Aufgaben zum dreidimensionalen Koordinatensystem

Zwei Vektoren $\overrightarrow{\mathrm a}$ und $\overrightarrow{\mathrm b}$ schließen den Winkel $\mathrm\alpha$ miteinander ein.

Die Vektoren $\vec c$ und $\vec d$ setzen sich aus $\vec a$ und $\vec b$ wie folgt zusammen:

$\overrightarrow c=\overrightarrow a+\overrightarrow b$ und $\overrightarrow d=\overrightarrow a-\overrightarrow b$

Die Vektoren $\vec a$ und $\vec c$ schließen den Winkel $\beta$ ein. Die Vektoren $\vec d$ und $\vec a$ schließen den Winkel $\gamma$ ein.

Betrachte die folgenden Angaben zu $\left|\vec{a}\right|$ , $\left|\vec{b}\right|$ unc $\alpha$ .

1) Zeichne die Vektoren. Die Richtung der Vektoren ist hierbei egal. Nur deren Länge und eingeschlossener Winkel $\alpha$ .

2) Bestimme zeichnerisch die Länge von $\vec c$ und $\vec d$ .

3) Lies aus deiner Zeichnung die Winkel $\beta$ und $\gamma$ ab.

4) Berechne die Länge von $\vec c$ und $\vec d$ .

5) Berechne die Winkel $\beta$ und $\gamma$ .

Alle Längeneinheiten sind in $\text{cm}$ angegeben.

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$\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|=\mathrm a=4{,}6$ ; $\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|=\mathrm b=4{,}0$ ; $\mathrm\alpha=\sphericalangle\left(\overrightarrow{\mathrm a},\overrightarrow{\mathrm b}\right)=60^\circ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren
1) Vektoren zeichnen
Zeichne zunächst Vektor $\overrightarrow{\mathrm a}$ ein. Die Richtung ist egal. Entscheidend ist die Länge von 4,6.
Zeichne dann den Vektor $\overrightarrow{\mathrm b}$ im Winkel von $\mathrm\alpha=60^\circ$ an den Fuß von Vektor $\overrightarrow{\mathrm a}$ ein. Der Winkel wird gegen den Uhrzeigersinn gemessen.
Nun fehlen noch die Vektoren $\vec c$ und $\vec d$ , welche durch Vektoraddition bzw. Vektorsubtraktion entstehen.
Zeichnet man Vektor $\overrightarrow{\mathrm b}$ im selben Winkel und mit derselben Länge an die Spitze von Vektor $\overrightarrow{\mathrm a}$ , so erhalten wir ein Parallelogramm, welches in der Diagonale den Vektor $\overrightarrow{\mathrm a}+\overrightarrow{\mathrm b}=\overrightarrow{\mathrm c}$ besitzt.
Zeichnet man Vektor $\overrightarrow{\mathrm b}$ nun im selben Winkel und mit derselben Länge - aber in entgegengesetzter Richtung - an die Spitze von $\overrightarrow{\mathrm a}$ ein, so erhält man vom Fuß von $\overrightarrow{\mathrm a}$ bis zur Spitze von $-\overrightarrow{\mathrm b}$ den Vektor $\overrightarrow{\mathrm a}-\overrightarrow{\mathrm b}=\overrightarrow{\mathrm d}$ .
2) $|\vec c|$ und $|\vec d|$ zeichnerisch bestimmen
Nun kannst du die Länge von $\vec c$ und $\vec d$ aus der Zeichnung ablesen:
$|\vec c|\approx7{,}4$ und $|\vec d|\approx4{,}3$
3) $\beta$ und $\gamma$ aus der Zeichnung ablesen
Miss die Winkel $\beta$ und $\gamma$ ab:
$\mathrm\beta\approx27{,}7^\circ$
$\mathrm\gamma\approx53{,}1^\circ$
4) $|\vec c|$ und $|\vec d|$ rechnerisch betimmen
Verwende den Kosinussatz:
$c^2=a^2+b^2-2{ab}\cdot\cos\left(120^\circ\right)\;\Rightarrow\;\;c=\left|\overrightarrow{c}\right|\approx7{,}454$
$d^2=a^2+b^2-2{ab}\cdot\cos\left(60^\circ\right)\;\Rightarrow\;\; d=\left|\overrightarrow{d}\right|\approx4{,}331$
5) $\beta$ und $\gamma$ rechnerisch bestimmen
Für die Winkel $\mathrm\beta\;$ und $\gamma$ kann man sich wieder den Kosinussatz zu nutze machen:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l} b^2=a^2+c^2-2\mathrm{ac}\cdot\cos\left(\mathrm\beta\right)\\\;\;\Rightarrow\;\;\cos\left(\beta\right)=\frac{a^2+c^2-b^2}{2{ac}}\\\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm\beta\approx27{,}693^\circ\end{array}$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}b^2=a^2+d^2-2{ad}\cdot\cos\left(\gamma\right)\\\;\;\Rightarrow\;\;\cos\left(\gamma\right)=\frac{a^2+d^2-b^2}{2{ad}}\\\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm\gamma\approx53{,}11^\circ\end{array}$
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$\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|=\mathrm a=4{,}2$ ; $\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|=\mathrm b=3{,}8$ ; $\mathrm\alpha=\sphericalangle\left(\overrightarrow{\mathrm a},\overrightarrow{\mathrm b}\right)=120^\circ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren
1) Vektoren zeichnen
Zeichne zunächst Vektor $\overrightarrow{\mathrm a}$ ein. Die Richtung ist egal. Entscheident ist die Länge von 4,2.
Dann zeichnet man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm b}$ im Winkel von $\mathrm\alpha=120^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn an den Fuß von Vektor $\overrightarrow{\mathrm a}$ ein.
