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Aufgaben zu FlΓ€chenberechnung mit Integralen

Mit diesen gemischten Übungsaufgaben lernst du das Bestimmen von FlÀcheninhalten mit Integralen. Schaffst du sie alle?

  1. 1

    Sei die Funktion f:x↦(x+1)3βˆ’1f: x\mapsto (x+1)^3-1 gegeben. Bestimme die FlΓ€che, die von ff und ihrer Umkehrfunktion fβˆ’1f^{-1} eingeschlossen wird.

  2. 2
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    Die beiden abgebildeten Graphen schneiden sich in drei Punkten, die jeweils ganzzahlige Koordinaten besitzen.

    Β Β Β Β 

    Zum "roten Graphen" gehΓΆrt eine Funktion dritten Grades mit dem Hochpunkt HOP=(0β€…β€Šβˆ£β€…β€Š1)\mathrm{HOP=}\left(\left.0\;\right|\;1\right) und dem Tiefpunkt TIP=(2β€…β€Šβˆ£β€…β€Šβˆ’3)\mathrm{TIP=}\left(\left.2\;\right|\;-3\right) .

    Bestimme die jeweiligen Funktionsterme und die Schnittpunkte der Graphen.

    Β Β Β 

    Wie kannst du den gesamten Inhalt A der von den beiden Graphen eingeschlossenen FlΓ€che mit bestimmten Integralen angeben?

    Berechne nun A.

  3. 3
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    Die Parabel mit dem Scheitel S=(βˆ’2β€…β€Šβˆ£β€…β€Šβˆ’3)\mathrm S=\left(-2\;\left|\;-3\right.\right) und der Graph der Funktion f mit f(x)=1+0,5β‹…x3\mathrm f(\mathrm x)=1+0{,}5\cdot\mathrm x^3 schließen eine FlΓ€che mit dem Inhalt A ein.

    Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β 

    Bestimme den zur Parabel gehΓΆrenden Funktionsterm und alle Schnittpunkte.

    Wie kannst du A als bestimmtes Integral schreiben? Berechne nun A.

  4. 4
    Gerade g und Parabel f im Koordinatensystem

    Die abgebildete Parabel ff und Gerade gg schließen eine FlÀche mit dem Inhalt AA ein.

    Schraffiere diese FlΓ€che.

    Β Β Β 

    Bestimme die Funktionsterme von ff und gg und die beiden Schnittpunkte S1{\mathrm S}_1 und S2{\mathrm S}_2 der Graphen.

    Gib AA als bestimmtes Integral an und berechne dann AA.

  5. 5
    Graphen von f und g im Koordinatensystem

    Die Graphen der Funktionen f(x)=2βˆ’x2\mathrm f(\mathrm x)=2-\mathrm x^2 und g(x)=0,5x2+0,5\mathrm g(\mathrm x)=0{,}5\mathrm x^2+0{,}5 schließen eine FlΓ€che mit dem Inhalt A ein.

    Β Β Β Β Β Β 

    Β Β 

    Schraffiere diese FlΓ€che und berechne A.

  6. 6
    Graphen von f und g im Koordinatensystem

    Das Bild zeigt die Graphen der beiden Funktionen f(x)=0,5x2+2\mathrm f(\mathrm x)=0{,}5\mathrm x^2+2 Β  und g(x)=βˆ’0,5x+1\mathrm g(\mathrm x)=-0{,}5\mathrm x+1 .

    Man erkennt: f(x)>g(x)\mathrm f(\mathrm x)>\mathrm g(\mathrm x) für alle x∈R\mathrm x\in\mathbb{R} .

    Berechne den Inhalt A der FlΓ€che zwischen den beiden Graphen und den Grenzen x1=βˆ’1{\mathrm x}_1=-1 und x2=1,5{\mathrm x}_2=1{,}5 .

    Zeichne diese FlΓ€che ein.

  7. 7

    f(x)=19x4βˆ’89x3+2x2,Df=Rf(x)=\frac19x^4-\frac89x^3+2x^2,D_f=\mathbb{R}

    Berechne den Inhalt des FlÀchenstücks, das GfG_f und die x-Achse einschließen.

  8. 8

    ft(x)=βˆ’19(tβˆ’3)x2+t,Dft=R,β€…β€Št∈Rf_t(x)=-\frac19(t-3)x^2+t,D_{f_t}=\mathbb{R},\;t\in\mathbb{R}

    Berechne den Inhalt der FlΓ€che, die zwischen der x-Achse und GftG_{f_t} liegt.