Stochastik, Teil B, Aufgabengruppe 2

Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind 4% der hergestellten Teile fehlerhaft. Die Anzahl fehlerhafter Teile unter zufällig ausgewählten kann als binomialverteilt angenommen werden.

(3 BE)

50 Kunststoffteile werden zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

A: "Genau zwei der Teile sind fehlerhaft."

B: "Mindestens 6% der Teile sind fehlerhaft."

Die Kunststoffteile werden aus Kunststoffgranulat hergestellt. Nach einem Wechsel des Granulats vermutet der Produktionsleiter, dass sich der Anteil der fehlerhaften Teile reduziert hat. Um einen Anhaltspunkt dafür zu gewinnen, ob die Vermutung gerechtfertigt ist, soll die Nullhypothese "Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens 4%" auf der Grundlage einer Stichprobe von 200 Teilen auf einem Signifikanzniveau von 5% getestet werden.

(4 BE)

Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.

(3 BE)

Das neue Granulat ist teurer als das vorherige. Geben Sie an, welche Überlegung zur Wahl der Nullhypothese geführt haben könnte, und begründen Sie Ihre Angabe.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung

Lösung Teilaufgabe a)

$X$ sei die Zufallsgröße, welche die Anzahl fehlerhafter Kunststoffteile beschreibt.

$n=50$ und $p=0{,}04$

$X$ ist $B(50;0{,}04)$ verteilt

$\color{red}{\text{Beachte}:}$ $4{\%}$ = $\frac{4}{100}=0{,}04$ und nicht $0{,}4$ !

Benutze das Tafelwerk zur Stochastik.

Ereignis $A$ : "Genau zwei Teile sind fehlerhaft".

$P(A)=P_{0{,}04}^{50}(X=2)\overset{\text{Tafel}}{=}0{,}27623\approx{27{,}6\,}{\%}$

Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis $A$ beträgt rund $27{,}6{\%}.$

Ereignis $B$ : "Mindestens 6% der Teile sind fehlerhaft".

Die Mächtigkeit für das Ereignis $B$ beträgt:

$|B|=6{\%}\; von \;50 = 3$ .

"Mindestens drei Teile schadhaft" heißt: $"X\geq3"$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}\quad P(\mathrm{B})&=&P_{0{,}04}^{50}\left(\mathrm{X}\geq3\right)&|\;\color{red}{\text{Gegenereignis}}\;\text{heranziehen}!\\&=&\color{red}{1-}\,P_{0{,}04}^{50}(\mathrm{X}\color{red}{\leq{2}})&|\;\text{Tafel benutzen}\\&=&1-0{,}67671\\&=&0{,}32329\\&\approx& 32{,}3\,{\%}\end{array}$

Das Ereignis $\mathrm{B}$ hat die Wahrscheinlichkeit von rund $32{,}3\,{\%}$ .

Lösung Teilaufgabe b)

Arbeitsplan zur Durchführung des notwendigen Signifikanztestes für die Bestimmung einer Entscheidungsregel durch Angabe des Annahme- und Ablehnungsbereichs:

Die vorgegebene Nullhypothese lautet
$H_0:~$ "Der Anteil fehlerhafter Teile beträgt mindestens 4 %" Es wird vermutet, dass der Anteil fehlerhafter Teil abgenommen hat. Die Gegenhypothese des Produktionsleiters lautet: $H_1:$ . "Der Anteil fehlerhafter Teile hat abgenommen."
Verwendung der binomialverteilten Zufallsgröße $\;X$ , welche die Anzahl fehlerhaften Teile misst, beim Stichprobenumfang $n$ zum vorgegebenen Signifikanzniveau $\alpha$ .
Ansatz für einen linksseitigen Signifikanztest, da für die $H_0$ gilt: " mindestens $4\%$ fehlerhafte Teile" und $H_0$ dann abgelehnt wird, wenn tendenziell wenige Teile in der Stichprobe fehlerhaft sind: Zu erwarten ist dadurch ein Ablehnungsbereich $\;\overline{A}=\{\color{red}{0};1;…;\color{red}{c}\}$ mit der Bestimmung des größtmöglichen Wertes für $c$ mithilfe des Tafelwerks so, dass der Fehler 1. Art das Signifikanzniveau nicht übersteigt. Also wird bei einem $H_0=\{\,p\,|\,p\geq p_0\}$ gefordert: $P_{\color{red}{p_0}}^{n}(X\in\color{red}{\overline{A}})\leq\alpha$ Anmerkung: Du betrachtest nur den "Extremwert" $p_0$ zur Bestimmung des Ablehnungsbereichs $\overline{A}$ . Damit ist gesichert, dass auch für ungünstigere Werte $p$ der Fehler 1. Art das Signifikanzniveau nicht überschreitet.
Angabe der geforderten Entscheidungsregel.

Durchführung des Testes

$H_0=\{p\,|\,p\geq 0{,}04\}$

$H_1=\{p\,|\,p<0{,}04\}$

$n=200$

$\alpha=0{,}05$

Für den Wahrscheinlichkeitswert $p=0{,}04$ suchst du in der kumulativen Verteilungsfunktion der stochastischen Tafel (rechte Spalte!) in der Tabelle für $n=200$ den größten Wert kleiner als $0{,}05$ und liest das dazu gehörende $c$ ab.

$P_{0{,}04}^{200}(X\leq c)=\displaystyle \sum_{i=0}^{200}B(200;0{,}04;i)\;\overset{\text{Tafel}}{\Rightarrow}$

$0{,}03953=\displaystyle\sum_{i=0}^{\color{red}{3}}B(200;0{,}04;i)=P_{0{,}04}^{200}(X\leq \color{red}{3})$

$\Rightarrow\quad c=3\quad\Rightarrow\quad \overline{A}=\{0;1;2;3\}$

Aus dem Ablehnungsbereich $\overline{A}=\{0;1;2;3\}$ folgt beim Stichprobenumfang $200$ der Annahmebereich $A=\{4;…;200\}$ .

Die Entscheidungsregel formulierst du zum Beispiel so:

Die Nullhypothese "Der Anteil fehlerhafter Teile beträgt mindestens $4{\%}$ " wird angenommen, wenn unter den 200 zufällig entnommenen Kunststoffteilen mindestens 4 fehlerhafte Teile sind.

Oder du formulierst so:

Die Nullhypothese ""Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens $4{\%}$ " wird abgelehnt, wenn unter den 200 zufällig entnommenen Kunststoffteilen höchstens 3 fehlerhafte Teile sind.

Graphische Ergänzung

Den linksseitigen Signifikanztest zur Nullhypothese $H_0=\{\,p\,|\,p\geq0{,}04\}$ beim Signifikanzniveau $\alpha=5\%$ und einem Stichprobenumfang $n=200$ verdeutlicht die nachfolgende Graphik.

Lösung Teilaufgabe c)

In dieser Aufgabe sollst du die Verwendung einer vorgegebenen Nullhypothese im Sachzusammenhang argumentativ begründen.

So könntest du argumentieren:

Der Signifikanztest zur Nullhypothese (der Anteil fehlerhafter Teile beträgt mindestens $4\%$ ) gibt mit seiner Entscheidungsregel - je nach Ausgang des Testes - dem Produktionsleiter eine Information, ob sie abgelehnt werden kann und das neue teuere Granulat damit mit großer Sicherheit die erhoffte positive Wirkung der Verringerung der Zahl der fehlerhaften Teile hat und weiter verwendet werden kann.

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