Aufgaben zu Flächenberechnung mit Integralen
Mit diesen gemischten Übungsaufgaben lernst du das Bestimmen von Flächeninhalten mit Integralen. Schaffst du sie alle?
- 1
Sei die Funktion f:x↦(x+1)3−1 gegeben. Bestimme die Fläche, die von f und ihrer Umkehrfunktion f−1 eingeschlossen wird.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion
Lösung 1
Bestimme jetzt die Umkehrfunktion
Bei der Bestimmung der Umkehrfunktion von f wirst du die Umkehrung der dritten Potenz brauchen. Daher gibt es schon mal eine Berechnung dazu.
Damit kennst du die Umkehrung der dritten Potenz: ist f(x)=x3, so ist
f−1(x)=3x=x1/3 für x≥0 und
f−1(x)=−3−x=−(−x)1/3 für x<0.
Berechnung der Umkehrfunktion von f
Unterscheide die Fälle x+1≥0⇔x≥−1 und x<−1.
Für x≥−1 hast du
y = (x+1)3−1 +1 y+1 = (x+1)3 3 3y+1 = x+1 −1 3y+1−1 = x f−1(x) = 3x+1−1 = (x+1)1/3−1 Für x<−1 ist entsprechend
y = (x+1)3−1 +1 y+1 = (x+1)3 ↓ Umkehren wie oben
−3−(y+1) = x+1 −1 −3−(y+1)−1 = x f−1(x) = −3−(x+1)−1 = −(−(x+1))1/3−1 Flächenberechnung
Bestimme die Schnittpunkte. Weil (3x+1)3=(−3−(x+1))3=x+1 ist, reicht eine Rechnung ab der dritten Zeile:
(x+1)3−1 = 3x+1−1 +1 (x+1)3 = 3x+1 3 ↓ Sei x=−1.
(x+1)9 = x+1 :(x+1) (x+1)8 = 1 8 x+1 = ±1 −1 x1 = 0 x2 = −2 ↓ Betrachte den Fall x=−1.
(−1+1)3−1 = 3−1+1−1 x3 = −1 Berechne jetzt die Fläche A zwischen den Graphen von Schnittpunkt zu Schnittpunkt zunächst für x≥−1. Für −1≤x≤0 ist f(x)≤f−1(x).
A1 = ∫−10f(x)−f−1(x)dx = ∫−10(3x+1−1−(x+1)3+1)dx = ∫−10((x+1)1/3−(x+1)3)dx = [1+311(x+1)31+1−41(x+1)4]−10 = 43(0+1)4/3−41(0+1)4−43(−1+1)4/3+41(−1+1)4 = 43−41 = 21 Im Bereich −2≤x≤−1 ist f−1(x)≤f(x). Wie du sofort durch Ableiten bestätigst, ist 43(−(x−1))4/3 eine Stammfunktion zu f−1(x).
A2 = ∫−2−1f(x)−f−1(x)dx = ∫−2−1(x+1)3−1−(−3−(x+1)−1)dx = ∫−2−1((x+1)3+(−(x+1))1/3)dx = [41(x+1)4−43(−(x+1))4/3]−2−1 = 41(−1+1)4−43(−1+1)4/3−41(−2+1)4+43(−2+1)4/3 = −41+43 = 21 Die Gesamtfläche A ist also A=A1+A2=21+21=1.
In der Skizze erkennt man den Verlauf der Graphen von f und f−1.
Lösung 2
Die Graphen von Funktion und Umkehrfunktion gehen durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden auseinander hervor. Daher müssen ihre Schnittpunkte auf der Winkelhalbierenden y=x liegen und können durch den Schnitt des Graphen von f mit der Geraden y=x berechnet werden. Da die Graphen von f und f−1 die Winkelhalbierende als Symmetrieachse besitzen, ist die Fläche zwischen Ihnen genau doppelt so groß wie die Fläche zwischen dem Graphen von f und der Winkelhalbierenden.
Berechnung der Schnittpunkte
f(x) = x ↓ Ausmultiplizieren
x3+3x2+3x+1−1 = x −x ↓ Ordnen
x3+3x2+2x = 0 ↓ x ausklammern
x(x2+3x+2) = 0 ↓ p-q-Formel oder raten
x(x+1)(x+2) = 0 Die Schnittpunkte sind also (−2;−2), (−1;−1) und (0;0).
Flächenberechnung
Die Berechnung der Fläche wird wieder in zwei Schritten vorgenommen.
A1 ↓ wegen der Symmetrie wird das Integral verdoppelt
= 2∫−2−1((x+1)3−1−x)dx = 2[41(x+1)4−x−21x2]−2−1 = 241(−1+1)4−(−1)−21(−1)2−41(−2+1)4+(−2)+21(−2)2 = 21−21−41−2+2 = 2⋅41 = 21 A2 ↓ wie oben
= 2∫−10((x+1)3−1−x)dx = 2[41(x+1)4−x−21x2]−10 = 241(0+1)4−0−2102−41(−1+1)4−1+21(−1)2 = 241−1+21 = 2−41 = 21 Die Gesamtfläche ist wieder A=A1+A2=1.
