Hessesche Normalenform

Die Gleichung der Hesseschen Normalenform

Die Hessesche Normalenform ist eine spezielle Form der Normalenform.

Eine Ebenengleichung heißt dann Hessesche Normalenform, wenn ...

... der Normalenvektor normiert ist, d.h. $\left|\vec{n}_0\right|=1$ mit $\vec n_0=\dfrac{\vec n}{|\vec n|}$
... die Richtung von $\vec{n}_0$ so gewählt ist, dass $\vec{P}\circ\vec{n}_0\ge0$ ist. Dann zeigt $\vec{n}_0$ vom Koordinatenursprung in Richtung der Ebene (d.h. in den Halbraum, in dem $O$ nicht liegt). $\vec P$ ist der Ortsvektor eines Ebenenpunktes.

Dann ist die Hessesche Normalenform:

\displaystyle \vec{n}_0\circ\left(\vec{X}-\vec{P}\right)=0\;\;\;\;

BeachteHessesche Normalenform im $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$

Die Hessesche Normalenform kann auch für Geraden (im $\displaystyle \mathbb {R} ^{2}$ ) erstellt werden.

In diesem Fall kann die Hessesche Normalenform zur Abstandberechnung eines Punktes von einer Geraden verwendet werden.

Wie erstellt man die Hessesche Normalenform?

Der Normalenvektor $\vec n$ muss normiert werden. Dazu wird der Vektor $\vec n$ durch seinen Betrag geteilt und man erhält den Normaleneinheitsvektor $\vec{n}_0$ $\;\Rightarrow\;\vec{n}_0=\dfrac {\vec n}{\left|\vec n\right|}$

Man prüft nun, ob $\vec{P}\circ\vec{n}_0\ge0$ ist. Ist das nicht der Fall, muss die Richtung des Normaleneinheitsvektors umgedreht werden. Dazu multipliziert man den Normaleneinheitsvektor mit $(-1)$ .

Dann ist die Hessesche Normalenform:

\displaystyle \vec{n}_0\circ\left(\vec{X}-\vec{P}\right)=0\;\;\;\;

oder

\displaystyle \vec{n}_0\circ\left(\vec{X}-\vec{P}\right)=0\;\;\;\;

BeispielUmwandlung einer Ebene $E$ in die Hessesche Normalenform

Erstelle die Hessesche Normalenform der Ebene $E:\;\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{X}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\right]=0$

Lösung:

Lies aus der Ebenengleichung den Normalenvektor ab.

$\vec n=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$

Berechne den Betrag des Normalenvektors.

$\displaystyle \|\vec{n}\|$	$=$	$\displaystyle \sqrt{1^2+2^2+2^2}$
	↓	Berechne die Quadrate.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{9}$
	↓	Berechne die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle 3$

Berechne den Normaleneinheitsvektor

$\displaystyle \vec{n}_0$	$=$	$\displaystyle \dfrac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}$
	↓	Teile den Vektor $\vec n$ durch seinen Betrag $3$ .
$\displaystyle \vec{n}_0$	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}$
	↓	Multipliziere.
$\displaystyle \vec{n}_0$	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\[1ex]\frac{2}{3}\\[1ex]\frac{2}{3}\end{pmatrix}$

Ersetze den Normalenvektor $\vec n$ in der Ebenengleichung $E$ durch den Normaleneinheitsvektor $\vec{n}_0$ .

\displaystyle \vec{n}_0\circ\left(\vec{X}-\vec{P}\right)=0\;\;\;\;

Es muss noch die Richtung des Vektors $\vec{n}_0$ überprüft werden.

Dabei muss gelten: $\vec{P}\circ\vec{n}_0\ge0$

$\displaystyle \vec{P}\circ\vec{n}_0$	$≥$	$\displaystyle 0$
	↓	Setze $\vec P=\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}$ und $\vec{n_0} = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\[1ex]\frac{2}{3}\\[1ex]\frac{2}{3}\end{pmatrix}$ ein.
$\displaystyle \begin{pmatrix}1\\[1ex]0\\[1ex]3\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\[1ex]\frac{2}{3}\\[1ex]\frac{2}{3}\end{pmatrix}$	$≥$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle 1\cdot\dfrac{1}{3}+0\cdot\dfrac{2}{3}+3\cdot\dfrac{2}{3}$	$≥$	$\displaystyle 0$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle \dfrac{1}{3}+\dfrac{6}{3}$	$≥$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle \dfrac{7}{3}$	$≥$	$\displaystyle 0\;\checkmark$

Damit hat der Normaleneinheitsvektor die für die Hessesche Normalenform passende Richtung.

Dann ist die Hessesche Normalenform:

\displaystyle \vec{n}_0\circ\left(\vec{X}-\vec{P}\right)=0\;\;\;\;

\displaystyle \vec{n}_0\circ\left(\vec{X}-\vec{P}\right)=0\;\;\;\;

Abstandsberechnungen

Abstand der Ebene $E$ vom Koordinatenursprung $O$

MerkeAbstand der Ebene $E$ vom Ursprung

Es wird vorausgesetzt, dass $\vec{P}\circ\vec{n}_0\ge0$ ist, dann gilt für den Abstand $d$ der Ebene $E$ vom Koordinatenursprung $O$ die Formel:

\displaystyle \vec{n}_0\circ\left(\vec{X}-\vec{P}\right)=0\;\;\;\;

BeispielAbstand der Ebene $E$ vom Ursprung

Gegeben ist die Hessesche Normalenform:

$E_{\text{HNF}}:\;\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\[1ex]\frac{2}{3}\\[1ex]\frac{2}{3}\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{X}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\right]=0$

Welchen Abstand hat die Ebene vom Koordinatenursprung?

