Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind 4% der hergestellten Teile fehlerhaft. Die Anzahl fehlerhafter Teile unter zufällig ausgewählten kann als binomialverteilt angenommen werden.
a)
(3 BE)
50 Kunststoffteile werden zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
A: "Genau zwei der Teile sind fehlerhaft."
B: "Mindestens 6% der Teile sind fehlerhaft."
Die Kunststoffteile werden aus Kunststoffgranulat hergestellt. Nach einem Wechsel des Granulats vermutet der Produktionsleiter, dass sich der Anteil der fehlerhaften Teile reduziert hat. Um einen Anhaltspunkt dafür zu gewinnen, ob die Vermutung gerechtfertigt ist, soll die Nullhypothese "Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens 4%" auf der Grundlage einer Stichprobe von 200 Teilen auf einem Signifikanzniveau von 5% getestet werden.
b)
(4 BE)
Bestimmen Sie die zugehörige Entscheidungsregel.
c)
(3 BE)
Das neue Granulat ist teurer als das vorherige. Geben Sie an, welche Überlegung zur Wahl der Nullhypothese geführt haben könnte, und begründen Sie Ihre Angabe.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomialverteilung
Lösung Teilaufgabe a)
X sei die Zufallsgröße, welche die Anzahl fehlerhafter Kunststoffteile beschreibt.
n=50 und p=0,04
X ist B(50;0,04) verteilt
Beachte:4% = 1004=0,04 und nicht 0,4!
Benutze das Tafelwerk zur Stochastik.
Ereignis A: "Genau zwei Teile sind fehlerhaft".
P(A)=P0,0450(X=2)=Tafel0,27623≈27,6%
Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A beträgt rund 27,6%.
Ereignis B: "Mindestens 6% der Teile sind fehlerhaft".
H0:"Der Anteil fehlerhafter Teile beträgt mindestens 4 %"
Es wird vermutet, dass der Anteil fehlerhafter Teil abgenommen hat.
Die Gegenhypothese des Produktionsleiters lautet:
H1:. "Der Anteil fehlerhafter Teile hat abgenommen."
Ansatz für einen linksseitigen Signifikanztest, da für die H0 gilt: " mindestens4% fehlerhafte Teile" und H0 dann abgelehnt wird, wenn tendenziell wenige Teile in der Stichprobe fehlerhaft sind:
Zu erwarten ist dadurch ein Ablehnungsbereich A={0;1;…;c} mit der Bestimmung des größtmöglichen Wertes für c mithilfe des Tafelwerks so, dass der Fehler 1. Art das Signifikanzniveau nicht übersteigt.
Also wird bei einem H0={p∣p≥p0} gefordert:
Pp0n(X∈A)≤α
Anmerkung:
Du betrachtest nur den "Extremwert" p0 zur Bestimmung des Ablehnungsbereichs A. Damit ist gesichert, dass auch für ungünstigere Werte p der Fehler 1. Art das Signifikanzniveau nicht überschreitet.
Angabe der geforderten Entscheidungsregel.
Durchführung des Testes
1.
H0={p∣p≥0,04}
H1={p∣p<0,04}
2.
n=200
α=0,05
3.
Für den Wahrscheinlichkeitswert p=0,04 suchst du in der kumulativen Verteilungsfunktion der stochastischen Tafel (rechte Spalte!) in der Tabelle für n=200 den größten Wert kleiner als 0,05 und liest das dazu gehörende c ab.
P0,04200(X≤c)=i=0∑200B(200;0,04;i)⇒Tafel
0,03953=i=0∑3B(200;0,04;i)=P0,04200(X≤3)
⇒c=3⇒A={0;1;2;3}
4.
Aus dem Ablehnungsbereich A={0;1;2;3} folgt beim Stichprobenumfang 200 der Annahmebereich A={4;…;200}.
Die Entscheidungsregel formulierst du zum Beispiel so:
Die Nullhypothese "Der Anteil fehlerhafter Teile beträgt mindestens 4%" wird angenommen, wenn unter den 200 zufällig entnommenen Kunststoffteilen mindestens 4 fehlerhafte Teile sind.
