderung des Umfangs beim Vervielfachen des Radius:
Stelle zuerst die Formel für den ursprünglichen, kleinen Umfang des Kreises auf.
$U_{1} = 2 \cdot r_{1} \cdot π$
Ebenfalls die Formel für den neuen Umfang aufstellen:
$U_{2} = 2 \cdot r_{2} \cdot π$
$r_{1}$ wird um den neuen Umfang $U_{2}$ zu erhalten vervielfacht: $r_{2} = n \cdot r_{1}$ . Setze ein.
$U_{2} = 2 \cdot (r_{1} \cdot n) \cdot π = n \cdot 2 \cdot r_{1} \cdot π$
Benutze $2 \cdot r_{1} \cdot π = U_{1}$ um den Ausdruck zu vereinfachen.
$U_{2} = n \cdot U_{1}$
$\Rightarrow$ Das heißt der Umfang, des Kreises vergrößert sich um den Faktor $n$ .
Also wird der Umfang beispielsweise doppelt so groß, wenn der Radius verdoppelt wird.
Änderung des Flächeninhalts beim Vielfachen des Radius:
Stelle zuerst die Formel für den ursprünglichen Flächeninhalt des Kreises auf.
$A_{1} = r_{1}^{2} π$
Ebenfalls die Formel für den neuen Flächeninhalt aufstellen:
$A_{2} = r_{2}^{2} π$
$r_{1}$ wird um den neuen Flächeinhalt $A_{2}$ zu erhalten vervielfacht: $r_{2} = n \cdot r_{1}$
$A_{2} = {(n \cdot r_{1})}^{2} π = n^{2} \cdot r_{1}^{2} \cdot π$
Benutze $r_{1}^{2} π = A_{1}$ , um den Zusammenhang zu vereinfachen.
$A_{2} = n^{2} \cdot A_{1}$
$\Rightarrow$ Multipliziert man den Radius $r$ mit $n$ , so wird der Flächeninhalt des Kreises immer mit $n^{2}$ vervielfacht. Zum Beispiel wird der Flächeninhalt bei Verdoppelung des Radius viermal so groß.
10
In einem Kreis mit Radius $r = 5 cm$ ist ein Sektor mit Mittelpunktswinkel $φ = 45^{\circ}$ eingezeichnet.
Gib die Fläche des Sektors und die Länge des zugehörigen Bogens an.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreissektor
Thema dieser Aufgabe ist der Kreissektor.
$r = 5 cm$
$φ = 45^{\circ}$
Formel für die Bogenlänge anwenden um die Länge des Bogens zu berechnen.
$b$ $=$ $2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
↓
Setze $r = 5 cm$ und $φ = 45^{\circ}$ ein.
$=$ $2 \cdot π \cdot 5 cm \cdot \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\frac{5}{4} π cm$
$\approx$ $3,93 cm$
Formel für den Kreissektorflächeninhalt anwenden.
$A_{S}$ $=$ $π \cdot r^{2} \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
↓
Setze $r = 5 cm$ und $φ = 45^{\circ}$ ein.
$=$ $π \cdot {(5 cm)}^{2} \cdot \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $\frac{25}{8} π {cm}^{2}$
$\approx$ $9,82 {cm}^{2}$
Alternativ kann auch mit der Gleichung $A_{S} = \frac{1}{2} \cdot r \cdot b$ gerechnet werden.
$A_{S} = \frac{1}{2} \cdot 5 cm \cdot \frac{5}{4} π cm = \frac{25}{8} π {cm}^{2} \approx 9,82 {cm}^{2}$
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Stelle jeweils einen Funktionsterm auf, der den Flächeninhalt A und den Umfang U eines Viertelkreises in Abhängigkeit vom Radius r beschreibt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisumfang, Kreisfläche
$A = \frac{1}{4} \cdot A_{K r e i s} = \frac{1}{4} \cdot π r^{2} = \frac{π r^{2}}{4}$
$U = \frac{1}{4} \cdot U_{K r e i s} + r + r = \frac{2 π r}{4} + 2 r = \frac{π r}{2} + 2 r$
Achtung: Zum Umfang eines Kreissektors wie einem Viertelkreis gehört nicht nur der Kreisbogen, sondern auch die begrenzenden Radien.

Berechne die Fläche des markierten Kreissegments. Dabei ist der Radius $r = 20 c m$ und $φ = 108 °$ . Runde deine Lösung auf ganze ${cm}^{2}$ .

13
Bei einem Kreisring beträgt der Außenradius 10 cm. Stelle einen Funktionsterm auf, der den Flächeninhalt A des Kreisrings in Abhängigkeit vom Innenradius r beschreibt. Welche Werte für r ergeben eine sinnvolle Einsetzung?

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Ein Kreisring kann man sich vorstellen als einen Kreis, aus dem ein kleinerer Kreis ausgeschnitten wurde, der denselben Mittelpunkt hat wie der große Kreis. Damit ist der Flächeninhalt:
$A = A_{K r e i s} - A_{k l e i n e r K r e i s}$
Der Radius des größeren Kreises ist $R = 10 cm$ .
$A = π \cdot R^{2} - π \cdot r^{2} = π \cdot 10^{2} - π \cdot r^{2} = π \cdot (100 - r^{2})$
Es ist nur sinnvoll, dass der Radius des kleineren Kreises kleiner ist als der des größeren Kreises, d.h. $r \in$ ]0;10[ .

Ein runder Tisch zum Ausziehen hat einen Durchmesser von $1,20 m$ . Er kann durch rechteckige Einlegeplatten, die jeweils $50 c m$ breit sind, vergrößert werden (siehe Skizze).

Berechne den Flächeninhalt und den Umfang der vergrößerten Tischplatte.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Berechnungen am Kreis
Der Umfang der Tischplatte setzt sich aus dem Umfang des Vollkreises und der Breite $b$ der zwei gleichen Rechtecke zusammen.
$U_{v e r g r \ddot{o} ß e r t e T i s c h p l a t t e}$ $=$ $2 \cdot r \cdot π + 2 \cdot 2 \cdot b$
$=$ $2 \cdot 0,6 \cdot π + 4 \cdot 0,5$
$=$ $5,77 m$
Auch der Flächeninhalt berechnet sich aus einem Vollkreis und den beiden Rechtecken. Beachte, dass die Länge $l$ der Rechtecke genau gleich groß wie der Durchmesser des Kreises ist.
$A_{v e r g r \ddot{o} ß e r t e T i s c h p l a t t e}$ $=$ $r^{2} \cdot π + 2 \cdot (b \cdot l)$
$=$ ${0,6}^{2} \cdot π + 2 \cdot (0,5 \cdot 1,2)$
$=$ $2,33 m^{2}$
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Für den ausgezogenen Tisch soll eine Tischdecke gekauft werden, die überall mindestens $15 c m$ überhängt. Welche der angebotenen Tischdecken eignet sich?

	$𝐁 𝐫 𝐞 𝐢 𝐭 𝐞$	$𝐋 \ddot{𝐚} 𝐧 𝐠 𝐞$
$𝐓 𝐢 𝐬 𝐜 𝐡 𝐝 𝐞 𝐜 𝐤 𝐞 𝐀$	140 cm	260 cm
$𝐓 𝐢 𝐬 𝐜 𝐡 𝐝 𝐞 𝐜 𝐤 𝐞 𝐁$	150 cm	250 cm
$𝐓 𝐢 𝐬 𝐜 𝐡 𝐝 𝐞 𝐜 𝐤 𝐞 𝐂$	160 cm	240 cm