Lösung 3
Die Funktion f geht aus g(x)=x3 dadurch hervor, dass der Graph um je eine Einheit in x- und y-Richtung verschoben wird. Dieselbe Verschiebung ändert die Winkelhalbierende nicht. Daher ist die Fläche A genauso groß wie die zwischen dem Graphen von g und Ihrer Umkehrfunktion.
Dieselbe Überlegung wie bei Lösung 2 zeigt, dass die Fläche A doppelt so groß ist wie die Fläche zwischen dem Graphen von g und der Winkelhalbierenden.
g ist außerdem punktsymmetrisch zum Ursprung, daher ist die Gesamtfläche viermal so groß wie die Fläche zwischen g und y=x im ersten Quadranten.
Die Schnittpunkte sind (0;0) und (1;1).
Der Flächeninhalt unter der Winkelhalbierenden ist 21.
Der Flächeninhalt unter dem Graphen von g ist ∫01x3dx=41x401=41.
Die Fläche dazwischen hat den Inhalt 41, und weil das ein Viertel der Gesamtfläche ist, ist A=4⋅41=1.
Hier findet man drei Lösungswege dieser Aufgabe: zunächst relativ stur durchgerechnet, dann einfacher unter Ausnutzung von Symmetrien und dann noch einfacher unter Ausnutzung von noch mehr Symmetrien.
- 2
Die beiden abgebildeten Graphen schneiden sich in drei Punkten, die jeweils ganzzahlige Koordinaten besitzen.
Zum "roten Graphen" gehört eine Funktion dritten Grades mit dem Hochpunkt HOP=(0∣1) und dem Tiefpunkt TIP=(2∣−3) .
Bestimme die jeweiligen Funktionsterme und die Schnittpunkte der Graphen.
Wie kannst du den gesamten Inhalt A der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?
Berechne nun A.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steckbriefaufgabe
Funktionsterme bestimmen
Zum "roten Graphen" gehört eine Funktion dritten Grades f(x) mit dem Hochpunkt HP(0∣1) (hier ist f′(x)=0) und dem Tiefpunkt TP(2∣−3) (hier ist f′(x)=0). Trage diese Informationen in eine Tabelle ein.
x
f(x)
f'(x)
(I)
0
1
(II)
0
0
(III)
2
-3
(IV)
2
0
Die allgemeine Funktion 3. Grades lautet:
f(x)=ax3+bx2+cx+d und die erste Ableitung ist dann:
f′(x)=3ax2+2bx+c
Nach der Tabelle ergibt die Gleichung (I):
1=a⋅0+b⋅0+c⋅0+d⇒d=1
Gleichung (II) ergibt: 0=3a⋅0+2b⋅0+c⇒c=0
Gleichung (III) ergibt unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse:
−3=a⋅23+b⋅22+0⋅2+1⇒−3=8a+4b+1⇒−4=8a+4b⇒−1=2a+b⇒b=−1−2a
Gleichung (IV) ergibt unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse:
0=3a⋅22+2b⋅2+0⇒0=12a+4b⇒0=3a+b
Das Ergebnis aus Gleichung (III) b=−1−2a in (IV) 0=3a+b eingesetzt ergibt:
0=3a+(−1−2a)=3a−1−2a=a−1⇒a=1
Mit a=1 folgt in (III): b=−1−2⋅1=−3
Antwort: Die Funktion 3. Grades lautet: f(x)=x3−3x2+1
Zum "blauen Graphen" gehört eine lineare Funktion g(x). Aus der Abbildung kannst du die Steigung m=1 und den y-Achsenabschnitt t=−2 ablesen: ⇒g(x)=x−2
Antwort: Die Gleichung der linearen Funktion lautet: g(x)=x−2
Bestimmung der Schnittpunkte der beiden Graphen
"Die beiden abgebildeten Graphen schneiden sich in drei Punkten, die jeweils ganzzahlige Koordinaten besitzen". Deshalb können die Schnittpunkte aus der Abbildung abgelesen werden.
Antwort: Die Schnittpunkte haben folgende Koordinaten: S1(−1∣−3);S2(1∣−1);S3(3∣1)
Wie kannst du den gesamten Inhalt A der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?
