Gemischte Aufgaben - lernen mit Serlo!

Gegeben sind die Punkte $A (6 ∣ 0 ∣ 3)$ , $B (6 ∣ 4 ∣ 0)$ und $C (0 ∣ 6 ∣ 1,5)$ .

Zeige, dass die drei Punkte $A$ , $B$ , und $C$ nicht auf einer Geraden liegen.

Bestimme eine Parametergleichung der Ebene, die durch die Punkte $A$ , $B$ , und $C$ verläuft.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parametergleichung einer Ebene
Ebenengleichung $E_{ABC}$ durch die Punkte $A$ , $B$ und $C$ :
$E_{ABC}:\vec{X}=\overrightarrow{A}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AC}$
Der Vektor $\overrightarrow{AB}$ wurde in Aufgabe a) berechnet:
$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}$
Berechne nun den Vektor $\overrightarrow{AC}$ :
$\overrightarrow{AC}=\vec C-\vec A=\begin{pmatrix}0\\6\\1{,}5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\0\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\6\\-1{,}5\end{pmatrix}$
Setze alle Vektoren in die Ebenengleichung ein:
$E_{ABC}:\vec{X}=\begin{pmatrix}6\\0\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}-6\\6\\-1{,}5\end{pmatrix}$
Das ist die gesuchte Parameterform der Ebene $E_{ABC}$ .
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Wandle die Parameterform der Ebene $E_{ABC}$ in eine Koordinatenform um.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Parameterform in Koordinatenform umwandeln

Um eine Ebene von der Parameterform in die entsprechende Koordinatenform umzuwandeln, muss man nacheinander folgende Umwandlungen vornehmen:

Parameterform in Normalenform
Normalenform in Koordinatenform

Schritt 1: Umwandlung in die Normalenform

$E: \;\left(\overrightarrow{X}-\overrightarrow{A}\right)\circ\vec n =0$

Berechne den Normalenvektor $\vec n$ als Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\vec n =\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-6\\6\\-1{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\cdot (-1{,}5)-(-3)\cdot 6\\(-3)\cdot (-6)-0\cdot (-1{,}5)\\0\cdot 6-4\cdot(-6)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\18\\24\end{pmatrix}$

Der Normalenvektor kann noch um den Faktor $6$ verkürzt werden.

$\;\Rightarrow\;\vec n=\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}$

Setze in die Normalenform ein:

$\displaystyle E: \;\left(\overrightarrow{X}-\overrightarrow{A}\right)\circ\vec n$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze die Vektoren $\vec A$ und $\vec n$ ein.
$\displaystyle E_{ABC}:\;\left(\overrightarrow{X}-\begin{pmatrix}6\\0\\3\end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$

Schritt 2: Umwandlung in die Koordinatenform

$E_{ABC}:\;\left(\overrightarrow{X}-\begin{pmatrix}6\\0\\3\end{pmatrix}\right)\circ\begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix} =0$

Berechne das Skalarprodukt:

$2 \cdot x_1+3\cdot x_2+4\cdot x_3-(6\cdot 2+0\cdot 3+3\cdot 4)=0$

$\;\Rightarrow\;E_{ABC}:\;2 \cdot x_1+3\cdot x_2+4\cdot x_3-24=0$

Antwort: Die Gleichung der Ebene $E_{ABC}$ in Koordinatenform lautet:

\displaystyle E_{ABC}:\;2 \cdot x_1+3\cdot x_2+4\cdot x_3-24=0

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Bestimme die Gleichung einer Geraden $h$ , die die Ebene $E_{ABC}$ senkrecht schneidet (Lotgerade).

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Geradengleichung
Ein Punkt der Ebene $E_{ABC}$ ist der Punkt $A$ . Ein zur Ebene senkrechter Vektor ist der Normalenvektor $\vec n$ .
Verwende für die Geradengleichung den Punkt $A$ als Aufpunkt und den Vektor $\vec n$ als Richtungsvektor.
Antwort: Die Gleichung einer Geraden $h$ , die die Ebene $E_{ABC}$ senkrecht schneidet, lautet:
$\displaystyle h:\;\vec X =\begin{pmatrix}6\\0\\3\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}2\\3\\4\end{pmatrix}$
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$\displaystyle \vec X$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}6\\0\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}$
	↓	Setze für $\vec X$ den Vektor $\vec C$ ein.
$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\6\\1{,}5\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}6\\0\\3\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}$	$\displaystyle -\begin{pmatrix}6\\0\\3\end{pmatrix}$
	↓	Löse nach $r$ auf.
$\displaystyle \begin{pmatrix}0\\6\\1{,}5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6\\0\\3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle r\cdot\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}$
	↓	Fasse die linke Seite zusammen.
$\displaystyle \begin{pmatrix}-6\\6\\-1{,}5\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle r\cdot\begin{pmatrix}0\\4\\-3\end{pmatrix}$