Gemischte Aufgaben - lernen mit Serlo!

Berechne die Spurpunkte der gegebenen Geraden.

$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix}+\mathrm k\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte
Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{3}$ die Gleichung: $x_{3} = 3 - 2 k$
Wird die $x_{1} x_{2}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{3} $ gleich Null sein: $x_3=0\Rightarrow$
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}0&=&3-2k&\vert+2k\\\\2k&=&3&\vert:2\\\\k&=&\dfrac{3}{2}\end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$\displaystyle \mathrm g:\;\vec{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix}+ \dfrac{3}{2}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4{,}5\\3{,}5\\0\end{pmatrix}$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$\displaystyle S_{{x_1}{x_2}}(4{,}5∣3{,}5∣0)$
Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{2}$ die Gleichung: $x_{2} = 2 + k$
Wird die $x_{1} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{2} $ gleich Null sein: $x_2=0\Rightarrow$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}0&=&2+k&\vert-2\\\\k&=&-2&\end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$\displaystyle \mathrm g:\;\vec{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix}+ (-2)\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\7\end{pmatrix}$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$\displaystyle S_{{x_1}{x_3}}(1∣0∣7)$
Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{1}$ die Gleichung: $x_{1} = 3 + k$
Wird die $x_{2} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{1} $ gleich Null sein: $x_1=0\Rightarrow$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}0&=&3+k&\vert-3\\\\k&=&-3&\end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$\displaystyle \mathrm g:\;\vec{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix}+ (-3)\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-1\\9\end{pmatrix}$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$\displaystyle S_{{x_2}{x_3}}(0∣-1∣9)$
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Die Punkte, in denen die Gerade $g$ die Koordinatenebenen schneidet, heißen Spurpunkte. Berechne also jeweils den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit einer der drei Koordinatenebenen.
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+\mathrm k\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte
Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{3}$ die Gleichung: $x_{3} = 0 + k$
Wird die $x_{1} x_{2}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{3} $ gleich Null sein: $x_3=0\Rightarrow$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}0&=&0+k&\\\\k&=&0&\\\\&\end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$\displaystyle \mathrm g:\;\vec{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+ 0\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$\displaystyle S_{{x_1}{x_2}}(1∣-1∣0)$
Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{2}$ die Gleichung: $x_{2} = - 1 + 3 k$
Wird die $x_{1} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{2} $ gleich Null sein: $x_2=0\Rightarrow$
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}0&=&-1+3k&\vert+1\\\\1&=&3k&\vert:3\\\\k&=&\dfrac{1}{3}\end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$\displaystyle \mathrm g:\;\vec{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+ \dfrac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{5}{3}\\0\\\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$\displaystyle S_{{x_1}{x_3}}(\dfrac{5}{3}∣0∣\dfrac{1}{3})$
Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{1}$ die Gleichung: $x_{1} = 1 + 2 k$
Wird die $x_{2} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{1} $ gleich Null sein: $x_1=0\Rightarrow$
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}0&=&1+2k&\vert-1\\\\-1&=&2k&\vert:2\\\\k&=&-\dfrac{1}{2}&\end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$\displaystyle \mathrm g:\;\vec{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+ (-\dfrac{1}{2})\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-\dfrac{5}{2}\\-\dfrac{1}{2}\end{pmatrix}$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$\displaystyle S_{{x_2}{x_3}}(0∣-\dfrac{5}{2}∣-\dfrac{1}{2})$
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Die Punkte, in denen die Gerade $g$ die Koordinatenebenen schneidet, heißen Spurpunkte. Berechne also jeweils den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit einer der drei Koordinatenebenen.
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-2\\4\\1\end{pmatrix}+\mathrm k\cdot\begin{pmatrix}-2\\-1\\3\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte
Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{3}$ die Gleichung: $x_{3} = 1 + 3 k$
Wird die $x_{1} x_{2}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{3} $ gleich Null sein: $x_3=0\Rightarrow$
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}0&=&1+3k&\vert-3k\\\\-3k&=&1&\vert:(-3)\\\\k&=&-\dfrac{1}{3}\end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$\displaystyle \mathrm g:\;\vec{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-2\\4\\1\end{pmatrix}+ (-\dfrac{1}{3})\cdot\begin{pmatrix}-2\\-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{4}{3}\\\dfrac{13}{3}\\0\end{pmatrix}$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$\displaystyle S_{{x_1}{x_2}}(-\dfrac{4}{3}∣\dfrac{13}{3}∣0)$
Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{2}$ die Gleichung: $x_{2} = 4 - k$
Wird die $x_{1} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{2} $ gleich Null sein: $x_2=0\Rightarrow$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}0&=&4-k&\vert+k\\\\k&=&4&\end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$\displaystyle \mathrm g:\;\vec{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-2\\4\\1\end{pmatrix}+ 4\cdot\begin{pmatrix}-2\\-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-10\\0\\13\end{pmatrix}$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$\displaystyle S_{{x_1}{x_3}}(-10∣0∣13)$
Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{1}$ die Gleichung: $x_{1} = - 2 - 2 k$
Wird die $x_{2} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{1} $ gleich Null sein: $x_1=0\Rightarrow$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}0&=&-2-2k&\vert+2k\\\\2k&=&-2&\vert:2\\\\k&=&-1\end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$\displaystyle \mathrm g:\;\vec{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-2\\4\\1\end{pmatrix}+ (-1)\cdot\begin{pmatrix}-2\\-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\5\\-2\end{pmatrix}$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$\displaystyle S_{x_2x_3}(0∣5∣-2)$