Flächeninhalt:
A=A1+A2=∫−11(f(x)−g(x))dx+∫13(g(x)−f(x))dx
Berechnung von A:
f(x)−g(x)=x3−3x2+1−(x−2)=x3−3x2−x+3
g(x)−f(x)=−(f(x)−g(x))=−(x3−3x2−x+3)=−x3+3x2+x−3
A1=∫−11(x3−3x2−x+3)dx=[41⋅x4−x3−21⋅x2+3x]−11
=(41−1−21+3)−(41−(−1)−21+3⋅(−1))=1,75−(−2,25)=4
A2=∫13(−x3+3x2+x−3)dx=[−41⋅x4+x3+21⋅x2−3x]13
=(−41⋅34+33+21⋅32−3⋅3)−(−41+1+21−3)=2,25−(−1,75)=4
Agesamt=A1+A2=4+4=8
Antwort: Der von den beiden Graphen eingeschlossene Flächeninhalt beträgt 8FE.
- 3
Die Parabel mit dem Scheitel S=(−2∣−3) und der Graph der Funktion f mit f(x)=1+0,5⋅x3 schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.
Bestimme den zur Parabel gehörenden Funktionsterm und alle Schnittpunkte.
Wie kannst du A als bestimmtes Integral schreiben? Berechne nun A.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Berechnung des zur Parabel gehörenden Funktionsterms
Gegeben ist der Scheitel S(−2∣−3) der Parabel. Benutze die Scheitelpunktsform.
g(x)=a⋅(x+2)2−3
Setze den aus der Abbildung abgelesenen Schnittpunkt mit der y-Achse Sy(0∣−1) ein.
g(0)=−1
⇒g(0)=a⋅(0+2)2−3=4a−3=−1⇒4a=2⇒a=21
g(x)=21⋅(x+2)2−3=21⋅(x2+4x+4)−3=21⋅x2+2x−1
Antwort: Die Parabel hat die Funktionsgleichung g(x)=21⋅x2+2x−1
Berechnung aller Schnittpunkte
Setze f(x)=g(x).
1+21⋅x3 = 21⋅x2+2x−1 −21⋅x2−2x+1 ↓ Bringe alle Terme auf eine Seite.
21⋅x3−21⋅x2−2x+2 = 0 ⋅2 x3−x2−4x+4 = 0 Du hast eine Gleichung 3. Grades erhalten. Die Lösung erfolgt durch Polynomdivision.
Eine Lösung ist leicht zu finden (probieren):
Setze x=1 in die Gleichung ein⇒13−12−4⋅1+4=0✓
Teile nun (x3−x2−4x+4) durch den Linearfaktor (x−1):
(x3−x2−4x+4):(x−1)=x2−4−(x3−x2)0+0−4x+4(x3−(−4x+4)(x3−x2−40+0
Die verbleibende Gleichung x2−4=0 hat die beiden Lösungen x2,3=±2.
Berechne die Funktionswerte:
f(1)=1+21⋅13=1,5
f(−2)=−3 (siehe gegebenen Scheitelpunkt)
f(2)=1+21⋅23=5
Antwort: Die drei Schnittpunktskoordinaten lauten: S1(1∣1,5);S2(−2∣−3);S3(2∣5)
Wie kannst du A als bestimmtes Integral schreiben?
Da drei Schnittpunkte existieren, gibt es zwei Flächen, die die beiden Graphen einschließen. (In der obigen Abbildung ist die zweite Fläche nicht sehr deutlich erkennbar.)
A=A1+A2=∫−21(f(x)−g(x))dx+∫12(g(x)−f(x))dx
Berechnung von A1
Die 2. Zeile bei der Schnittpunktsberechnung ergibt:
f(x)−g(x)=21⋅x3−21⋅x2−2x+2
A1=∫−21(f(x)−g(x))dx
Setze f(x)−g(x) ein:
A=∫−21(21⋅x3−21⋅x2−2x+2)dx=[81⋅x4−61⋅x3−x2+2x]−21
=(81−61−1+2)−(81⋅(−2)4−61⋅(−2)3−(−2)2+2⋅(−2))
=(−241+1)−(2+68−4−4)=−241+1−2−68+8=−68−241+7=7−2433=845
Berechnung von A2
A2=∫12(g(x)−f(x))dx
g(x)−f(x)=−(f(x)−g(x)=−(21⋅x3−21⋅x2−2x+2)=−21⋅x3+21⋅x2+2x−2
Setze g(x)−f(x) ein:
A2=∫12(−21⋅x3+21⋅x2+2x−2)dx=[−81⋅x4+61⋅x3+x2−2x]12
=(−2+68+4−4)−(−81+61+1−2)
=(−2+68)−(−81+61−1)=−2+68+81−61+1=−1+67+81=24−24+28+3=247
A=A1+A2=845+247=1271≈5,92
Antwort: Die beiden Graphen schließen eine Fläche mit dem Inhalt A=1271≈5,92FE ein.
Zur Veranschaulichung eine Abbildung, in der die beiden Flächen deutlich erkennbar sind.
- 4
Die abgebildete Parabel f und Gerade g schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.
Schraffiere diese Fläche.
