Gemischte Aufgaben
Hier findest du gemischte Übungsaufgaben zu Vektoren, Ebenen und vielem mehr. Schaffst du sie alle?
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Berechne die Spurpunkte der gegebenen Geraden.
g:x=323+k⋅11−2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte
Spurpunkt in der x1x2-Ebene
Der Geradengleichung g entnimmst du für x3 die Gleichung: x3=3−2k
Wird die x1x2-Ebene geschnitten, so muss x3 gleich Null sein: x3=0⇒
02kk===3−2k323∣+2k∣:2
Das berechnete k wird in die Geradengleichung g eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
g:x=323+23⋅11−2=4,53,50Antwort: Der Spurpunkt in der x1x2-Ebene hat die Koordinaten:
Sx1x2(4,5∣3,5∣0)Spurpunkt in der x1x3-Ebene
Der Geradengleichung g entnimmst du für x2 die Gleichung: x2=2+k
Wird die x1x3-Ebene geschnitten, so muss x2 gleich Null sein: x2=0⇒
0k==2+k−2∣−2
Das berechnete k wird in die Geradengleichung g eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
g:x=323+(−2)⋅11−2=107Antwort: Der Spurpunkt in der x1x3-Ebene hat die Koordinaten:
Sx1x3(1∣0∣7)Spurpunkt in der x2x3-Ebene
Der Geradengleichung g entnimmst du für x1 die Gleichung: x1=3+k
Wird die x2x3-Ebene geschnitten, so muss x1 gleich Null sein: x1=0⇒
0k==3+k−3∣−3
Das berechnete k wird in die Geradengleichung g eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
g:x=323+(−3)⋅11−2=0−19Antwort: Der Spurpunkt in der x2x3-Ebene hat die Koordinaten:
Sx2x3(0∣−1∣9)Hast du eine Frage oder Feedback?
Die Punkte, in denen die Gerade g die Koordinatenebenen schneidet, heißen Spurpunkte. Berechne also jeweils den Schnittpunkt der Geraden g mit einer der drei Koordinatenebenen.
g:x=1−10+k⋅231
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte
Spurpunkt in der x1x2-Ebene
Der Geradengleichung g entnimmst du für x3 die Gleichung: x3=0+k
Wird die x1x2-Ebene geschnitten, so muss x3 gleich Null sein: x3=0⇒
0k==0+k0
Das berechnete k wird in die Geradengleichung g eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
g:x=1−10+0⋅231=1−10Antwort: Der Spurpunkt in der x1x2-Ebene hat die Koordinaten:
Sx1x2(1∣−1∣0)Spurpunkt in der x1x3-Ebene
Der Geradengleichung g entnimmst du für x2 die Gleichung: x2=−1+3k
Wird die x1x3-Ebene geschnitten, so muss x2 gleich Null sein: x2=0⇒
01k===−1+3k3k31∣+1∣:3
Das berechnete k wird in die Geradengleichung g eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
g:x=1−10+31⋅231=35031Antwort: Der Spurpunkt in der x1x3-Ebene hat die Koordinaten:
Sx1x3(35∣0∣31)Spurpunkt in der x2x3-Ebene
Der Geradengleichung g entnimmst du für x1 die Gleichung: x1=1+2k
Wird die x2x3-Ebene geschnitten, so muss x1 gleich Null sein: x1=0⇒
0−1k===1+2k2k−21∣−1∣:2
Das berechnete k wird in die Geradengleichung g eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
g:x=1−10+(−21)⋅231=0−25−21Antwort: Der Spurpunkt in der x2x3-Ebene hat die Koordinaten:
Sx2x3(0∣−25∣−21)Hast du eine Frage oder Feedback?
Die Punkte, in denen die Gerade g die Koordinatenebenen schneidet, heißen Spurpunkte. Berechne also jeweils den Schnittpunkt der Geraden g mit einer der drei Koordinatenebenen.
g:x=−241+k⋅−2−13
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte
Spurpunkt in der x1x2-Ebene
Der Geradengleichung g entnimmst du für x3 die Gleichung: x3=1+3k
Wird die x1x2-Ebene geschnitten, so muss x3 gleich Null sein: x3=0⇒
0−3kk===1+3k1−31∣−3k∣:(−3)
Das berechnete k wird in die Geradengleichung g eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
g:x=−241+(−31)⋅−2−13=−343130Antwort: Der Spurpunkt in der x1x2-Ebene hat die Koordinaten:
Sx1x2(−34∣313∣0)Spurpunkt in der x1x3-Ebene
Der Geradengleichung g entnimmst du für x2 die Gleichung: x2=4−k
Wird die x1x3-Ebene geschnitten, so muss x2 gleich Null sein: x2=0⇒
0k==4−k4∣+k
Das berechnete k wird in die Geradengleichung g eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
g:x=−241+4⋅−2−13=−10013Antwort: Der Spurpunkt in der x1x3-Ebene hat die Koordinaten:
Sx1x3(−10∣0∣13)Spurpunkt in der x2x3-Ebene
Der Geradengleichung g entnimmst du für x1 die Gleichung: x1=−2−2k
Wird die x2x3-Ebene geschnitten, so muss x1 gleich Null sein: x1=0⇒
02kk===−2−2k−2−1∣+2k∣:2
Das berechnete k wird in die Geradengleichung g eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
g:x=−241+(−1)⋅−2−13=05−2Antwort: Der Spurpunkt in der x2x3-Ebene hat die Koordinaten:
Sx2x3(0∣5∣−2)Hast du eine Frage oder Feedback?
