Hessesche Normalenform

Die Hessesche Normalenform ist eine spezielle Form einer Ebenengleichung.

Sie ist nach dem deutschen Mathematiker Ludwig Otto Hesse (1811-1874) benannt.

Mithilfe der Hesseschen Normalenform kann

der Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnet werden,
kann man eine Aussage über die Lage eines Punktes bzgl. einer Ebene erhalten.

Abbildung 1

Die Gleichung der Hesseschen Normalenform

MerkeHessesche Normalenform

Die Hessesche Normalenform ist eine spezielle Form der Normalenform.

Eine Ebenengleichung heißt dann Hessesche Normalenform, wenn ...

... der Normalenvektor normiert ist, d.h. $| {\vec{n}}_{0} | = 1$ mit ${\vec{n}}_{0} = \frac{\vec{n}}{| \vec{n} |}$
... die Richtung von ${\vec{n}}_{0}$ so gewählt ist, dass $\vec{P} \circ {\vec{n}}_{0} \geq 0$ ist. Dann zeigt ${\vec{n}}_{0}$ vom Koordinatenursprung in Richtung der Ebene (d.h. in den Halbraum, in dem $O$ nicht liegt). $\vec{P}$ ist der Ortsvektor eines Ebenenpunktes.

Dann ist die Hessesche Normalenform:

{\vec{n}}_{0} \circ (\vec{X} - \vec{P}) = 0

BeachteHessesche Normalenform im $ℝ^{2}$

Die Hessesche Normalenform kann auch für Geraden (im $ℝ^{2}$ ) erstellt werden.

In diesem Fall kann die Hessesche Normalenform zur Abstandberechnung eines Punktes von einer Geraden verwendet werden.

Wie erstellt man die Hessesche Normalenform?

Der Normalenvektor $\vec{n}$ muss normiert werden. Dazu wird der Vektor $\vec{n}$ durch seinen Betrag geteilt und man erhält den Normaleneinheitsvektor ${\vec{n}}_{0}$ $\Rightarrow {\vec{n}}_{0} = \frac{\vec{n}}{| \vec{n} |}$

Man prüft nun, ob $\vec{P} \circ {\vec{n}}_{0} \geq 0$ ist. Ist das nicht der Fall, muss die Richtung des Normaleneinheitsvektors umgedreht werden. Dazu multipliziert man den Normaleneinheitsvektor mit $(- 1)$ .

Dann ist die Hessesche Normalenform:

E_{HNF} : \frac{\vec{n}}{| \vec{n} |} \circ (\vec{X} - \vec{P}) = 0

oder

E_{HNF} : {\vec{n}}_{0} \circ (\vec{X} - \vec{P}) = 0

BeispielUmwandlung einer Ebene $E$ in die Hessesche Normalenform

Erstelle die Hessesche Normalenform der Ebene $E : (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array}) \circ [\vec{X} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})] = 0$

Lösung:

Lies aus der Ebenengleichung den Normalenvektor ab.

$\vec{n} = (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$

Berechne den Betrag des Normalenvektors.

$\| \vec{n} \|$	$=$	$\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}$
	↓	Berechne die Quadrate.
	$=$	$\sqrt{9}$
	↓	Berechne die Wurzel.
	$=$	$3$

Berechne den Normaleneinheitsvektor

${\vec{n}}_{0}$	$=$	$\frac{\vec{n}}{\| \vec{n} \|}$
	↓	Teile den Vektor $\vec{n}$ durch seinen Betrag $3$ .
${\vec{n}}_{0}$	$=$	$\frac{1}{3} \cdot (\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array})$
	↓	Multipliziere.
${\vec{n}}_{0}$	$=$	$(\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{array})$

Ersetze den Normalenvektor $\vec{n}$ in der Ebenengleichung $E$ durch den Normaleneinheitsvektor ${\vec{n}}_{0}$ .

E_{HNF} : (\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{array}) \circ [\vec{X} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})] = 0

Es muss noch die Richtung des Vektors ${\vec{n}}_{0}$ überprüft werden.

Dabei muss gelten: $\vec{P} \circ {\vec{n}}_{0} \geq 0$

$\vec{P} \circ {\vec{n}}_{0}$	$\geq$	$0$
	↓	Setze $\vec{P} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})$ und $\vec{n_{0}} = (\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{array})$ ein.
$(\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{array})$	$\geq$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$1 \cdot \frac{1}{3} + 0 \cdot \frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{2}{3}$	$\geq$	$0$
	↓	Fasse zusammen.
$\frac{1}{3} + \frac{6}{3}$	$\geq$	$0$
$\frac{7}{3}$	$\geq$	$0 ✓$

Damit hat der Normaleneinheitsvektor die für die Hessesche Normalenform passende Richtung.

