Länge der Strecken

Setze jeweils die Koordinaten der Punkte in den "dreidimensionalen Pythagoras" ein:

$\overline{PR}=\sqrt{(p_1-r_1{)}^2+(p_2-r_2{)}^2+(p_3-r_3{)}^2}\backslash overline\{PR\}=\backslash sqrt\{(p\_1-r\_1)^2+(p\_2-r\_2)^2+(p\_3-r\_3)^2\}$

Strecke $\overline{AB}\backslash overline\{AB\}$:

$\overline{AB}=\sqrt{(2-1{)}^2+(-3-5{)}^2+(-4-0{)}^2}LE=9LE\backslash overline\{AB\}=\backslash sqrt\{(2-1)^2+(-3-5)^2+(-4-0)^2\}\; \backslash quad\; LE\; =\; 9\; LE$

Strecke $\overline{AC}\backslash overline\{AC\}$:

$\overline{AC}=\sqrt{(2-3{)}^2+(-3-1{)}^2+(-4-4{)}^2}LE=9LE\backslash overline\{AC\}=\backslash sqrt\{(2-3)^2+(-3-1)^2+(-4-4)^2\}\; \backslash quad\; LE\; =\; 9\; LE$

Strecke $\overline{CB}:\backslash overline\{CB\}:$

$\overline{CB}=\sqrt{(3-1{)}^2+(1-5{)}^2+(4-0{)}^2}LE=6LE\backslash overline\{CB\}=\backslash sqrt\{(3-1)^2+(1-5)^2+(4-0)^2\}\; \backslash quad\; LE\; =\; 6\; LE$

Umfang des Dreiecks

Addiere die Streckenlängen

$U=\overline{AB}+\overline{AC}+\overline{CB}=9LE+9LE+6LE=24LEU=\; \backslash overline\{AB\}+\; \backslash overline\{AC\}\; +\; \backslash overline\{CB\}\; =\; 9\; LE+9\; LE+6\; LE\; =\; 24\; LE$

Das Dreieck ist gleichschenklig mit der Basis $[BC][BC]$, da die zwei Seiten $[AB][AB]$ und $[AC][AC]$ gleich lang sind.

Wäre das Dreieck gleichseitig, müsste auch die Strecke $\overline{BC}\backslash overline\{BC\}$ 9 LE lang sein.

Damit ein Dreieck rechtwinklig ist, muss der Umkehrsatz des Satz des Pythagoras gelten, also für die gegebenen Seitenlängen 6 LE, 9 LE und 9 LE die Beziehung $a^2+b^2=c^{2}a^2+b^2=c^2$ erfüllt sein, wobei c die eindeutig längste Seite ist. Da aber zwei Seiten 9 LE lang sind, kann das Dreieck diese Beziehung nicht erfüllen und ist folglich nicht rechtwinklig.