Die Punkte, in denen die Gerade g die Koordinatenebenen schneidet, heißen Spurpunkte. Berechne also jeweils den Schnittpunkt der Geraden g mit einer der drei Koordinatenebenen.
g:x=42−5+k⋅1−42
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte
Spurpunkt in der x1x2-Ebene
Der Geradengleichung g entnimmst du für x3 die Gleichung: x3=−5+2k
Wird die x1x2-Ebene geschnitten, so muss x3 gleich Null sein: x3=0⇒
0−2kk===−5+2k−525∣−2k∣:(−2)
Das berechnete k wird in die Geradengleichung g eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
g:x=42−5+25⋅1−42=6,5−80Antwort: Der Spurpunkt in der x1x2-Ebene hat die Koordinaten:
Sx1x2(6,5∣−8∣0)Spurpunkt in der x1x3-Ebene
Der Geradengleichung g entnimmst du für x2 die Gleichung: x2=2−4k
Wird die x1x3-Ebene geschnitten, so muss x2 gleich Null sein: x2=0⇒
04kk===2−4k221∣+4k∣:4
Das berechnete k wird in die Geradengleichung g eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
g:x=42−5+(21)⋅1−42=4,50−4Antwort: Der Spurpunkt in der x1x3-Ebene hat die Koordinaten:
Sx1x3(4,5∣0∣−4)Spurpunkt in der x2x3-Ebene
Der Geradengleichung g entnimmst du für x1 die Gleichung: x1=4+k
Wird die x2x3-Ebene geschnitten, so muss x1 gleich Null sein: x1=0⇒
0k==4+k−4∣−4
Das berechnete k wird in die Geradengleichung g eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
g:x=42−5+(−4)⋅1−42=018−13Antwort: Der Spurpunkt in der x2x3-Ebene hat die Koordinaten:
Sx2x3(0∣18∣−13)Hast du eine Frage oder Feedback?
Die Punkte, in denen die Gerade g die Koordinatenebenen schneidet, heißen Spurpunkte. Berechne also jeweils den Schnittpunkt der Geraden g mit einer der drei Koordinatenebenen.
g:x=−325+k⋅210
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte
Spurpunkt in der x1x2-Ebene
Der Geradengleichung g entnimmst du für x3 die Gleichung: x3=5+0k=5
Wird die x1x2-Ebene geschnitten, so muss x3 gleich Null sein: x3=0⇒
0=5
Das ist eine falsche Aussage.
Antwort: Es gibt keinen Schnittpunkt mit der x1x2-Ebene. Die Gerade verläuft parallel zur x1x2-Ebene.
Spurpunkt in der x1x3-Ebene
Der Geradengleichung g entnimmst du für x2 die Gleichung: x2=2+k
Wird die x1x3-Ebene geschnitten, so muss x2 gleich Null sein: x2=0⇒
0k==2+k−2∣−2
Das berechnete k wird in die Geradengleichung g eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
g:x=−325+(−2)⋅210=−705Antwort: Der Spurpunkt in der x1x3-Ebene hat die Koordinaten:
Sx1x3(−7∣0∣5)Spurpunkt in der x2x3-Ebene
Der Geradengleichung g entnimmst du für x1 die Gleichung: x1=−3+2k
Wird die x2x3-Ebene geschnitten, so muss x1 gleich Null sein: x1=0⇒
03k===−3+2k2k23∣+3∣:2
Das berechnete k wird in die Geradengleichung g eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
g:x=−325+23⋅210=03,55Antwort: Der Spurpunkt in der x2x3-Ebene hat die Koordinaten:
Sx2x3(0∣3,5∣5)Hast du eine Frage oder Feedback?