Bestimme die Funktionsterme von f und g und die beiden Schnittpunkte S1 und S2 der Graphen.
Gib A als bestimmtes Integral an und berechne dann A.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Schraffiere diese Fläche
Funktionsterme von f und g
Berechnung des zur Parabel f gehörenden Funktionsterms:
Der Scheitel der Parabel kann abgelesen werden: S(0∣3)
Benutze die Scheitelpunktsform:
f(x)=a(x−0)2+3=ax2+3
Weiterhin kann der Punkt (−2∣−1) abgelesen werden.
Setze den Punkt (−2∣−1) in f(x)=ax2+3 ein:
−1 = a⋅(−2)2+3 −3 ↓ Löse nach a auf.
−4 = 4a :4 −1 = a Die Parabel hat die Funktionsgleichung f(x)=−x2+3
Die Geradengleichung kann direkt abgelesen werden:
(Steigung m=1 und der y-Achsenabschnitt t=1):
g(x)=x+1
Berechnung der beiden Schnittpunkte S1 und S2 der Graphen
Setze f(x)=g(x).
−x2+3 = x+1 +x2 ↓ Bringe alle Terme auf eine Seite.
3 = x2+x+1 −3 0 = x2+x−2 Die Lösung dieser quadratischen Gleichung erfolgt mit der pq-Formel (oder auch mit der Mitternachtsformel).
Lies p und q ab:
p=1 und q=−2
x1,2 = −2p±(2p)2−q ↓ Setze p=1 und q=−2 ein.
= −21±(21)2+2 = −21±2,25 = −0,5±1,5 Damit ist x1=−2 und x2=1.
Setze beide Werte z.B. in g(x) ein, um die Funktionswerte der beiden Schnittpunkte zu erhalten:
g(−2)=−2+1=−1⇒S1(−2∣−1)
g(1)=1+1=2⇒S2(1∣2)
Die beiden Schnittpunkte S1 und S2 der Graphen sind S1(−2∣−1) und S2(1∣2).
Gib A als bestimmtes Integral an
A = ∫−21(f(x)−g(x))dx ↓ Setze f(x) und g(x) ein.
= ∫−21(−x2+3−(x+1))dx ↓ Löse die Klammer auf und fasse zusammen.
= ∫−21(−x2−x+2))dx = [−31x3−21x2+2x]−21 = (−31⋅13−21⋅12+2⋅1)−(−31⋅(−2)3−21⋅(−2)2+2⋅(−2)) ↓ Löse die Klammern auf
= −31−21+2−38+2+4 ↓ Fasse zusammen.
= 8−39−0,5 = 8−3−0,5 = 4,5 Die beiden Graphen schließen eine Fläche mit dem Inhalt A=4,5FE ein.
- 5
Die Graphen der Funktionen f(x)=2−x2 und g(x)=0,5x2+0,5 schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.
Schraffiere diese Fläche und berechne A.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenbestimmung mit Integralen
Schraffiere diese Fläche
Schnittpunkte berechnen
f(x)=2−x2
g(x)=0,5x2+0,5
Setze die beiden Funktionen gleich, um ihre Schnittstellen zu erhalten.
f(x) = g(x) ↓ Gleichung umformen.
2−x2 = 0,5x2+0,5 −0,5x2 2−1,5x2 = 0,5 −2 −1,5x2 = −1,5 :(−1,5) x2 = 1 x2=1⇒x=±1
Die Schnittstellen sind also x=±1.
Flächenbestimmung
Aus der Skizze ersieht man, dass f die obere Funktion ist.
A = ∫−11(f(x)−g(x))dx ↓ Bestimme die Fläche, indem über die Differenzfunktion integriert wird.
Setze f(x)−g(x)=1,5−1,5x2 ein.
= ∫−11(1,5−1,5x2)dx = [1,5x−0,5x3]−11 ↓ Setze die Grenzen ein. Ziehe die untere Grenze von der oberen Grenze ab.
= (1,5⋅1−0,5⋅13)−(1,5⋅(−1)−0,5⋅(−1)3) ↓ Vereinfache.
= 1,5−0,5−(−1,5+0,5) ↓ Fasse zusammen.
= 1−(−1) = 2 Die eingeschlossene Fläche A zwischen den beiden Funktionen beträgt also 2FE.
- 6
Das Bild zeigt die Graphen der beiden Funktionen f(x)=0,5x2+2 und g(x)=−0,5x+1 .
Man erkennt: f(x)>g(x) für alle x∈R .
Berechne den Inhalt A der Fläche zwischen den beiden Graphen und den Grenzen x1=−1 und x2=1,5 .
Zeichne diese Fläche ein.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Um diese Aufgabe zu lösen, muss die Differenzfunktion f(x) − g(x) gebildet werden. Für diese erhalten wir:
f(x)−g(x) = 0,5x2+2 −(−0,5x+1)
= 0,5x2+2+0,5x−1 =21x2+21x+1.