Dann ist die Hessesche Normalenform:

E_{HNF} : (\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{array}) \circ [\vec{X} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})] = 0

Abstandsberechnungen

Abstand der Ebene $E$ vom Koordinatenursprung $O$

MerkeAbstand der Ebene $E$ vom Ursprung

Es wird vorausgesetzt, dass $\vec{P} \circ {\vec{n}}_{0} \geq 0$ ist, dann gilt für den Abstand $d$ der Ebene $E$ vom Koordinatenursprung $O$ die Formel:

d = \vec{P} \circ {\vec{n}}_{0}

BeispielAbstand der Ebene $E$ vom Ursprung

Gegeben ist die Hessesche Normalenform:

$E_{HNF} : (\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{array}) \circ [\vec{X} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})] = 0$

Welchen Abstand hat die Ebene vom Koordinatenursprung?

Lösung:

Man setzt in die Abstandsformel ein:

$d = \vec{P} \circ {\vec{n}}_{0}$

Das Produkt $\vec{P} \circ {\vec{n}}_{0}$ wurde im Beispiel "Umwandlung einer Ebene $E$ in die Hessesche Normalenform" bereits berechnet:

$\vec{P} \circ {\vec{n}}_{0} = \frac{7}{3}$

Damit ist $d = \frac{7}{3}$ .

Der Abstand der Ebene $E$ vom Koordinatenursprung beträgt $\frac{7}{3} LE$ .

Abstand eines Punktes von der Ebene $E$

Setzt man in den Term ${\vec{n}}_{0} \circ (\vec{X} - \vec{P})$ der Hesseschen Normalenform für den Vektor $\vec{X}$ den Ortsvektor eines Punktes $Q$ ein, so erhält man eine Zahl.

Der Betrag dieser Zahl ist der Abstand des Punktes $Q$ von der Ebene $E$ .

MerkeAbstandsberechnung für einen Punkt $Q$ von der Ebene $E$

Für den Abstand eines Punktes $Q$ von der Ebene $E$ gilt die Formel:

d (Q, E) = | {\vec{n}}_{0} \circ (\vec{Q} - \vec{P}) |

Ist $d (Q, E) = 0$ , dann liegt der Punkt $Q$ in der Ebene $E$ .

BeispielAbstandsberechnung für einen Punkt $Q$ von der Ebene $E$

Gegeben ist die Hessesche Normalenform $E_{HNF} : (\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{array}) \circ [\vec{X} - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})] = 0$ und ein Punkt $Q (2 | - 4 | 1)$ . Berechne den Abstand des Punktes $Q$ von der Ebene.

Lösung:

Man setzt in die Abstandsformel ein:

$d (Q, E)$	$=$	$\| {\vec{n}}_{0} \circ (\vec{Q} - \vec{P}) \|$
	↓	Setze ${\vec{n}}_{0} = (\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{array})$ , $\vec{Q} = (\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 1 \end{array})$ und $\vec{P} = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})$ ein.
$d (Q, E)$	$=$	$\| (\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{array}) \circ [(\begin{array}{c} 2 \\ - 4 \\ 1 \end{array}) - (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \end{array})] \|$
	↓	Berechne die Differenz.
	$=$	$\| (\begin{array}{c} \frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 1 \\ - 4 \\ - 2 \end{array}) \|$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
	$=$	$\| (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot (- 4) + \frac{2}{3} \cdot (- 2)) \|$
	$=$	$\| \frac{1}{3} - \frac{8}{3} - \frac{4}{3} \|$
	$=$	$\| - \frac{11}{3} \|$
	$=$	$\frac{11}{3}$

Der Abstand des Punktes $Q$ von der Ebene $E$ beträgt $\frac{11}{3} LE$ .

Lage eines Punktes $Q$ bezüglich einer Ebene $E$

Der Ortsvektor des gegebenen Punktes $Q$ wird in den Term ${\vec{n}}_{0} \circ (\vec{X} - \vec{P})$ der Hesseschen Normalenform für den Vektor $\vec{X}$ eingesetzt und man erhält eine Zahl.

Die Zahl ist positiv, dann liegt $Q$ in dem Halbraum, in dem $O$ nicht liegt (siehe Abbildung $2$ )
Die Zahl ist negativ, dann liegt $Q$ in dem Halbraum in dem $O$ liegt (siehe Abbildung $3$ )
Die Zahl ist null, dann liegt $Q$ in der Ebene $E$

BeispielLage eines Punktes $Q$ bezüglich einer Ebene $E$

Lösung:

Die im Beispiel "Abstandsberechnung für einen Punkt $Q$ von der Ebene $E$ " berechnete Zahl war $- \frac{11}{3}$ , d.h. negativ. Damit liegt $Q$ auf der gleichen Seite wie der Koordinatenursprung.

Graphische Darstellung

Abbildung 3: Q liegt auf der gleichen Seite wie der Koordinatenursprung

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Hessesche Normalenform

Die Gleichung der Hesseschen Normalenform

Wie erstellt man die Hessesche Normalenform?

Abstandsberechnungen

Abstand der Ebene E vom Koordinatenursprung O

Abstand eines Punktes von der Ebene E

Lage eines Punktes Q bezüglich einer Ebene E

Abstand der Ebene $E$ vom Koordinatenursprung $O$

Abstand eines Punktes von der Ebene $E$

Lage eines Punktes $Q$ bezüglich einer Ebene $E$