Geradengleichung $g_{AB}$ durch die Punkte $A$ und $B$:

$g_{AB}:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+r\cdot \overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}=\left(\begin{array}{c}6\\ 4\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -3\end{array}\right)$

Die erste Zeile der Vektorgleichung lautet:

$-6=r\cdot 0$

Diese Gleichung ist für kein r erfüllbar, d.h. das obige Gleichungssystem hat keine Lösung. Der Punkt $C$ liegt nicht auf der Geraden $g_{AB}$.

Antwort: Da $C$ nicht auf der Geraden $g_{AB}$ liegt, liegen die drei Punkte $A$, $B$, und $C$ nicht auf einer Geraden.

Ebenengleichung $E_{ABC}$ durch die Punkte $A$, $B$ und $C$:

$E_{ABC}:\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+r\cdot \overrightarrow{AB}+s\cdot \overrightarrow{AC}$

Der Vektor $\overrightarrow{AB}$ wurde in Aufgabe a) berechnet:

$\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -3\end{array}\right)$

Berechne nun den Vektor $\overrightarrow{AC}$:

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}=\left(\begin{array}{c}0\\ 6\\ \mathrm{1,5}\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -\mathrm{1,5}\end{array}\right)$

Setze alle Vektoren in die Ebenengleichung ein:

$E_{ABC}:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 3\end{array}\right)+r\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -3\end{array}\right)+s\cdot \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -\mathrm{1,5}\end{array}\right)$

Das ist die gesuchte Parameterform der Ebene $E_{ABC}$.

Um eine Ebene von der Parameterform in die entsprechende Koordinatenform umzuwandeln, muss man nacheinander folgende Umwandlungen vornehmen:

1. Parameterform in Normalenform

2. Normalenform in Koordinatenform

Schritt 1: Umwandlung in die Normalenform

$E:(\overrightarrow{X}-\overrightarrow{A})\circ \overrightarrow{n}=0$

Berechne den Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ als Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren:

$\overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}0\\ 4\\ -3\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -\mathrm{1,5}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\cdot (-\mathrm{1,5})-(-3)\cdot 6\\ (-3)\cdot (-6)-0\cdot (-\mathrm{1,5})\\ 0\cdot 6-4\cdot (-6)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}12\\ 18\\ 24\end{array}\right)$

Der Normalenvektor kann noch um den Faktor $6$ verkürzt werden.

$\Rightarrow \overrightarrow{n}=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\end{array}\right)$

Setze in die Normalenform ein:

Schritt 2: Umwandlung in die Koordinatenform

$E_{ABC}:(\overrightarrow{X}-\left(\begin{array}{c}6\\ 0\\ 3\end{array}\right))\circ \left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\end{array}\right)=0$

Berechne das Skalarprodukt:

$2\cdot x_1+3\cdot x_2+4\cdot x_3-(6\cdot 2+0\cdot 3+3\cdot 4)=0$

$\Rightarrow E_{ABC}:2\cdot x_1+3\cdot x_2+4\cdot x_3-24=0$

Antwort: Die Gleichung der Ebene $E_{ABC}$ in Koordinatenform lautet:

Ein Punkt der Ebene $E_{ABC}$ ist der Punkt $A$. Ein zur Ebene senkrechter Vektor ist der Normalenvektor $\overrightarrow{n}$.

Verwende für die Geradengleichung den Punkt $A$ als Aufpunkt und den Vektor $\overrightarrow{n}$ als Richtungsvektor.

Antwort: Die Gleichung einer Geraden $h$, die die Ebene $E_{ABC}$ senkrecht schneidet, lautet: