Belegung von Variablen

Eine Variable mit einem Wert „belegen“ bedeutet, dass man

• in den Term, in dem die Variable steht,

• für die Variable eine Zahl einsetzt.

Wenn man alle Variablen eines Terms mit Zahlen belegt hat, enthält der Term nur noch Zahlen, und man kann seinen Wert ausrechnen.

Beispiel 1

Gegeben ist der Term „$2\cdot x+18$“, der die Variable $x$ enthält. Diese Variable $x$ soll mit dem Wert $50$ belegt werden.

Lösung:

Der Term drückt Folgendes aus: "Verdopple die Zahl und zähle 18 dazu." In unserem Fall verwenden wir die Zahl 50.

Somit rechnest du:

$2\cdot 50 +18 = 100+18 =118$

Beispiel 2 (Nachfolger und Vorgänger)

Für die Berechnung des Nachfolgers einer Zahl muss man einfach eins hinzuzählen. Das drückt man mit einem Term auf folgende Weise aus: „$n+1$" (die Variable n belegt man hier mit einer natürliche Zahl).

Für $n=7$ findest du beispielsweise mit dem obigen Term den Nachfolger der 7. Das ist natürlich $7+1=8$.

Beim Vorgänger muss man entsprechend die Eins abziehen. Damit sieht der Term für den Voränger so aus: „$n-1$".

$n=7$ liefert dir damit den Vorgänger der $7$, also $7-1=6$.

Beispiel 3 (gerade und ungerade Zahlen)

Der Term „$2\ \cdot n$" liefert uns zu jeder natürlichen Zahl n, die n-te gerade Zahl.

Setzen wir $n=1$ ein, erhalten wir tatsächlich mit $2\cdot1=2$ die erste gerade Zahl.

Für $n=9$ bekommst du beispielsweise als 9.-te gerade Zahl den Wert $2\cdot9=18$.

Entsprechend erhalten wir mit dem Term „$2\ \cdot n-1$" zu jeder natürlichen Zahl n die n-te ungerade Zahl.

Mit $n=1$ kontrollieren wir dies wie oben durch Einsetzen: $2\cdot1-1=2-1=1$ .

Für $n=8$ erhalten wir $2\cdot8-1=16-1=15$. Das ist tatsächlich die 8.-te ungerade Zahl.

Beispiel 4 (Quadratzahlen)

Mit dem Term „$n^2$" berechnest du zu jeder natürlichen Zahl n die zugehörige Quadratzahl. Auch das kann man leicht mit einem Beispiel nachrechnen:

Mit $n=7$ bekommst du durch Einsetzen $7^2=7\cdot7=49$.

Interessant:

1. Mit dem Term „$n^2\ +\ 2\left(n+1\right)\ -1$" addiert man zur n-ten Quadratzahl die $(n+1)$ste ungerade Zahl. Dadurch erhält man die nächste Quadratzahl. Für $n=7$ müssen wir somit zur 7.-ten Quadratzahl die 8.-te ungerade Zahl addieren: $7^2+2\cdot\left(7+1\right)-1=7\cdot7+2\cdot8-1=49+15=64$.

2. Der Unterschied zweier nebeneinander liegender Zahlen ist gerade ihre Summe. Die linke Seite dieser Gleichheit wird durch den Term $(n+1)^2-n^2$ beschrieben. Vereinfacht man ihn, so wird daraus $(n+1)+n$ (bzw. $2n+1$). Für $n=7$ erhält man $8^2-7^2=8+7$.