Die Fläche zwischen der x−Achse und dieser Funktion gibt uns den Flächeninhalt für die Fläche zwischen den beiden gegebenen Funktionen. Dadurch wird auch deutlich, dass die untere von der oberen Funktion subtrahiert werden muss. Würde man die obere von der unteren Funktion subtrahieren, so würden wir ein negatives Ergebnis für die Fläche erhalten, was offensichtlich nicht sein kann.
Da die Differenzfunktion im Intervall [−1;1,5] keine Nullstellen besitzt, kann sofort das Integral von −1 bis 1,5 berechnet werden.
======∫−11,5(21x2+21x+1)dx[61x3+41x2+x]−13/2(61⋅827+41⋅49+23)−(61(−1)+41⋅1−1)169+169+23+61−41+14827+27+72+8−12+48481702485
- 7
f(x)=91x4−98x3+2x2,Df=R
Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das Gf und die x-Achse einschließen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: uneigentliches Integral
Nullstellen berechnen
Berechne zunächst die Nullstellen der Funktion f(x)=91x4−98x3+2x2.
0 = f(x) 0 = 91x4−98x3+2x2 ↓ x2 ausklammern.
0 = x2⋅(91x2−98x1+2) Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei x=0.
Im Weiteren wird nur das Innere der Klammer betrachtet.
0=91x2−98x1+2
Um zu testen, ob weitere Nullstellen existieren, bestimmst du z.B. die Diskriminante. Wenn die Diskriminate negativ ist, gibt es keine weiteren Nullstellen.
D = (−98)2−4⋅91⋅2 ↓ Ausmultiplizieren
= 8164−98 ↓ Brüche subtrahieren.
= −818 ⇒ Da die Diskriminante negativ ist, gibt es keine weiteren Nullstellen
⇒ Da es nur eine (doppelte) Nullstelle gibt, die Funktionswerte nicht-negativ sind und die Funktion x→+∞limf(x) gegen +∞ strebt, ist das Integral ∫−∞∞f(x)dx und somit die Fläche zwischen Graph und x-Achse unendlich groß.
zusätzlicher Graph der Funktion
Die blaue Fläche zeigt, dass der Flächeninhalt, der vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossen wird, unendlich ist.
- 8
ft(x)=−91(t−3)x2+t,Dft=R,t∈R
Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen der x-Achse und Gft liegt.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen
ft(x) = −91(t−3)x2+t ↓ Setze die Funktion ft gleich 0.
0 = −91(t−3)x2+t ↓ Man löst die Klammer auf.
0 = −9t⋅x2+93⋅x2+t −t;⋅9 −9⋅t = −t⋅x2+3⋅x2 ↓ x2 ausklammern.
−9⋅t = x2⋅(−t+3) ↓ ∣:(−t+3) für alle t=3. Sonderfall: t=3 ⇒ f3=3 konstant ohne Nullstelle.
x2 = −t+3−9⋅t ↓ Ziehe die Wurzel, um die Nullstellen zu bestimmen.
x = ±t−39⋅t ↓ Die Wurzel ist nur für nicht negativen Radikanten definiert.
Dieser ist positiv, wenn t>3 oder t<0 ist. Für diesen Fall existieren also zwei Nullstellen.
Falls t=0 ist, gibt es lediglich eine Nullstelle.
Eine Fläche wird also nur im Fall t>3 oder t<0 eingeschlossen. Diese wird dann mit einem bestimmten Integral bestimmt.
A′ = −t−39⋅t∫t−39⋅t(−9t⋅x2+93⋅x2+t)dx ↓ Nun wird die gesuchte Fläche A=∣A′∣ mittels Integration bestimmt.
= [−9⋅3t⋅x3+9⋅33⋅x3+tx]−t−39⋅tt−39⋅t = [−27t⋅x3+9x3+tx]−t−39⋅tt−39⋅t = (−27t⋅t−39⋅t3+9t−39⋅t3+tt−39⋅t)−(−27t⋅(−t−39⋅t)3+9(−t−39⋅t)3+t(−t−39⋅t)) ↓ In den nächsten Schritten werden Klammern aufgelöst, Hauptnenner (27) gebildet und alle Elemente auf diesen erweitert.
= 27−t⋅t−39⋅t3+3⋅t−39⋅t3+27⋅tt−39⋅t−t⋅t−39⋅t3+3⋅t−39⋅t3+27⋅tt−39⋅t = 27−2⋅t⋅t−39⋅t3+6⋅t−39⋅t3+54⋅tt−39⋅t ↓ Man fasst die Summanden, wenn möglich, zusammen.
= 27−2⋅t⋅(t−39⋅t)t−39⋅t+6⋅(t−39⋅t)t−39⋅t+54⋅tt−39⋅t ↓ Klammere t−39⋅t aus.