Nun fehlen noch die Vektoren $\vec c$ und $\vec d$ , welche durch Vektoraddition bzw. Vektorsubtraktion entstehen.
Zeichnet man Vektor $\overrightarrow{\mathrm b}$ nun im selben Winkel und mit der selben Länge an die Spitze von Vektor $\overrightarrow{\mathrm a}$ so erhalten wir ein Parralelogramm, dass in der Diagonale den Vektor $\overrightarrow{\mathrm a}+\overrightarrow{\mathrm b}=\overrightarrow{\mathrm c}$ besitzt.
Zeichnet man Vektor $\overrightarrow{\mathrm b}$ nun im selben Winkel und mit der selben Länge, aber in der entgegengesetzten Richtung ein, so erhält man vom Fuß von $\overrightarrow{\mathrm a}$ bis zur Spitze von - $\overrightarrow{\mathrm b}$ den Vektor $\overrightarrow{\mathrm a}-\overrightarrow{\mathrm b}=\overrightarrow{\mathrm d}$ .
2) $|\vec c|$ und zeichnerisch bestimmen
Messe die Länge der Vektoren $\overrightarrow{\mathrm c}\;\mathrm{und}\;\overrightarrow{\mathrm d}$ ab.
$\left|\overrightarrow{\mathrm c}\right|\approx4{,}0$
$\left|\overrightarrow{\mathrm d}\right|\approx6{,}9$
3) $\beta$ und $\gamma$ aus der Zeichnung ablesen
Miss die Winkel $\beta$ und $\gamma$ ab:
$\mathrm\beta\approx54{,}9^\circ$
$\mathrm\gamma\approx28{,}3^\circ$
4) $|\vec c|$ und $|\vec d|$ rechnerisch bestimmen
Zunächst müssen wir die Winkel an der Spitze von a ermitteln. Durch den Z-Winkel sind unten 120° vorzufinden und oben 60°, da diese beiden Winkel insgesamt 180° ergeben müssen.
Gesucht ist nun erst mal die Seite c. Um diese zu berechnen benutzen wir den Kosinussatz über die Seiten a und b und dem Winkel von 60°.
Um d zu berechnen gehen wir genauso vor. Wir rechnen mit dem Kosinussatz über die Seiten a und b und dem Winkel von 120°.
$\mathrm c²=\mathrm a²+\mathrm b²-2\mathrm{ab}\cdot\cos\left(60^\circ\right)\;\Rightarrow\;\;\mathrm c=\left|\overrightarrow{\mathrm c}\right|\approx4{,}015$
$\mathrm d²=\mathrm a²+\mathrm b²-2\mathrm{ab}\cdot\cos\left(120^\circ\right)\;\Rightarrow\;\;\mathrm d=\left|\overrightarrow{\mathrm d}\right|\approx6{,}931$
5) $\beta$ und $\gamma$ rechnerisch bestimmen
Für die Winkel $\mathrm\beta\;\mathrm{und}\;\mathrm\gamma$ kann man sich wieder den Kosinussatz zu nutze machen.
Hierfür rechnen wir erst b über c, a und dem Winkel $\mathrm\beta$ und formen dann nach $\cos\left(\mathrm\beta\right)$ um.
Das selbe machen wir mit $\cos\left(\mathrm\gamma\right)$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\mathrm b²=\mathrm a²+\mathrm c²-2\mathrm{ac}\cdot\cos\left(\mathrm\beta\right)\\\;\;\Rightarrow\;\;\cos\left(\mathrm\beta\right)=\frac{\mathrm a²+\mathrm c²-\mathrm b²}{2\mathrm{ac}}\\\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm\beta\approx55{,}05^\circ\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\mathrm b²=\mathrm a²+\mathrm d²-2\mathrm{ad}\cdot\cos\left(\mathrm\gamma\right)\\\;\;\Rightarrow\;\;\cos\left(\mathrm\gamma\right)=\frac{\mathrm a²+\mathrm d²-\mathrm b²}{2\mathrm{ad}}\\\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm\gamma\approx28{,}346^\circ\end{array}$
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$\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|=\mathrm a=4{,}7$ ; $\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|=\mathrm b=3{,}2$ ; $\mathrm\alpha=\sphericalangle\left(\overrightarrow{\mathrm a},\overrightarrow{\mathrm b}\right)=250^\circ$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren
1) Vektoren zeichnen
Zeichne zunächst Vektor $\overrightarrow{\mathrm a}$ ein. Richtung ist egal. Entscheident ist die Länge von 4,7.
Dann zeichnet man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm b}$ im Winkel von $\mathrm\alpha=250^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn an den Fuß von Vektor $\overrightarrow{\mathrm a}$ ein.