Oder du formulierst so:
Die Nullhypothese ""Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens 4%" wird abgelehnt, wenn unter den 200 zufällig entnommenen Kunststoffteilen höchstens 3 fehlerhafte Teile sind.
Graphische Ergänzung
Den linksseitigen Signifikanztest zur Nullhypothese H0={p∣p≥0,04} beim Signifikanzniveau α=5% und einem Stichprobenumfang n=200 verdeutlicht die nachfolgende Graphik.
Lösung Teilaufgabe c)
In dieser Aufgabe sollst du die Verwendung einer vorgegebenen Nullhypothese im Sachzusammenhang argumentativ begründen.
So könntest du argumentieren:
Der Signifikanztest zur Nullhypothese (der Anteil fehlerhafter Teile beträgt mindestens 4%) gibt mit seiner Entscheidungsregel - je nach Ausgang des Testes - dem Produktionsleiter eine Information, ob sie abgelehnt werden kann und das neue teuere Granulat damit mit großer Sicherheit die erhoffte positive Wirkung der Verringerung der Zahl der fehlerhaften Teile hat und weiter verwendet werden kann.
Für ein Spiel wird ein Glücksrad verwendet, das drei farbige Sektoren hat. Der Tabelle können die Farben der Sektoren und die Größen der zugehörigen Mittelpunktswinkel entnommen werden.
Farbe
Blau
Rot
Grün
Mittelpunktswinkel
180°
120°
60°
Für einen Einsatz von 5 Euro darf ein Spieler das Glücksrad dreimal drehen. Erzielt der Spieler dreimal die gleiche Farbe, werden ihm 10 Euro ausgezahlt. Erzielt er drei verschiedene Farben, wird ein anderer Betrag ausgezahlt. In allen anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung.
a)
(2 BE)
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dreimal die gleiche Farbe erzielt wird, ist 61. Zeigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei verschiedene Farben erzielt werden, ebenfalls 61 beträgt.
b)
(3 BE)
Bei dem Spiel ist zu erwarten, dass sich die Einsätze der Spieler und die Auszahlungen auf lange Sicht ausgleichen. Berechnen Sie den Betrag, der ausgezahlt wird, wenn drei verschiedene Farben erscheinen.
c)
(5 BE)
Die Größen der Sektoren werden gändert. Dabei werden der grüne und der rote Sektor verkleinert, wobei der Mittelpunktswinkel des roten Sektors wieder doppelt so groß wie der des grünen Sektors ist. Die Abbildung zeigt einen Teil eines Baumdiagramms, das für das geänderte Glücksrad die beiden ersten Drehungen beschreibt. Ergänzend ist für einen Pfad die zugörige Wahrscheinlichkeit angegeben.
Bestimmen Sie die Größe des zum grünen Sektor gehörenden Mittelpunktswinkel.
Das dreimalige Drehen eines Glücksrades ist ein mehrstufiges Zufallsexperiment und entspricht im Urnenmodell dem Ziehen mit Zurücklegen. Wahrscheinlichkeitsberechnungen von Ereignissen führst du kombinatorisch oder mit Hilfe von Baumdiagrammen durch.
Das vorliegende Glücksrad lässt sich durch eine Urne mit Kugeln der Farben blau, rot und grün im Zahlenverhältnis 180:120:60=3:2:1 modellieren.
Kombinatorische Berechnung für P("drei verschiedene Farben erzielen")
Für eine bestimmte Reihenfolge der drei Farben beim Drehen/Ziehen erhältst du nach der Produktregel der Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit den Wert 21⋅31⋅61.
Für drei Elemente gibt es kombinatorisch3!=3⋅2⋅1=6 Möglichkeiten der Reihenfolge, so dass sich wegen der Summenregel beim Berechnen von einzelnen Teilwahrscheinlichkeiten die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt:
P("drei verschiedene Farben erzielen")=6⋅21⋅31⋅61=61
Lösung über ein Baumdiagramm
Kombinatorische Lösungen mit systematischen Anordnungs- und Auswahlgesichtspunkten (etwa unter Verwendung von Fakultäten und/oder Binomialkoeffizienten) sind bei Berechnungen von Wahrscheinlichkeiten oft elegant und zeitsparend, bergen aber auch die Gefahr in sich, dass du gelegentlich ein Detail der Aufgabenstellung übersiehst oder falsch interpretierst.