Tischdecke A
Tischdecke B
Tischdecke C

15
Berechne die Fläche des (grünen) Kreisrings. Die eingezeichnete Sehne hat eine Länge von $20 cm$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreisring
In der Skizze sind die beiden Kreisradien $r_{1}$ und $r_{2}$ eingezeichnet.
Zusammen mit der halben Sehne bilden sie ein rechtwinkliges Dreieck.
Für die Kreisringfläche gilt die Formel:
$A_{K r e i s r i n g} = π \cdot (r_{2}^{2} - r_{1}^{2})$ .
Im rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des Pythagoras: $r_{2}^{2} = r_{1}^{2} + (10 cm)^{2}$
bzw. $r_{2}^{2} - r_{1}^{2} = (10 cm)^{2}$ .
Ersetze in der Kreisringformel $r_{2}^{2} - r_{1}^{2}$ durch $(10 cm)^{2}$
$\Rightarrow A_{K r e i s r i n g} = π \cdot (10 cm)^{2} = 100 π {cm}^{2} \approx 314,16 {cm}^{2}$
Antwort: Der Kreisring hat eine Fläche von etwa $314,16 {cm}^{2}$ .
Die eingezeichnete Sehne ist eine Tangente an den Innenkreis. Jede Tangente an einen Kreis steht senkrecht auf dem Radius $r$ . Versuche ein rechtwinkliges Dreieck einzuzeichnen, so dass du den Satz des Pythagoras anwenden kannst.
16
Wie viele Kreise kannst du zählen?
5
6
7
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreise
Insgesamt sind $7$ Kreise gezeichnet.
17
Bauer Heinrich hat zwei Schafe Berta und Paula.
Für jedes Schaf hat er auf einer Wiese einen Pflock, an den er das Schaf an diesem Morgen mit einem Strick anbindet.
1. Der erste Pflock befindet sich im Punkt $P (5 | 5)$ . Daran bindet der Bauer das Schaf Berta mit einem $2 m$ langen Strick an. Welcher Bereich kann von Berta abgefressen werden?
  Zeichne diesen Bereich in ein Koordinatensystem ein. Färbe den Bereich grün.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
  Zeichne im Punkt $P (5 | 5)$ einen Kreis mit dem Radius $2$ und färbe ihn grün.
  Berta kann einen kreisförmigen Bereich abfressen.
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2. Der zweite Pflock befindet sich im Punkt $Q (9 | 6)$ . Hier befestigt der Bauer das Schaf Paula mit einem $3 m$ langen Strick. Welcher Bereich kann von Paula abgefressen werden? Zeichne diesen Bereich ebenfalls in das Koordinatensystem ein und färbe ihn grün.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
  Zeichne im Punkt $Q (9 | 6)$ einen Kreis mit dem Radius $3$ und färbe ihn grün.
  Paula kann ebenfalls einen kreisförmigen Bereich abfressen.
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3. Kommen sich die zwei Schafe in die Quere ?
  Ja, die Schafe kommen sich in die Quere.
  Nein, die Schafe kommen sich nicht in die Quere.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
  Der rote Bereich in der Abbildung ist der Überlappungsbereich der beiden Kreise, d.h. hier kommen sich die beiden Schafe in die Quere.
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18
Quiz zu Kreisteilen

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
Richtige Lösung
Durchmesser
Kreisfläche
Kreislinie
Kreisring
Kreissegment
Kreissehne
Kreissegment
Kreissehne
Kreissektor
Kreisumfang
Mittelpunkt
Mittelpunktswinkel
Radius