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Die Punkte, in denen die Gerade $g$ die Koordinatenebenen schneidet, heißen Spurpunkte. Berechne also jeweils den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit einer der drei Koordinatenebenen.
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}+\mathrm k\cdot\begin{pmatrix}1\\-4\\2\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte
Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{3}$ die Gleichung: $x_{3} = - 5 + 2 k$
Wird die $x_{1} x_{2}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{3} $ gleich Null sein: $x_3=0\Rightarrow$
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}0&=&-5+2k&\vert-2k\\\\-2k&=&-5&\vert:(-2)\\\\k&=&\dfrac{5}{2}\end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$\displaystyle \mathrm g:\;\vec{\mathrm x}=\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}+ \dfrac{5}{2}\cdot\begin{pmatrix}1\\-4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6{,}5\\-8\\0\end{pmatrix}$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$\displaystyle S_{{x_1}{x_2}}(6{,}5∣-8∣0)$
Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{2}$ die Gleichung: $x_{2} = 2 - 4 k$
Wird die $x_{1} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{2} $ gleich Null sein: $x_2=0\Rightarrow$
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}0&=&2-4k&\vert+4k\\\\4k&=&2&\vert:4\\\\k&=&\dfrac{1}{2}\end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$\displaystyle \mathrm g:\;\vec{\mathrm x}=\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}+ (\dfrac{1}{2})\cdot\begin{pmatrix}1\\-4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4{,}5\\0\\-4\end{pmatrix}$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$\displaystyle S_{x_1x_3}(4{,}5∣0∣-4)$
Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{1}$ die Gleichung: $x_{1} = 4 + k$
Wird die $x_{2} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{1} $ gleich Null sein: $x_1=0\Rightarrow$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}0&=&4+k&\vert-4\\\\k&=&-4&\end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$\displaystyle \mathrm g:\;\vec{\mathrm x}=\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}+ (-4)\cdot\begin{pmatrix}1\\-4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\18\\-13\end{pmatrix}$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$\displaystyle S_{x_2x_3}(0∣18∣-13)$
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Die Punkte, in denen die Gerade $g$ die Koordinatenebenen schneidet, heißen Spurpunkte. Berechne also jeweils den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit einer der drei Koordinatenebenen.
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-3\\2\\5\end{pmatrix}+\mathrm k\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte
Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{3}$ die Gleichung: $x_{3} = 5 + 0 k = 5$
Wird die $x_{1} x_{2}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{3} $ gleich Null sein: $x_3=0\Rightarrow$
$0 = 5$
Das ist eine falsche Aussage.
Antwort: Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $x_{1} x_{2}$ -Ebene. Die Gerade verläuft parallel zur $x_{1} x_{2}$ -Ebene.
Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{2}$ die Gleichung: $x_{2} = 2 + k$
Wird die $x_{1} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{2} $ gleich Null sein: $x_2=0\Rightarrow$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}0&=&2+k&\vert-2\\\\k&=&-2&\end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$\displaystyle \mathrm g:\;\vec{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-3\\2\\5\end{pmatrix}+ (-2)\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-7\\0\\5\end{pmatrix}$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$\displaystyle S_{{x_1}{x_3}}(-7∣0∣5)$
Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{1}$ die Gleichung: $x_{1} = - 3 + 2 k$
Wird die $x_{2} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{1} $ gleich Null sein: $x_1=0\Rightarrow$
$\def\arraystretch{2} \begin{array}{rcl}0&=&-3+2k&\vert+3\\\\3&=&2k&\vert:2\\\\k&=&\dfrac{3}{2}\end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$\displaystyle \mathrm g:\;\vec{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-3\\2\\5\end{pmatrix}+ \dfrac{3}{2}\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3{,}5\\5\end{pmatrix}$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$\displaystyle S_{{x_2}{x_3}}(0∣3{,}5∣5)$
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Die Punkte, in denen die Gerade $g$ die Koordinatenebenen schneidet, heißen Spurpunkte. Berechne also jeweils den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit einer der drei Koordinatenebenen.
$\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+\mathrm k\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte
Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{3}$ die Gleichung: $x_{3} = 1 + k$
Wird die $x_{1} x_{2}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{3} $ gleich Null sein: $x_3=0\Rightarrow$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}0&=&1+k&\vert-1\\\\k&=&-1&\end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$\displaystyle \mathrm g:\;\vec{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+(-1)\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$\displaystyle S_{x_1x_2}(1∣0∣0)$
Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{2}$ die Gleichung: $x_{2} = 0 + 0 k = 0$
Wird die $x_{1} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{2} $ gleich Null sein: $x_2=0\Rightarrow$
$0 = 0$
Das ist eine wahre Aussage. Es gibt unendliche viele Schnittpunkte mit der $x_{1} x_{3}$ -Ebene .
Antwort: Die Gerade $g$ verläuft ganz in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene.
Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene
Der Geradengleichung $g$ entnimmst du für $x_{1}$ die Gleichung: $x_{1} = 2 + k$
Wird die $x_{2} x_{3}$ -Ebene geschnitten, so muss $x_{1} $ gleich Null sein: $x_1=0\Rightarrow$
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl}0&=&2+k&\vert-2\\\\k&=&-2&\end{array}$
Das berechnete $k$ wird in die Geradengleichung $g$ eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
$\displaystyle \mathrm g:\;\vec{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+ (-2)\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}$
Antwort: Der Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene hat die Koordinaten:
$\displaystyle S_{x_2x_3}(0∣0∣-1)$
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Die Punkte, in denen die Gerade $g$ die Koordinatenebenen schneidet, heißen Spurpunkte. Berechne also jeweils den Schnittpunkt der Geraden $g$ mit einer der drei Koordinatenebenen.

