Volumenberechnung in der analytischen Geometrie

Das Volumen geometrischer Objekte wird mit Methoden der analytischen Geometrie ausgerechnet.

Volumen eines Parallelotops (Spat, Parallelflach)

Das Volumen eines Parallelotops, das mit Punkten $A, B, C,$ aufgespannt wird, berechnet sich nach folgender Formel aus der Determinante (oder des Spatprodukts) der drei aufspannenden Vektoren.

$\text{Volumen} V =\left|\det(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})\right|$

Das Volumen eines Parallelotops wird berechnet, indem man einen beliebigen Eckpunkt wählt und alle 3 von dort ausgehenden Richtungsvektoren

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}{ u}_1\\{ u}_2\\{ u}_3\end{pmatrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\overrightarrow{{AC}}=\begin{pmatrix}{ v}_1\\{ v}_2\\{ v}_3\end{pmatrix}\;\;\;\;\;\;\;\overrightarrow{{AD}}=\begin{pmatrix}{ w}_1\\{ w}_2\\{ w}_3\end{pmatrix}\end{array}

berechnet.

Der Betrag der Determinante aus den 3 Richtungsvektoren ist das Volumen.

$V=\left|\det(\vec{AB},\vec{AC},\vec{AD})\right| = \left|\det \begin{pmatrix}u_1 & v_1 & w_1\\u_2 & v_2 & w_2\\u_3 & v_3 & w_3\end{pmatrix}\right|$

Die Reihenfolge der Vektoren spielt keine Rolle wenn man das Ganze in den Betrag schreibt. Hier kannst du alle Rechenregeln für Determinanten finden.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7557_b9w0lSWBLU.xml

Beispiele

Berechne das Volumen des Parallelotops, welches

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Volumen eines Prismas (mit einem Dreieck als Grundfläche)

Das Volumen eines Prismas mit einem Dreieck als Grundfläche ist das halbe Volumen eines Parallelotops.

Also ist das Volumen

\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\overrightarrow{{AB}}=\begin{pmatrix}{ u}_1\\{ u}_2\\{ u}_3\end{pmatrix}\;\;\;\;\;\;\;\;\overrightarrow{{AC}}=\begin{pmatrix}{ v}_1\\{ v}_2\\{ v}_3\end{pmatrix}\;\;\;\;\;\;\;\overrightarrow{{AD}}=\begin{pmatrix}{ w}_1\\{ w}_2\\{ w}_3\end{pmatrix}\end{array}

Bei allgemeinen Prismen kann man die Grundfläche immer in Dreiecke zerlegen und man kann das Volumen der einzelnen Prismen mit Dreiecken als Grundseite berechnen.

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7643_LmYDZngcO1.xml

Volumen einer Pyramide (Parallelogramm als Grundfläche)

Das Volumen einer Pyramide lässt sich berechnen als

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l} V=\frac{1}{3}\left|\overset{\rightarrow}{{AB}}\circ\left(\overset{\rightarrow}{{AC}}\times\overset{\rightarrow}{{AD}}\right)\right|=\frac{1}{3}\left|{\det}\left(\overset{\rightarrow}{{AB}},\overset{\rightarrow}{{AC}},\;\overset{\rightarrow}{{AD}}\right)\right|\end{array}$

Geogebra File: https://assets.serlo.org/legacy/7645_kCbH1L7tpy.xml

Beispiele

Berechne das Volumen der Pyramide, welche

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Volumen eines Tetraeders

Ein Tetraeder ist eine Pyramide , die als Grundseite ein Dreieck hat. Ein Tetraeder wird durch vier Punkte eindeutig bestimmt.

Seien $A, B, C, D$ diese Punkte, dann ist das Volumen $V$ :

$V=\frac{1}{6}\left|\overset{\rightarrow}{AB}\circ\left(\overset{\rightarrow}{ A C}\times\overset{\rightarrow}{ A D}\right)\right|=\frac{1}{6}\left| \det\left(\overset{\rightarrow}{ A B},\;\overset{\rightarrow}{ A C},\;\overset{\rightarrow}{ A D}\right)\right|$

Die Formel für das Volumen eines Tetraeders sieht der Volumenformel einer Pyramide sehr ähnlich.

Der Skalierungsfaktor $\frac{1}{6}$ (statt $\frac{1}{3}$ wie bei der Pyramide) kommt daher, dass die Grundfläche hier ein Dreieck und kein Parallelogramm ist.

Das Volumen des Tetraeders ist also $\frac{1}{2}$ mal so groß, wie das der Pyramide.

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Beispiele

Berechne das Volumen des Tetraeders, welches

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