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\cos (\frac{φ}{2})$	$=$	$\frac{h}{r}$	$\cdot r$
	↓	Die Gleichung nach h umstellen.
$h$	$=$	$\cos (54^{\circ}) \cdot 20 c m = 11,8 cm$
	↓	Jetzt mit dem Satz von Pythagoras $\frac{s}{2}$ berechnen.
$h^{2} + {(\frac{s}{2})}^{2}$	$=$	$r^{2}$	$- h^{2}$
	↓	Nach ${(\frac{s}{2})}^{2}$ umstellen.
${(\frac{s}{2})}^{2}$	$=$	$r^{2} - h^{2}$
	↓	Werte einsetzen.
${(\frac{s}{2})}^{2}$	$=$	$400 {cm}^{2} - 139,24 {cm}^{2}$
	↓	Subtrahieren und die Wurzel ziehen.
$\frac{s}{2}$	$=$	$16,1 cm$
	↓	s berechnen, indem man $\frac{s}{2}$ mit 2 multipliziert.
$s$	$=$	$16,1 cm \cdot 2$
$s$	$=$	$32,2 cm$

$A_{D r e i e c k}$	$=$	$\frac{1}{2} \cdot s \cdot h$
	↓	Werte einsetzen
	$=$	$\frac{1}{2} \cdot 32,2 cm \cdot 11,8 cm$
	$=$	$190 {cm}^{2}$

$U$	$=$	$2 π r$	$: 2 π$
$\frac{U}{2 π}$	$=$	$r$
	↓	Setze den Wert für den Umfang $U$ ein.
$r$	$=$	$\frac{6,283 cm}{2 π}$
	↓	Berechne mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis.
$r$	$\approx$	$1,000 cm$

$A$	$=$	$π r^{2}$	$: π$
$\frac{A}{π}$	$=$	$r^{2}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
$\pm \sqrt{\frac{A}{π}}$	$=$	$r$
	↓	Der Radius kann nur positiv sein. Daher kannst du das negtive Ergebnis ignorieren.
$r$	$=$	$\sqrt{\frac{A}{π}}$
	↓	Setze den Wert für die Fläche $A$ ein.
$r$	$=$	$\sqrt{\frac{7,35 m^{2}}{π}}$
	↓	Rechne mit dem Taschenrechner und runde das Ergebnis.
$r$	$\approx$	$1,53 m$
	↓	Rechne in $cm$ um.
$r$	$\approx$	$153 cm$

$b$	$=$	$2 \cdot π \cdot r \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
	↓	Setze $r = 5 cm$ und $φ = 45^{\circ}$ ein.
	$=$	$2 \cdot π \cdot 5 cm \cdot \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{5}{4} π cm$
	$\approx$	$3,93 cm$

$A_{S}$	$=$	$π \cdot r^{2} \cdot \frac{α}{360^{\circ}}$
	↓	Setze $r = 5 cm$ und $φ = 45^{\circ}$ ein.
	$=$	$π \cdot {(5 cm)}^{2} \cdot \frac{45^{\circ}}{360^{\circ}}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\frac{25}{8} π {cm}^{2}$
	$\approx$	$9,82 {cm}^{2}$

$U_{v e r g r \ddot{o} ß e r t e T i s c h p l a t t e}$	$=$	$2 \cdot r \cdot π + 2 \cdot 2 \cdot b$
	$=$	$2 \cdot 0,6 \cdot π + 4 \cdot 0,5$
	$=$	$5,77 m$

$A_{v e r g r \ddot{o} ß e r t e T i s c h p l a t t e}$	$=$	$r^{2} \cdot π + 2 \cdot (b \cdot l)$
	$=$	${0,6}^{2} \cdot π + 2 \cdot (0,5 \cdot 1,2)$
	$=$	$2,33 m^{2}$

Aufgaben zu Kreisen und Kreisteilen

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Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

Schritt 4

Schritt 5

Schritt 1

Schritt 2

Schritt 3

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Schritt 5

Schritt 6

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1. Möglichkeit: Mit dem Radius und dem Mittelpunktswinkel

2. Möglichkeit: Mit dem Radius und der Länge des Kreisbogens

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Alternativ

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Tischdecke A

Tischdecke B

Prüfe Tischdecke C

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Quiz zu Kreisteilen

Richtige Lösung