Nun fehlen noch die Vektoren $\vec c$ und $\vec d$ , welche durch Vektoraddition bzw. Vektorsubtraktion entstehen.
Zeichnet man Vektor $\overrightarrow{\mathrm b}$ nun im selben Winkel und mit der selben Länge an die Spitze von Vektor $\overrightarrow{\mathrm a}$ so erhalten wir ein Parralelogramm, dass in der Diagonale den Vektor $\overrightarrow{\mathrm a}+\overrightarrow{\mathrm b}=\overrightarrow{\mathrm c}$ besitzt.
Zeichnet man Vektor $\overrightarrow{\mathrm b}$ nun im selben Winkel und mit der selben Länge, aber in der entgegengesetzten Richtung ein, so erhält man vom Fuß von $\overrightarrow{\mathrm a}$ bis zur Spitze von - $\overrightarrow{\mathrm b}$ den Vektor $\overrightarrow{\mathrm a}-\overrightarrow{\mathrm b}=\overrightarrow{\mathrm d}$ .
2) $\overrightarrow{\mathrm c}$ und $\overrightarrow{\mathrm d}$ zeichnerisch bestimmen
Messe die Länge der Vektoren $\overrightarrow{\mathrm c}\;\mathrm{und}\;\overrightarrow{\mathrm d}$ ab.
$\left|\overrightarrow{\mathrm c}\right|\approx4{,}7$
$\left|\overrightarrow{\mathrm d}\right|\approx6{,}5$
3) $\beta$ und $\gamma$ aus der Zeichnung ablesen
Miss die Winkel $\beta$ und $\gamma$ ab:
$\mathrm\beta\approx39{,}8^\circ$
$\mathrm\gamma\approx27{,}4^\circ$
4) $|\vec c|$ und $|\vec d|$ rechnerisch bestimmen
Zunächst müssen wir die Winkel an der Spitze von a ermitteln.
Dafür brauchen wir den Winkel den b im Uhrzeigesinn von a entfernt ist. Dieser beträgt $\mathrm\alpha-180^\circ=70^\circ$ .
Durch den Z-Winkel sind nun an der Spitze von a unten 70° vorzufinden und oben 110°, da diese beiden Winkel insgesamt 180° ergeben müssen.
Gesucht ist nun erst mal die Seite c. Um diese zu berechnen benutzen wir den Kosinussatz über die Seiten a und b und dem Winkel von 70°.
Um d zu berechnen gehen wir genauso vor. Wir rechnen mit dem Kosinussatz über die Seiten a und b und dem Winkel von 110°.
$\mathrm c²=\mathrm a²+\mathrm b²-2\mathrm{ab}\cdot\cos\left(70^\circ\right)\;\Rightarrow\;\;\mathrm c=\left|\overrightarrow{\mathrm c}\right|\approx4{,}695$
$\mathrm d²=\mathrm a²+\mathrm b²-2\mathrm{ab}\cdot\cos\left(110^\circ\right)\;\Rightarrow\;\;\mathrm d=\left|\overrightarrow{\mathrm d}\right|\approx6{,}528$
5) $\beta$ und $\gamma$ rechnerisch bestimmen
Für die Winkel $\mathrm\beta\;\mathrm{und}\;\mathrm\gamma$ kann man sich wieder den Kosinussatz zu nutze machen.
Hierfür rechnen wir erst b über c, a und dem Winkel $\mathrm\beta$ und formen dann nach $\cos\left(\mathrm\beta\right)$ um.
Das selbe machen wir mit $\cos\left(\mathrm\gamma\right)$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\mathrm b²=\mathrm a²+\mathrm c²-2\mathrm{ac}\cdot\cos\left(\mathrm\beta\right)\\\;\;\Rightarrow\;\;\cos\left(\mathrm\beta\right)=\frac{\mathrm a²+\mathrm c²-\mathrm b²}{2\mathrm{ac}}\\\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm\beta\approx39{,}828^\circ\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\mathrm b²=\mathrm a²+\mathrm d²-2\mathrm{ad}\cdot\cos\left(\mathrm\gamma\right)\\\;\;\Rightarrow\;\;\cos\left(\mathrm\gamma\right)=\frac{\mathrm a²+\mathrm d²-\mathrm b²}{2\mathrm{ad}}\\\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm\gamma\approx27{,}427^\circ\end{array}$
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123mathe.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Rudolf Brinkmann
$\left|\overrightarrow{\mathrm a}\right|=\mathrm a=3{,}5$ ; $\left|\overrightarrow{\mathrm b}\right|=\mathrm b=4{,}2$ ; $\mathrm\alpha=\sphericalangle\left(\overrightarrow{\mathrm a},\overrightarrow{\mathrm b}\right)=290^\circ$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren
1) Vektoren zeichnen
Zeichne zunächst Vektor $\overrightarrow{\mathrm a}$ ein. Richtung ist egal. Entscheident ist die Länge von 3,5.
Dann zeichnet man den Vektor $\overrightarrow{\mathrm b}$ im Winkel von $\mathrm\alpha=290^\circ$ gegen den Uhrzeigersinn an den Fuß von Vektor $\overrightarrow{\mathrm a}$ ein.
Nun fehlen noch die Vektoren $\vec c$ und $\vec d$ , welche durch Vektoraddition bzw. Vektorsubtraktion entstehen.
Zeichnet man Vektor $\overrightarrow{\mathrm b}$ nun im selben Winkel und mit der selben Länge an die Spitze von Vektor $\overrightarrow{\mathrm a}$ so erhalten wir ein Parralelogramm, dass in der Diagonale den Vektor $\overrightarrow{\mathrm a}+\overrightarrow{\mathrm b}=\overrightarrow{\mathrm c}$ besitzt.
Zeichnet man Vektor $\overrightarrow{\mathrm b}$ nun im selben Winkel und mit der selben Länge, aber in der entgegengesetzten Richtung ein, so erhält man vom Fuß von $\overrightarrow{\mathrm a}$ bis zur Spitze von - $\overrightarrow{\mathrm b}$ den Vektor $\overrightarrow{\mathrm a}-\overrightarrow{\mathrm b}=\overrightarrow{\mathrm d}$ .
2) $|\vec c|$ und $|\vec d|$ zeichnerisch bestimmen
Messe die Länge der Vektoren $\overrightarrow{\mathrm c}\;\mathrm{und}\;\overrightarrow{\mathrm d}$ ab.
$\left|\overrightarrow{\mathrm c}\right|\approx6{,}3$
$\left|\overrightarrow{\mathrm d}\right|\approx4{,}5$
3) $\beta$ und $\gamma$ aus der Zeichnung ablesen
Miss die Winkel $\beta$ und $\gamma$ ab:
$\mathrm\beta\approx38{,}6^\circ$
$\mathrm\gamma\approx62{,}3^\circ$
4) $|\vec c|$ und $|\vec d|$ rechnerisch bestimmen
$\overrightarrow{\mathrm c}$ und $\overrightarrow{\mathrm d}$ rechnerisch bestimmen mit Kosinussatz
Zunächst müssen wir die Winkel an der Spitze von a ermitteln.
Dafür brauchen wir den Winkel den b im Uhrzeigesinn von a entfernt ist. Dieser beträgt $\mathrm\alpha-180^\circ=110^\circ$ .
Durch den Z-Winkel sind nun an der Spitze von a unten 110° vorzufinden und oben 70°, da diese beiden Winkel insgesamt 180° ergeben müssen.
Gesucht ist nun erst mal die Seite c. Um diese zu berechnen benutzen wir den Kosinussatz über die Seiten a und b und dem Winkel von 110°.
Um d zu berechnen gehen wir genauso vor. Wir rechnen mit dem Kosinussatz über die Seiten a und b und dem Winkel von 70°.
$\mathrm c²=\mathrm a²+\mathrm b²-2\mathrm{ab}\cdot\cos\left(110^\circ\right)\;\Rightarrow\;\;\mathrm c=\left|\overrightarrow{\mathrm c}\right|\approx6{,}32$
$\mathrm d²=\mathrm a²+\mathrm b²-2\mathrm{ab}\cdot\cos\left(70^\circ\right)\;\Rightarrow\;\;\mathrm d=\left|\overrightarrow{\mathrm d}\right|\approx4{,}454$
5) $\beta$ und $\gamma$ rechnerisch bestimmen
Für die Winkel $\mathrm\beta\;\mathrm{und}\;\mathrm\gamma$ kann man sich wieder den Kosinussatz zu nutze machen.
Hierfür rechnen wir erst b über c, a und dem Winkel $\mathrm\beta$ und formen dann nach $\cos\left(\mathrm\beta\right)$ um.
Das selbe machen wir mit $\cos\left(\mathrm\gamma\right)$ .
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\mathrm b²=\mathrm a²+\mathrm c²-2\mathrm{ac}\cdot\cos\left(\mathrm\beta\right)\\\;\;\Rightarrow\;\;\cos\left(\mathrm\beta\right)=\frac{\mathrm a²+\mathrm c²-\mathrm b²}{2\mathrm{ac}}\\\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm\beta\approx38{,}642^\circ\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\mathrm b²=\mathrm a²+\mathrm d²-2\mathrm{ad}\cdot\cos\left(\mathrm\gamma\right)\\\;\;\Rightarrow\;\;\cos\left(\mathrm\gamma\right)=\frac{\mathrm a²+\mathrm d²-\mathrm b²}{2\mathrm{ad}}\\\;\;\Rightarrow\;\;\mathrm\gamma\approx62{,}397^\circ\end{array}$
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1) Vektoren zeichnen