Die Punkte, in denen die Gerade g die Koordinatenebenen schneidet, heißen Spurpunkte. Berechne also jeweils den Schnittpunkt der Geraden g mit einer der drei Koordinatenebenen.
g:x=201+k⋅101
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Spurpunkte
Spurpunkt in der x1x2-Ebene
Der Geradengleichung g entnimmst du für x3 die Gleichung: x3=1+k
Wird die x1x2-Ebene geschnitten, so muss x3 gleich Null sein: x3=0⇒
0k==1+k−1∣−1
Das berechnete k wird in die Geradengleichung g eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
g:x=201+(−1)⋅101=100Antwort: Der Spurpunkt in der x1x2-Ebene hat die Koordinaten:
Sx1x2(1∣0∣0)Spurpunkt in der x1x3-Ebene
Der Geradengleichung g entnimmst du für x2 die Gleichung: x2=0+0k=0
Wird die x1x3-Ebene geschnitten, so muss x2 gleich Null sein: x2=0⇒
0=0
Das ist eine wahre Aussage. Es gibt unendliche viele Schnittpunkte mit der x1x3-Ebene .
Antwort: Die Gerade g verläuft ganz in der x1x3-Ebene.
Spurpunkt in der x2x3-Ebene
Der Geradengleichung g entnimmst du für x1 die Gleichung: x1=2+k
Wird die x2x3-Ebene geschnitten, so muss x1 gleich Null sein: x1=0⇒
0k==2+k−2∣−2
Das berechnete k wird in die Geradengleichung g eingesetzt und ergibt den Vektor zum Spurpunkt.
g:x=201+(−2)⋅101=00−1Antwort: Der Spurpunkt in der x2x3-Ebene hat die Koordinaten:
Sx2x3(0∣0∣−1)Hast du eine Frage oder Feedback?
Die Punkte, in denen die Gerade g die Koordinatenebenen schneidet, heißen Spurpunkte. Berechne also jeweils den Schnittpunkt der Geraden g mit einer der drei Koordinatenebenen.
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Ein Dreieck ABC ist gegeben durch die Punkte A(2∣−3∣−4), B(1∣5∣0), C(3∣1∣4).
Bestimme den Umfang des Dreiecks.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Abstand zweier Punkte berechnen
Länge der Strecken
Setze jeweils die Koordinaten der Punkte in den "dreidimensionalen Pythagoras" ein:
PR=(p1−r1)2+(p2−r2)2+(p3−r3)2
Strecke AB:
AB=(2−1)2+(−3−5)2+(−4−0)2LE=9LE
Strecke AC:
AC=(2−3)2+(−3−1)2+(−4−4)2LE=9LE
Strecke CB:
CB=(3−1)2+(1−5)2+(4−0)2LE=6LE
Umfang des Dreiecks
Addiere die Streckenlängen
U=AB+AC+CB=9LE+9LE+6LE=24LE
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Der Umfang enstspricht der Summe der Abstände der drei Punkte zueinander. (Alternativ kann man auch die Länge der Verbindungsvektoren bestimmen.)
Handelt es sich um ein besonderes Dreieck (Mehrfachauswahl möglich)?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: besondere Dreiecke
Das Dreieck ist gleichschenklig mit der Basis [BC], da die zwei Seiten [AB] und [AC] gleich lang sind.
Wäre das Dreieck gleichseitig, müsste auch die Strecke BC 9 LE lang sein.
Damit ein Dreieck rechtwinklig ist, muss der Umkehrsatz des Satz des Pythagoras gelten, also für die gegebenen Seitenlängen 6 LE, 9 LE und 9 LE die Beziehung a2+b2=c2 erfüllt sein, wobei c die eindeutig längste Seite ist. Da aber zwei Seiten 9 LE lang sind, kann das Dreieck diese Beziehung nicht erfüllen und ist folglich nicht rechtwinklig.
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Schau dir die Seitenlängen des Dreiecks an.
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Ein Wandergebiet ist von vielen Wanderwegen durchzogen. Legt man dieses Wandergebiet in ein Koordinatensystem, so kann man seine Zielposition mithilfe von Vektorketten berechnen.
Du beginnst eine Wanderung an einem Parkplatz, der ausgehend vom Ursprung die Koordinaten P(1∣−2∣0,5) hat. Danach bewegst du dich 2,7 km entlang eines Weges, der durch den Vektor w1=841 ausgedrückt wird, bevor du vorzeitig auf einen anderen Weg w2=−11−102 abbiegst und diesem 1,5 km folgst. Danach steigst du in eine Talbahn und fährst 1,8 km einen Weg entlang, der im Koordinatensystem durch w3=18−4 beschrieben wird, bevor du an einer Zwischenstation aussteigst.
Bestimme die Koordinaten des Berggasthofes B, bei dem du deine Wanderung beendest.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Länge von Vektoren anpassen
Der zu berechnende Term
Um zum Berggasthof zu gelangen, muss man vom Parkplatz aus die veränderten Vektoren, die den Wanderwegen entsprechen, abgehen.
Keine Angst, der Term wird in den nächsten Schritten nochmal Stück für Stück aufgeschlüsselt und erklärt.
