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Gemischte Aufgaben

Hier findest du gemischte Übungsaufgaben zu Vektoren, Ebenen und vielem mehr. Schaffst du sie alle?

  1. 1

    Berechne die Spurpunkte der gegebenen Geraden.

    1. g:  x=(323)+k(112)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}3\\2\\3\end{pmatrix}+\mathrm k\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}

    2. g:  x=(110)+k(231)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}+\mathrm k\cdot\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}

    3. g:  x=(241)+k(213)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-2\\4\\1\end{pmatrix}+\mathrm k\cdot\begin{pmatrix}-2\\-1\\3\end{pmatrix}

    4. g:  x=(425)+k(142)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}+\mathrm k\cdot\begin{pmatrix}1\\-4\\2\end{pmatrix}

    5. g:  x=(325)+k(210)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}-3\\2\\5\end{pmatrix}+\mathrm k\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}

    6. g:  x=(201)+k(101)\mathrm g:\;\overrightarrow{\mathrm x}=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}+\mathrm k\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}

  2. 2

    Ein Dreieck ABC ist gegeben durch die Punkte A(234), B(150), C(314)A\left(2\left|-3\right|-4\right),\ B\left(1\left|5\right|0\right),\ C\left(3\left|1\right|4\right).

    1. Bestimme den Umfang des Dreiecks.

    2. Handelt es sich um ein besonderes Dreieck (Mehrfachauswahl möglich)?

  3. 3

    Ein Wandergebiet ist von vielen Wanderwegen durchzogen. Legt man dieses Wandergebiet in ein Koordinatensystem, so kann man seine Zielposition mithilfe von Vektorketten berechnen.

    Du beginnst eine Wanderung an einem Parkplatz, der ausgehend vom Ursprung die Koordinaten P(120,5)P(1|-2|0{,}5) hat. Danach bewegst du dich 2,7 km entlang eines Weges, der durch den Vektor w1=(841)\vec{w_1} = \begin{pmatrix} 8\\4\\1\end{pmatrix} ausgedrückt wird, bevor du vorzeitig auf einen anderen Weg w2=(11102)\vec{w_2} = \begin{pmatrix} -11\\-10\\2\end{pmatrix} abbiegst und diesem 1,5 km folgst. Danach steigst du in eine Talbahn und fährst 1,8 km einen Weg entlang, der im Koordinatensystem durch w3=(184)\vec{w_3} = \begin{pmatrix} 1\\8\\-4\end{pmatrix} beschrieben wird, bevor du an einer Zwischenstation aussteigst.

    1. Bestimme die Koordinaten des Berggasthofes BB, bei dem du deine Wanderung beendest.

    2. Bei Wanderungen gibt man häufig an, wie viele Höhenmeter es nach oben (...m)(\nearrow ... m) beziehungsweise nach unten (...m)(\swarrow ... m) geht. Wie ist es bei dieser Wanderung?

      Wie würdest du die Schwierigkeit der Wanderung einschätzen?

    3. Stelle die durchlaufene Wanderung in einem geeigneten Koordinatensystem dar.

  4. 4

    Überlege und begründe, ob die vier Ebenen ein Volumen einschließen, und berechne dieses gegebenenfalls.

    1. E1:  114(123)[(x1x2x3)(123)]=0E_{1}:\;\dfrac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]=0

      E2:  114(132)[(x1x2x3)(456)]=0E_{2}:\;\dfrac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\right]=0

      E3:  1101(674)[(x1x2x3)(456)]=0E_{3}:\;\dfrac{1}{\sqrt{101}}\begin{pmatrix}6\\7\\4\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4\\5\\6\end{pmatrix}\right]=0

      E4:  114(132)[(x1x2x3)(102)]=0E_{4}:\;\dfrac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}\right]=0

    2. E1:  114(123)[(x1x2x3)(123)]=0E_{1}:\;\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}\right]=0