Der Einsatz eines Baumdiagramms ist zwar arbeitsintensiver, dafür aber anschaulicher und oft auch "sicherer".
Veranschaulichung des Ereignisses "drei verschiedene Farben" mithilfe eines Baumdiagramms:
Das Ereignis "drei verschiedene Farben" ergibt sich im Baumdiagramm über 6 verschiedene Pfade, so dass gilt:
P("drei verschiedene Farben")=3!⋅21⋅31⋅61=61
Lösung Teilaufgabe b)
Mit folgenden drei Denk- und Arbeitsschritten bestimmst du für das Glücksspiel eine ZufallsgrößeZ:"Auszahlungsbetrag".
Die Textangabe zerlegt den Ergebnisraum des Experiments in drei sich ausschließende Ereignisse:
E1:"drei gleiche Farben"E2:"drei verschiedene Farben"E3:"die restlichen Ergebnisse"
Der Auszahlungsbetrag ist bei Eintritt von E110.−€, bei Eintritt von E3 gibt es nichts, also 0€. Bei Eintritt von E2 ist der Auszahlungsbetrag unbekannt. Für diesen musst du - und dies ist für die weitere Lösung der Aufgabe entscheidend - einen (unbekannten) Wert x ansetzen.
In Teilaufgabe a) sind die jetzt zu verwendenden Wahrscheinlichkeitswerte für E1 und E2 angegeben:
P(E1)=P(E2)=61.
Damit errechnest du P(E3):
61+61+P(E3)=1Lo¨se nach P(E3) aufP(E3)=32
Die Zufallsgröße Z:"Auszahlungsbetrag" fasst du in einer Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung wie folgt zusammen:
kP(Z=k)1061x61032
Jetzt kommt der Einsatz von 5€ ins Spiel:
Es handelt sich um ein sogenanntes faires Spiel. Dies kommt durch folgende Angabe zum Ausdruck:
"Bei dem Spiel ist zu erwarten, dass die Höhe des im Mittel zu erwartenden Auszahlungsbetrags gleich dem Einsatz pro Spiel ist."
Setze E(Z) gleich 5 und löse die Gleichung nach x auf.
10⋅61+x⋅6110+xx===53020∣⋅6∣−10
Wenn drei verschiedene Farben erscheinen, ist ein Betrag von 20€ auszubezahlen.
Anmerkung zur Aufgabenstellung:
Die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse "drei gleiche Farben" und "drei verschiedene Farben" sind in Teilaufgabe a) deshalb vorgegeben, damit du - auch wenn du den Aufgabenteil a) nicht schaffst - im Teil b) weiterarbeiten kannst. Ein freundlicher Akt der Aufgabensteller!
Lösung Teilaufgabe c)
So kannst du überlegen:
Die Größe des Mittelpunktswinkels der Sektoren ist direkt proportional zur Wahrscheinlichkeit, den Sektor beim Drehen zu erhalten.
Es sei p die Wahrscheinlichkeit, mit der der grüne Sektor erscheint, also P(G)=p.
Dann gilt gemäß der Aufgabenstellung nach Verkleinerung des grünen und des roten Sektors weiterhin: P(Rot)=2p.
Und für den (restlichen) blauen Sektor ergibt sich:
P(B)=1−p−2p=1−3p.
Dem abgebildeten Baumdiagramm entnimmst du mit der 1. Pfadregel:
2pP(R)⋅1−3pP(B)=0,14P(R∩B)
Beachte die Unabhängigkeit der aufeinderfolgenden Drehungen ("Ziehen mit Zurücklegen"). Deshalb gilt im Baumdiagramm P(B∣R)=P(B)=1−3b.
Das Ergebnis β=84° scheidet aus, da der grüne Sektor (ursprünglich 60°) verkleinert werden soll. Damit ergibt sich auf diesem alternativen Weg die gleiche Lösung eines Mittelpunktswinkel von 36° im grünen Sektor des Glücksrades.
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