Lösung:

Man setzt in die Abstandsformel ein:

$d=\vec{P}\circ\vec{n}_0$

Das Produkt $\vec{P}\circ\vec{n}_0$ wurde im Beispiel "Umwandlung einer Ebene $E$ in die Hessesche Normalenform" bereits berechnet:

$\vec{P}\circ\vec{n}_0=\dfrac{7}{3}$

Damit ist $d=\dfrac{7}{3}$ .

Der Abstand der Ebene $E$ vom Koordinatenursprung beträgt $\dfrac{7}{3}\; \mathrm{LE}$ .

Abstand eines Punktes von der Ebene $E$

Setzt man in den Term $\vec{n}_0\circ\left(\overrightarrow{X}-\overrightarrow{P}\right)$ der Hesseschen Normalenform für den Vektor $\vec X$ den Ortsvektor eines Punktes $Q$ ein, so erhält man eine Zahl.

Der Betrag dieser Zahl ist der Abstand des Punktes $Q$ von der Ebene $E$ .

MerkeAbstandsberechnung für einen Punkt $Q$ von der Ebene $E$

Für den Abstand eines Punktes $Q$ von der Ebene $E$ gilt die Formel:

\displaystyle \vec{n}_0\circ\left(\vec{X}-\vec{P}\right)=0\;\;\;\;

Ist $d(Q,E)=0$ , dann liegt der Punkt $Q$ in der Ebene $E$ .

BeispielAbstandsberechnung für einen Punkt $Q$ von der Ebene $E$

Gegeben ist die Hessesche Normalenform $E_{\text{HNF}}:\;\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\[1ex]\frac{2}{3}\\[1ex]\frac{2}{3}\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{X}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\right]=0$ und ein Punkt $Q(2|-4|1)$ . Berechne den Abstand des Punktes $Q$ von der Ebene.

Lösung:

Man setzt in die Abstandsformel ein:

$\displaystyle d(Q,E)$	$=$	$\displaystyle \left\|\vec{n}_0\circ\left(\overrightarrow{Q}-\overrightarrow{P}\right)\right\|$
	↓	Setze $\vec n_0=\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\[1ex]\frac{2}{3}\\[1ex]\frac{2}{3}\end{pmatrix}$ , $\vec Q= \begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}$ und $\vec P= \begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}$ ein.
$\displaystyle d(Q,E)$	$=$	$\displaystyle \left\|\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\[1ex]\frac{2}{3}\\[1ex]\frac{2}{3}\end{pmatrix}\circ\left[\begin{pmatrix}2\\-4\\1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\right]\right\|$
	↓	Berechne die Differenz.
	$=$	$\displaystyle \left\|\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\[1ex]\frac{2}{3}\\[1ex]\frac{2}{3}\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\-4\\-2\end{pmatrix}\right\|$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
	$=$	$\displaystyle \left\|\left(\dfrac{1}{3}\cdot 1+\dfrac{2}{3}\cdot(-4)+\dfrac{2}{3}\cdot(-2)\right)\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|\dfrac{1}{3}-\dfrac{8}{3}-\dfrac{4}{3}\right\|$
	$=$	$\displaystyle \left\|-\dfrac{11}{3}\right\|$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{11}{3}$

Der Abstand des Punktes $Q$ von der Ebene $E$ beträgt $\dfrac{11}{3}\; \mathrm{LE}$ .

Lage eines Punktes $Q$ bezüglich einer Ebene $E$

Der Ortsvektor des gegebenen Punktes $Q$ wird in den Term $\vec{n}_0\circ \left(\overrightarrow{X}-\overrightarrow{P}\right)$ der Hesseschen Normalenform für den Vektor $\vec X$ eingesetzt und man erhält eine Zahl.

Die Zahl ist positiv, dann liegt $Q$ in dem Halbraum, in dem $O$ nicht liegt (siehe Abbildung $2$ )
Die Zahl ist negativ, dann liegt $Q$ in dem Halbraum in dem $O$ liegt (siehe Abbildung $3$ )
Die Zahl ist null, dann liegt $Q$ in der Ebene $E$

BeispielLage eines Punktes $Q$ bezüglich einer Ebene $E$

Gegeben ist die Hessesche Normalenform $E_{\text{HNF}}:\;\begin{pmatrix}\frac{1}{3}\\[1ex]\frac{2}{3}\\[1ex]\frac{2}{3}\end{pmatrix}\circ\left[\overrightarrow{X}-\begin{pmatrix}1\\0\\3\end{pmatrix}\right]=0$ und ein Punkt $Q(2|-4|1)$ . Welche Lage hat $Q$ bezüglich der Ebene $E$ ?

Lösung:

Die im Beispiel "Abstandsberechnung für einen Punkt $Q$ von der Ebene $E$ " berechnete Zahl war $-\dfrac{11}{3}$ , d.h. negativ. Damit liegt $Q$ auf der gleichen Seite wie der Koordinatenursprung.

Graphische Darstellung

Abbildung 3: Q liegt auf der gleichen Seite wie der Koordinatenursprung

Die Gleichung der Hesseschen Normalenform

Wie erstellt man die Hessesche Normalenform?

Abstandsberechnungen

Abstand der Ebene EEE vom Koordinatenursprung OOO

Abstand eines Punktes von der Ebene EEE

Lage eines Punktes QQQ bezüglich einer Ebene EEE

Abstand der Ebene $E$ vom Koordinatenursprung $O$

Abstand eines Punktes von der Ebene $E$

Lage eines Punktes $Q$ bezüglich einer Ebene $E$