= 27t−39⋅t(−2⋅t⋅(t−39⋅t)+6⋅(t−39⋅t)+54⋅t) ↓ Fasse zusammen und erweitere den letzten Term.
= 27t−39⋅t(t−3−18⋅t2+t−354⋅t+t−354⋅t⋅(t−3) ↓ Fasse die Bruchterme zusammen.
= 27t−39⋅t(t−3−18⋅t2+54⋅t+54⋅t2−162⋅t) ↓ Vereinfache.
= 27t−39⋅t(t−336⋅t2−108⋅t) ↓ Klammere 36⋅t aus.
= 27t−39⋅t⋅36⋅t(t−3t−3) ↓ Kürze.
= 34⋅t⋅t−39⋅t Die eingeschlossene Fläche beträgt A(t)=34⋅t⋅t−39⋅tFE
Diese eingeschlossene Fläche ist ein bestimmtes Integral, falls t∈R\[0;3].
Anschaulich schließen fund die x-Achse für t∈[0;3] keine Fläche ein.
Die folgenden zwei Abbildungen gehören nicht zur Aufgabenstellung, sie dienen nur zur Veranschaulichung.
Eine Fläche wird nur im Fall t>3 oder t<0 eingeschlossen.
Zum Beispiel erhält man für t=4 die Funktion f4(x)=−91x2+4
Die eingeschlossene Fläche liegt oberhalb der x-Achse und ist somit positiv. Die Fläche beträgt dann:
A(4) = 34⋅4⋅4−39⋅4 = 316⋅136 = 316⋅6 = 32FE Für t=−2,4 erhält man die Funktion
f−2,4(x) = −91(−2,4−3)x2−2,4 = 0,6x2−2,4 Die eingeschlossene Fläche liegt unterhalb der x-Achse. Deshalb wird der Betrag verwendet. Die Fläche beträgt dann:
A(−2,4) = 34⋅(−2,4)⋅−2,4−39⋅(−2,4) = −3,2⋅−5,4−21,6 ↓ Berechne den Bruch.
= −3,2⋅4 ↓ Ziehe die Wurzel und fasse zusammen.
= ∣−6,4∣ = 6,4FE - 9
f(x)=83x3−23x,Df=R
Bestimme die Gleichung der Ursprungsgeraden, die Gf im Hochpunkt schneidet, und berechne den Inhalt der Fläche, die von Gf und der Geraden eingeschlossen ist.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
Hochpunkt bestimmen
Als erstes musst du den Hochpunkt bestimmen. Dafür benötigst du die erste und zweite Ableitung.
Ableitungen bilden
f(x)=83x3−23x
f′(x)=89x2−23
f′′(x)=818x=49x
Extremwerte bestimmen
Die Extremwerte von f bestimmst du, indem du die erste Ableitung f′(x) mit 0 gleichsetzt.
f′(x) = 89x2−23 0 = 89x2−23 +23 23 = 89x2 :89 34 = x2 ↓ ±34 = x ↓ 4=2 kannst du noch aus der Wurzel ziehen.
±231 = x Art der Extrema bestimmen
Um die Art der Extrema zu bestimmen, musst du die Nullstellen der ersten Ableitung, in die 2. Ableitung einsetzen.
1. Extremstelle x=2⋅31
f′′(x)=49x
f′′(2⋅31) = 49⋅2⋅31 = 29⋅31 > 0 f hat einen Tiefpunkt an der Stelle x=2⋅31, da die zweite Ableitung größer als 0 ist.
2. Extremstelle: x=−2⋅31
f′′(x)=49x
f′′(−2⋅31) = 49⋅(−2)⋅31 = −29⋅31 < 0 f hat einen Hochpunkt an der Stelle x=−2⋅31, da die zweite Ableitung kleiner 0 ist.
y-Koordinaten bestimmen
Um die y-Koordinate des Hochpunkts zu bestimmen, musst du x=−2⋅31 in f(x) einsetzen.
f(x)=83x3−23x
f(−2⋅31) = 83⋅(−2⋅31)3−23⋅(−2⋅31) ↓ Löse die Potenzen auf.
= −83⋅38⋅31−23⋅(−2⋅31) ↓ = −31+3⋅31 = 2⋅31 ≈ 1,155 Der Hochpunkt hat also die Koordinaten H(−2⋅31∣2⋅31)
Ursprungsgerade aufstellen
Nun kannst du die Ursprungsgerade aufstellen. Dafür benötigst du die Steigung der Geraden.
Steigung bestimmen
Die Steigung der Ursprungsgeraden bestimmt sich als Quotient der y-Koordinate und x-Koordinate des Hochpunktes.
m = −2⋅312⋅31 ↓ Mit 31=0 kürzen .
