Die Aufgaben löst du mit Mitteln der Kombinatorik sowie Kenntnissen über Baumdiagramme und ihren Pfadregeln. Außerdem musst du über den Erwartungswert von Zufallsgrößen Bescheid wissen.

Lösung Teilaufgabe a)

Das dreimalige Drehen eines Glücksrades ist ein mehrstufiges Zufallsexperiment und entspricht im Urnenmodell dem Ziehen mit Zurücklegen. Wahrscheinlichkeitsberechnungen von Ereignissen führst du kombinatorisch oder mit Hilfe von Baumdiagrammen durch.

Kombinatorische Berechnung für $P(\text{"drei verschiedene Farben erzielen"})$

Für eine bestimmte Reihenfolge der drei Farben beim Drehen/Ziehen erhältst du nach der Produktregel der Berechnung der Gesamtwahrscheinlichkeit den Wert $\frac {1}{ 2}\cdot \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}$.

Für drei Elemente gibt es kombinatorisch $3!=3\cdot 2 \cdot 1 = 6$ Möglichkeiten der Reihenfolge, so dass sich wegen der Summenregel beim Berechnen von einzelnen Teilwahrscheinlichkeiten die Gesamtwahrscheinlichkeit ergibt:

$P("\text{drei verschiedene Farben erzielen"})=6\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{6}$

Lösung über ein Baumdiagramm

Kombinatorische Lösungen mit systematischen Anordnungs- und Auswahlgesichtspunkten (etwa unter Verwendung von Fakultäten und/oder Binomialkoeffizienten) sind bei Berechnungen von Wahrscheinlichkeiten oft elegant und zeitsparend, bergen aber auch die Gefahr in sich, dass du gelegentlich ein Detail der Aufgabenstellung übersiehst oder falsch interpretierst.

Der Einsatz eines Baumdiagramms ist zwar arbeitsintensiver, dafür aber anschaulicher und oft auch "sicherer".

Veranschaulichung des Ereignisses "drei verschiedene Farben" mithilfe eines Baumdiagramms:

Das Ereignis "drei verschiedene Farben" ergibt sich im Baumdiagramm über 6 verschiedene Pfade, so dass gilt:

$\quad\quad\quad P(\text{"drei verschiedene Farben"})=3!\cdot \color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot \color{red}{\frac{1}{3}} \cdot \color{green}{\frac{1}{6}}=\frac{1}{6}$

Lösung Teilaufgabe b)

Mit folgenden drei Denk- und Arbeitsschritten bestimmst du für das Glücksspiel eine Zufallsgröße $\,Z :\text{"Auszahlungsbetrag".}$

1. Die Textangabe zerlegt den Ergebnisraum des Experiments in drei sich ausschließende Ereignisse:

   $E_1:\,\text{"drei gleiche Farben"}$ $E_2:\,\text{"drei verschiedene Farben"}$ $E_3:\,\text{"die restlichen Ergebnisse"}$

2. Der Auszahlungsbetrag ist bei Eintritt von $E_1$ $10.-€$, bei Eintritt von $E_3$ gibt es nichts, also $0\,€$. Bei Eintritt von $E_2$ ist der Auszahlungsbetrag unbekannt. Für diesen musst du - und dies ist für die weitere Lösung der Aufgabe entscheidend - einen (unbekannten) Wert $x$ ansetzen.

3. In Teilaufgabe a) sind die jetzt zu verwendenden Wahrscheinlichkeitswerte für $E_1$ und $E_2$ angegeben: $P(E_1)=P(E_2)=\frac1 6$. Damit errechnest du $P(E_3)$: $\frac16 + \frac16 + P(E_3)=1\quad\quad\text{Löse nach }P(E_3) \text{ auf}$ $\quad\quad \quad \;P(E_3)=\frac23$

Die Zufallsgröße $Z:\text{"Auszahlungsbetrag"}$ fasst du in einer Tabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung wie folgt zusammen:

Jetzt kommt der Einsatz von $5\,€$ ins Spiel:

Es handelt sich um ein sogenanntes faires Spiel. Dies kommt durch folgende Angabe zum Ausdruck:

"Bei dem Spiel ist zu erwarten, dass die Höhe des im Mittel zu erwartenden Auszahlungsbetrags gleich dem Einsatz pro Spiel ist."