B=P+∣w1∣2,7⋅w1+∣w2∣1,5⋅w2+∣w3∣1,8⋅w3
Länge der Wege berechnen
Um jeden Weg auf die gewünschte Länge k zu verkürzen, muss man ihn erst auf die Länge 1 verkürzen und dann wieder auf die Länge k strecken. Dafür berechnest du zuerst die Länge jedes Weges, also die Länge der Vektoren.
∣w1∣=82+42+12LE=9 LE
∣w2∣=(−11)2+(−10)2+22LE=15 LE
∣w3∣=12+82+(−4)2LE = 9 LE
Wege verkürzen
Den Quotienten aus gewünschter Länge k1,2,3 und aktueller Länge ∣w1,2,3∣ multiplizierst du jetzt bei einer skalaren Multiplikation mit dem jeweiligen Vektor w1,2,3. Zur Übersicht kannst du die berechneten Vektoren noch benennen. Hier benennen wir sie mit z1, z2,z3 für "zurückgelegter Weg".
z1=∣w1∣k1⋅w1= 92,7⋅841=0,3⋅841=2,41,20,3
z2=∣w2∣k2⋅w2=151,5⋅−11−102=0,1⋅−11−102=−1,1−10,2
z3=∣w3∣k3⋅w3=91,8⋅18−4=0,2⋅18−4=0,21,6−0,8
Vektorkette bilden
Nun kannst du die Vektoren in die Vektorkette oben einsetzen und die Koordinaten des Berggasthofes bestimmen.
B=P+∣w1∣2,7⋅w1+∣w2∣1,5⋅w2+∣w3∣1,8⋅w3
Setze zunächst an den zugehörigen Stellen die Vektoren z1,z2,z3 ein:
B=P+z1+z2+z3
Berechne nun den Wert des Terms, in dem du die Vektoren addierst:
B=1−20,5+2,41,20,3+−1,1−10,2+0,21,6−0,8=2,5−0,20,2
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Hier musst du einiges an Wissen verknüpfen:
Der Weg vom Parkplatz zum Gasthof ist eine Vektorkette und beginnt mit dem Ortsvektor des Parkplatzes.
Die Wege werden dabei nicht komplett durchlaufen, sondern es wird vorher abgebogen. Man muss die Vektoren also geeignet verkürzen.
Bei Wanderungen gibt man häufig an, wie viele Höhenmeter es nach oben (↗...m) beziehungsweise nach unten (↙...m) geht. Wie ist es bei dieser Wanderung?
Wie würdest du die Schwierigkeit der Wanderung einschätzen?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren
Mit dem Auto startet man auf einer Höhe von 500 m.
Die ersten beiden Wege führen bergauf, nämlich 0,2 km + 0,3 km, also insgesamt ↗500m
Der dritte Weg führt bergab, nämlich 0,8 km, allerdings werden diese nicht gelaufen (viel zu steil!) sondern mit einer Talbahn zurückgelegt. Man kann sich jetzt also streiten, ob man ↙0m oder ↙800m angibt.
Schwierigkeit der Route
Der Wanderweg hat recht große Steigungen und ist deshalb definitiv nichts für Anfänger, obwohl er nicht lang ist!
Im ersten Wegstück wird zum Beispiel auf 2,7 km Strecke 0,3 km Höhe gewonnen, was einer Steigung von durchgehend mehr als 10% entspricht.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Die x-3-Koordinate gibt an, wie viele Meter man nach oben bzw unten wandert.
Stelle die durchlaufene Wanderung in einem geeigneten Koordinatensystem dar.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Vektoren
Vom Punkt P aus wird zuerst der Vektor z1 aus Aufgabe a) angehängt und an dessen Spitze dann noch die beiden anderen. am Schluss markiert man den Punkt B.
Hast du eine Frage oder Feedback?
Da du in Teilaufgabe a) bereits die Vektoren berechnet hast, die du vom Punkt P aus durchläufst, musst du diese jetzt nur noch in ein Koordinatensystem malen.
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Überlege und begründe, ob die vier Ebenen ein Volumen einschließen, und berechne dieses gegebenenfalls.
E1:1411−23∘x1x2x3−123=0
E2:141132∘x1x2x3−456=0
E3:1011674∘x1x2x3−456=0
E4:141132∘x1x2x3−102=0
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Hessesche Normalenform
Hast du eine Frage oder Feedback?
Ebene 2 und Ebene 4 sind parallel zueinander. Man kann sich überlegen, dass man dann mindestens drei weitere Ebenen braucht, um ein Volumen einzuschließen.
Wenn wir ein Zimmer mit einer Decke und einem Boden haben (die parallel zueinander sind), braucht man ja auch mindestens 3 (ebene) Wände, um ein richtiges Zimmer zu haben.
E1:1411−23∘x1x2x3−123