= −1 Gleichung aufstellen
Steigung m und y-Achsenabschnitt t in die allgemeine Geradengleichung y=mx+t einsetzen.
m=−1, t=0, da eine Ursprungsgerade betrachtet wird.
y(x)=−x
Schnittpunkte bestimmen
Jetzt bestimmst du die Schnittpunkte der Ursprungsgerade mit dem Graphen von f.
f(x)=83x3−23x
y(x)=−x
Setze beide Funktionen werden gleich.
f(x) = y(x) −x = 83x3−23x +x 0 = 83x3−21x ↓ x ausklammern.
= x⋅(83x2−21) = x⋅(x−231)⋅(x+231)⋅83 ⇒ Ein Schnittpunkt liegt bei 0, die anderen beiden Schnittpunkte beim Hoch- bzw. Tiefpunkt der Funktion.
Obere Funktionen ermitteln
Es existieren also drei Schnittpunkte der beiden Funktionen. So betrachtet man also die beiden Intervalle I1=]−2⋅31;0[ und I2=]0;2⋅31[ zwischen den Schnittpunkten.
Ein Punkt, der zwischen den beiden Schnittpunkten liegt, wird in beide Funktionen eingesetzt. Um zu ermitteln, welche Funktion in den einzelnen Intervallen höhere oder gleich hohe Funktionswerte besitzt, wird ein Punkt, der zwischen je zwei benachbarten Schnittpunkten liegt, also ein Punkt aus I1 bzw. I2 in beide Funktionen eingesetzt.
Bei dieser Aufgabe nutzt man die Punktsymmetrie von f(x)−y(x), um sich die Bestimmung der oberen Funktion und eine schwierigere Integration zu sparen.
Gewählt wird also beispielsweise der Punkt x0=−0,5∈I1 .
f(x)=83x3−23x
f(−0,5)=83⋅(−0,5)3−23⋅(−0,5)≈0,70
y(x)=−x
y(−0,5)=0,5
⇒ Da f den höheren Funktionswert bei x0 besitzt und sich x0 zwischen zwei Schnittpunkten befindet, ist sie in ganz I1 die obere Funktion.
⇒ In I2 ist y aufgrund der Punktsymmetrie von y und f die obere Funktion.
Fläche berechnen
Zunächst wird das Integral aufgestellt, die Grenzen sind dabei ja zwei benachbarte Schnittpunkte.Hier sollen Flächen berechnet werden und dabei lassen sich Eigenschaften der punktsymmetrischen Funktionen nutzen.
Für eine punktsymmetrische Funktion g gilt, dass ∫−aag(x)dx=0,mita∈R.
Also berechnet sich die Gesamtfläche A als 2⋅∣∫−a0g(x)dx∣,mita∈R.
Man kann hier, da vorher die obere Funktion bestimmt wurde, bei richtigem Ansatz auf die Betragsstriche verzichten.
A = 2⋅∫−2⋅310((83x3−23x)−(−x))dx ↓ Löse die inneren Klammern auf und fasse gleiche Elemente zusammen.
= 2⋅∫−2⋅310(83x3−21x)dx ↓ Integriere den Ausdruck.
= 2⋅[8⋅43x4−2⋅21x2]−2⋅310 ↓ = 2⋅[323x4−41x2]−2⋅310 ↓ In die Klammer wird für x die rechte Grenze 0 eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze −2⋅31 gerechnet.
= 2⋅(323(0)4−41(0)2)−323((−2)⋅31)4−41((−2)⋅31)2 ↓ Innere Klammern ausmultiplizieren.
= −2⋅323((−2)⋅31)4−41((−2)⋅31)2 ↓ = −2⋅(323⋅916−41⋅34) = −2⋅(61−31) = −2⋅(−61) = 31 ⇒ Die Gesamtfläche A beträgt also 31 FE.
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Bestimme die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen.
f:x↦x2−4x+1 ;
g:x↦−x2+6x−7 ; Df=Dg=R
Schnittpunkte berechnen
f(x)=x2−4x+1
g(x)=−x2+6x−7 ; Df=Dg=R
Funktionen gleichsetzen, um Schnittpunkte zu ermitteln.
f(x) = g(x) x2−4x+1 = −x2+6x−7 ↓ Umformen.
2x2−10x+8 = 0 ↓ Mitternachtsformel anwenden.
x1/2 = 2⋅210±(−10)2−4⋅2⋅8 = 410±36 = 410±6 x1=4x2=1
x1 und x2 sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen, die man dann nachher in das Integral einsetzt.
Fläche berechnen
A = ∫14((−x2+6x−7)−(x2−4x+1))dx = ∫14(−x2+6x−7−x2+4x−1)dx ↓ Löse auf und fasse zusammen.
