Länge der Strecken

Setze jeweils die Koordinaten der Punkte in den "dreidimensionalen Pythagoras" ein:

$\overline{PR}=\sqrt{(p_1-r_1{)}^2+(p_2-r_2{)}^2+(p_3-r_3{)}^2}$

Strecke $\overline{AB}$:

$\overline{AB}=\sqrt{(2-1{)}^2+(-3-5{)}^2+(-4-0{)}^2}LE=9LE$

Strecke $\overline{AC}$:

$\overline{AC}=\sqrt{(2-3{)}^2+(-3-1{)}^2+(-4-4{)}^2}LE=9LE$

Strecke $\overline{CB}:$

$\overline{CB}=\sqrt{(3-1{)}^2+(1-5{)}^2+(4-0{)}^2}LE=6LE$

Umfang des Dreiecks

Addiere die Streckenlängen

$U=\overline{AB}+\overline{AC}+\overline{CB}=9LE+9LE+6LE=24LE$

Das Dreieck ist gleichschenklig mit der Basis $[BC]$, da die zwei Seiten $[AB]$ und $[AC]$ gleich lang sind.

Wäre das Dreieck gleichseitig, müsste auch die Strecke $\overline{BC}$ 9 LE lang sein.

Damit ein Dreieck rechtwinklig ist, muss der Umkehrsatz des Satz des Pythagoras gelten, also für die gegebenen Seitenlängen 6 LE, 9 LE und 9 LE die Beziehung $a^2+b^2=c^2$ erfüllt sein, wobei c die eindeutig längste Seite ist. Da aber zwei Seiten 9 LE lang sind, kann das Dreieck diese Beziehung nicht erfüllen und ist folglich nicht rechtwinklig.