2) ∣c⃗∣|\vec c|∣c∣ und ∣d⃗∣|\vec d|∣d∣ zeichnerisch bestimmen

3) β\betaβ und γ\gammaγ aus der Zeichnung ablesen

4) ∣c⃗∣|\vec c|∣c∣ und ∣d⃗∣|\vec d|∣d∣ rechnerisch betimmen

5) β\betaβ und γ\gammaγ rechnerisch bestimmen

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1) Vektoren zeichnen

2) ∣c⃗∣|\vec c|∣c∣ und zeichnerisch bestimmen

3) β\betaβ und γ\gammaγ aus der Zeichnung ablesen

4) ∣c⃗∣|\vec c|∣c∣ und ∣d⃗∣|\vec d|∣d∣ rechnerisch bestimmen

5) β\betaβ und γ\gammaγ rechnerisch bestimmen

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1) Vektoren zeichnen

2) c→\overrightarrow{\mathrm c}c und d→\overrightarrow{\mathrm d}d zeichnerisch bestimmen

3) β\betaβ und γ\gammaγ aus der Zeichnung ablesen

4) ∣c⃗∣|\vec c|∣c∣ und ∣d⃗∣|\vec d|∣d∣ rechnerisch bestimmen

5) β\betaβ und γ\gammaγ rechnerisch bestimmen

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1) Vektoren zeichnen

2) ∣c⃗∣|\vec c|∣c∣ und ∣d⃗∣|\vec d|∣d∣ zeichnerisch bestimmen

3) β\betaβ und γ\gammaγ aus der Zeichnung ablesen

4) ∣c⃗∣|\vec c|∣c∣ und ∣d⃗∣|\vec d|∣d∣ rechnerisch bestimmen

5) β\betaβ und γ\gammaγ rechnerisch bestimmen

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2) $|\vec c|$ und $|\vec d|$ zeichnerisch bestimmen

3) $\beta$ und $\gamma$ aus der Zeichnung ablesen

4) $|\vec c|$ und $|\vec d|$ rechnerisch betimmen

5) $\beta$ und $\gamma$ rechnerisch bestimmen

2) $|\vec c|$ und zeichnerisch bestimmen

3) $\beta$ und $\gamma$ aus der Zeichnung ablesen

4) $|\vec c|$ und $|\vec d|$ rechnerisch bestimmen

5) $\beta$ und $\gamma$ rechnerisch bestimmen

2) $\overrightarrow{\mathrm c}$ und $\overrightarrow{\mathrm d}$ zeichnerisch bestimmen

3) $\beta$ und $\gamma$ aus der Zeichnung ablesen

4) $|\vec c|$ und $|\vec d|$ rechnerisch bestimmen

5) $\beta$ und $\gamma$ rechnerisch bestimmen

2) $|\vec c|$ und $|\vec d|$ zeichnerisch bestimmen

3) $\beta$ und $\gamma$ aus der Zeichnung ablesen

4) $|\vec c|$ und $|\vec d|$ rechnerisch bestimmen

5) $\beta$ und $\gamma$ rechnerisch bestimmen