Also muss hier gelten: $\quad E(Z)=5$

Wenn drei verschiedene Farben erscheinen, ist ein Betrag von $20\,€$ auszubezahlen.

Anmerkung zur Aufgabenstellung:

Die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse "drei gleiche Farben" und "drei verschiedene Farben" sind in Teilaufgabe a) deshalb vorgegeben, damit du - auch wenn du den Aufgabenteil a) nicht schaffst - im Teil b) weiterarbeiten kannst. Ein freundlicher Akt der Aufgabensteller!

Lösung Teilaufgabe c)

So kannst du überlegen:

Die Größe des Mittelpunktswinkels der Sektoren ist direkt proportional zur Wahrscheinlichkeit, den Sektor beim Drehen zu erhalten.

Es sei $p$ die Wahrscheinlichkeit, mit der der grüne Sektor erscheint, also $P(G)=p$.

Dann gilt gemäß der Aufgabenstellung nach Verkleinerung des grünen und des roten Sektors weiterhin: $P(Rot)=2p$.

Und für den (restlichen) blauen Sektor ergibt sich:

$P(B)=1-p-2p=1-3p$.

Beachte die Unabhängigkeit der aufeinderfolgenden Drehungen ("Ziehen mit Zurücklegen"). Deshalb gilt im Baumdiagramm $P(B|R)=P(B)=1-3b$.

Jetzt löst du die erhaltene Gleichung für $p$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}2p \cdot (1-3p)&=&0{,}14 &|\,\text{ausmultiplizieren}\\2p-6p^2&=&0{,}14 &|\,-0{,}14\\-6p^2+2p-0{,}14&=&0&|\,\text{Mitternachtsformel}\\p_{1{,}2}&=&\displaystyle\frac{-2\pm\sqrt{2^2-3{,}36}}{2\cdot (-6)}\\p_{1{,}2}&=&\displaystyle\frac{-2\pm0{,}8}{-12}\\p_1&=&0{,}1\\p_2&=&\displaystyle\frac{7}{30}\;\color{red}{>}\frac{1}{6}\end{array}$

Da der grüne Sektor verkleinert werden soll, entfällt $p_2$.

Den Mittelpunktswinkel $\beta$ des (verkleinerten) grünen Sektors berechnest du abschließend so:

$\displaystyle \quad\frac{\beta}{360°}=0{,}1\quad\Rightarrow\quad\beta=36°.$

Die Größe des verkleinerten grünen Sektors beträgt 36°.

Alternative Lösung für Teilaufgabe c)

Berechne den gesuchten neuen Mittelpunktswinkel $\beta$ durch Lösen der Gleichung.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}\displaystyle \frac{2\beta}{360}\cdot \frac{360-3\beta}{360}&=&0{,}14&|\cdot\,360^2\\2\beta\cdot (360-3\beta)&=&18144&|\,\text{Ausmultiplizieren}\\720\beta-6\beta^2&=&18144&|\,\text{als quadratische Gleichung ordnen}\\-6\beta^2+720\beta-18144&=&0&|\,\text{Mitternachtsfomel anwenden}\end{array}$

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}\beta_{1;2}&=&\displaystyle \frac{-720 \pm \sqrt{720^2-24\cdot 18144}}{-12}\\\beta_{1;2}&=&\displaystyle \frac{-720\pm 288}{-12}\\\beta _1&=&36\\\beta_2&=&84\end{array}$

Das Ergebnis $\beta=84°$ scheidet aus, da der grüne Sektor (ursprünglich $60°$) verkleinert werden soll. Damit ergibt sich auf diesem alternativen Weg die gleiche Lösung eines Mittelpunktswinkel von $36°$ im grünen Sektor des Glücksrades.