Berechnung des zur Parabel gehörenden Funktionsterms

Gegeben ist der Scheitel $\mathrm S\left(-2\;\left|\;-3\right.\right)$ der Parabel. Benutze die Scheitelpunktsform.

$g(x)=a\cdot(x+2)^2-3$

Setze den aus der Abbildung abgelesenen Schnittpunkt mit der y-Achse $S_y(0|-1)$ ein.

$g(0)=-1$

$\Rightarrow\;g(0)=a\cdot(0+2)^2-3=4a-3=-1\;\Rightarrow\;4a=2\;\Rightarrow\;a=\frac{1}{2}$

$g(x)=\frac{1}{2}\cdot(x+2)^2-3=\frac{1}{2}\cdot(x^2+4x+4)-3=\frac{1}{2}\cdot x^2+2x-1$

Antwort: Die Parabel hat die Funktionsgleichung $g(x)=\frac{1}{2}\cdot x^2+2x-1$

Berechnung aller Schnittpunkte

Setze $f(x)=g(x)$.

Du hast eine Gleichung $3.$ Grades erhalten. Die Lösung erfolgt durch Polynomdivision.

Eine Lösung ist leicht zu finden (probieren):

Setze $x=1$ in die Gleichung ein$\;\Rightarrow\;1^3- 1^2-4\cdot1+4=0\;\checkmark$

Teile nun $(x^3- x^2-4x+4)$ durch den Linearfaktor $(x-1)$:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\;(x^3- x^2-4x+4):(x-1)=x^2-4\\-\underline{(x^3-x^2)}\\\;\;\;\;0\;+\;0-4x+4\\\phantom{(x^3}\;\;\;\;\;-\underline{(-4x+4)}\\\phantom{(x^3-x^2-4}0\;+\;0\end{array}$

Die verbleibende Gleichung $x^2-4=0$ hat die beiden Lösungen $x_{2{,}3}=\pm2$.

Berechne die Funktionswerte:

$f(1)=1+\frac{1}{2}\cdot 1^3=1{,}5$

$f(-2)=-3$ (siehe gegebenen Scheitelpunkt)

$f(2)=1+\frac{1}{2}\cdot 2^3=5$

Antwort: Die drei Schnittpunktskoordinaten lauten: $S_1(1|1{,}5); S_2(-2|-3); S_3(2|5)$

Wie kannst du $A$ als bestimmtes Integral schreiben?

Da drei Schnittpunkte existieren, gibt es zwei Flächen, die die beiden Graphen einschließen. (In der obigen Abbildung ist die zweite Fläche nicht sehr deutlich erkennbar.)

$A=A_1+A_2=\int_{-2}^1\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm{d}x+\int_{1}^2\left(g(x)-f(x)\right)\mathrm{d}x$

Berechnung von $A_1$

Die $2.$ Zeile bei der Schnittpunktsberechnung ergibt:

$f(x)-g(x)=\frac{1}{2}\cdot x^3-\frac{1}{2}\cdot x^2-2x+2$

$A_1=\int_{-2}^1\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm{d}x$

Setze $f(x)-g(x)$ ein:

$A=\int_{-2}^1\left(\frac{1}{2}\cdot x^3-\frac{1}{2}\cdot x^2-2x+2\right)\mathrm{d}x=\left[\frac{1}{8}\cdot x^4-\frac{1}{6}\cdot x^3- x^2+2x\right]_{-2}^{1}$

$=\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{6}-1+2\right)-\left(\frac{1}{8}\cdot (-2)^4-\frac{1}{6}\cdot(-2)^3-(-2)^2+2\cdot(-2)\right)$

$=(-\frac{1}{24}+1)-(2+\frac{8}{6}-4-4)=-\frac{1}{24}+1-2-\frac{8}{6}+8=-\frac{8}{6}-\frac{1}{24}+7=7-\frac{33}{24}=\frac{45}{8}$

Berechnung von $A_2$

$A_2=\int_{1}^2\left(g(x)-f(x)\right)\mathrm{d}x$

$g(x)-f(x)=-(f(x)-g(x)=-(\frac{1}{2}\cdot x^3-\frac{1}{2}\cdot x^2-2x+2)=-\frac{1}{2}\cdot x^3+\frac{1}{2}\cdot x^2+2x-2$

Setze $g(x)-f(x)$ ein:

$A_2=\int_{1}^2\left(-\frac{1}{2}\cdot x^3+\frac{1}{2}\cdot x^2+2x-2\right)\mathrm{d}x=\left[-\frac{1}{8}\cdot x^4+\frac{1}{6}\cdot x^3+ x^2-2x\right]_{1}^{2}$

$=\left(-2+\frac{8}{6}+4-4\right)-\left(-\frac{1}{8}+\frac{1}{6}+1-2\right)$

$=(-2+\frac{8}{6})-(-\frac{1}{8}+\frac{1}{6}-1)=-2+\frac{8}{6}+\frac{1}{8}-\frac{1}{6}+1=-1+\frac{7}{6}+\frac{1}{8}=\frac{-24+28+3}{24}=\frac{7}{24}$

$A=A_1+A_2=\frac{45}{8}+\frac{7}{24}=\frac{71}{12}\approx5{,}92$

Antwort: Die beiden Graphen schließen eine Fläche mit dem Inhalt $A=\frac{71}{12}\approx5{,}92\; \mathrm{FE}$ ein.

Zur Veranschaulichung eine Abbildung, in der die beiden Flächen deutlich erkennbar sind.