Spurpunkt in der x1x2x_1x_2x1​x2​​-Ebene

Spurpunkt in der x1x3x_1x_3x1​x3​​-Ebene

Spurpunkt in der x2x3x_2x_3x2​x3​​-Ebene

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Spurpunkt in der x1x2x_1x_2x1​x2​​-Ebene

Spurpunkt in der x1x3x_1x_3x1​x3​​-Ebene

Spurpunkt in der x2x3x_2x_3x2​x3​​-Ebene

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Spurpunkt in der x1x2x_1x_2x1​x2​​-Ebene

Spurpunkt in der x1x3x_1x_3x1​x3​​-Ebene

Spurpunkt in der x2x3x_2x_3x2​x3​​-Ebene

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Spurpunkt in der x1x2x_1x_2x1​x2​​-Ebene

Spurpunkt in der x1x3x_1x_3x1​x3​​-Ebene

Spurpunkt in der x2x3x_2x_3x2​x3​​-Ebene

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Spurpunkt in der x1x2x_1x_2x1​x2​​-Ebene

Spurpunkt in der x1x3x_1x_3x1​x3​​-Ebene

Spurpunkt in der x2x3x_2x_3x2​x3​​-Ebene

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Spurpunkt in der x1x2x_1x_2x1​x2​​-Ebene

Spurpunkt in der x1x3x_1x_3x1​x3​​-Ebene

Spurpunkt in der x2x3x_2x_3x2​x3​​-Ebene

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Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene

Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene

Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene

Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene

Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene

Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene

Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene

Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene

Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene

Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene

Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene

Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene

Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene

Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene

Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene

Spurpunkt in der $x_{1} x_{2}$ -Ebene

Spurpunkt in der $x_{1} x_{3}$ -Ebene

Spurpunkt in der $x_{2} x_{3}$ -Ebene