= ∫14(−2x2+10x−8)dx ↓ Integriere
= [−32x3+210x2−8x]14 = (−32⋅(4)3+210⋅(4)2−8⋅(4))−(−32⋅(1)3+210⋅(1)2−8⋅(1)) = (−32⋅64+210⋅16−32)−(−32⋅1+210⋅1−8) = −3128+48+32+3 = 9 ⇒ Die ermittelte Fläche zwischen den Graphen beträgt 9 FE.
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a(x)=6−241x2,Da=R
Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen Ga und der x-Achse.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächeninhalt zwischen Graphen
Nullstellen berechnen
Berechne zuerst die Nullstellen.
Flächenstück bestimmen
Bestimme nun den Flächeninhalt des Flächenstücks.
a(x)=6−241x2
Flächenstück wird durch die Schnittpunkte begrenzt.Ansatz für die Fläche A.
A(x) = ∫−1212(6−241x2)dx ↓ = [6x−24⋅31x3]−1212 ↓ In die Klammer wird für x die rechte Grenze (12) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze (-12) gerechnet.
= (6⋅12−24⋅31⋅123)−(6⋅(−12)−24⋅31⋅(−12)3) ↓ Ausmultiplizieren.
= 72−721728+72−721728 ↓ = 72−24+72−24 = 96 ⇒ Das Flächenstück beinhaltet 96 FE.
- 12
Berechne die zwischen Gf und der x-Achse eingeschlossene Fläche für die folgenden Funktionen f:
f(x)=2−x−x2
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Schnittpunkte berechnen
Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse
f(x)=2−x−x2
Mit der x-Achse (y=0) gleichsetzen.
−x2−x+2 = 0 ↓ Mitternachtsformel anwenden.
x1,2 = 2⋅(−1)1±(−1)2−4⋅(−1)⋅2 ↓ = −21±1+8 ↓ = −21±3 x1=−21+3=−2
x2=−21−3=1
Flächenberechnung
Um die eingeschlossene Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von f und der x-Achse zu berechnen, benötigst du ein Integral.
A = ∫−21(−x2−x+2)dx ↓ Bestimme die Stammfunktion.
= [−3x3−2x2+2x]−21 ↓ In die Klammer wird für x der rechte Schnittpunkt (1) eingesetzt und minus die Klammer mit dem linken Schnittpunkt (-2) gerechnet.
= (−313−212+2⋅1)−(−3(−2)3−2(−2)2+2⋅(−2)) ↓ Zähler berechnen.
= (−31−21+2)−(−3−8−24−4) ↓ Klammern auflösen.
= −31−21+2−38+24+4 ↓ Gleiche Elemente zusammenfassen.
= −39+23+6 = 29 = 4,5 Hast du eine Frage oder Feedback?
f:x↦x2⋅(x+2)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrale
Berechne die Schnittpunkte mit der x-Achse
f(x)=x2⋅(x+2)
Zur Ermittlung der Nullstellen der Funktion, betrachte die beiden Faktoren getrennt voneinander, d.h. setze beide Faktoren gleich Null.
x2 = 0 x1,2 = 0 An der Stelle x=0 ist also eine zweifache Nullstelle.
x+2 = 0 −2 x3 = −2 An der Stelle x=−2 ist eine einfache Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.
Flächenberechnung
Um die eingeschlossene Fläche zwischen dem Funktionsgraphen von f und der x-Achse zu berechnen, benötigst du ein Integral. Multipliziere f zuerst aus, um die Intergration zu vereinfachen.
f(x) = x2⋅(x+2) ↓ Multipliziere die Faktoren der Funktion aus, um die Funktion leichter integrieren zu können.
= x3+2x2 Stelle das bestimmte Integral mit den Nullstellen -2 und 0 als Grenzen auf.
A = ∫−20(x3+2x2)dx ↓ Ermittle die Stammfunktion.
= [41x4+2⋅31x3]−20 ↓ In die Klammer wird für x die rechte Schnittstelle (0) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Schnittstelle (−2) gerechnet.
= 0−(41(−2)4+31⋅2(−2)3) = −(416−316) ↓ Bilde den Hauptnenner und löse die Klammer auf.
= −1248+1264 ↓ Addiere die Summanden.
= 1216 ↓ Kürze den Bruch.
= 34 Die eingeschlossene Fläche ist 34 Flächeneinheiten groß.
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f(x)=3+sin(x),Df=R
Berechne ∫01f(x)dx ; ∫0πf(x)dx ; ∫3π2πf(x)dx
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrieren
Integral von 0 bis 1
∫01(3+sinx)dx = [3x−cosx]01 ↓ In die Klammer wird für x die rechte Grenze (1) eingesetzt und die Klammer mit der linken Grenze (0) abgezogen.
= (3⋅1−cos1)−(3⋅0−cos0) ↓ Klammern auflösen, cos(0)=1
= 3−cos1+1 = 4−cos1 ≈ 3,4597 Integral von 0 bis π
∫0π(3+sinx)dx = [3x−cosx]0π ↓ In die Klammer wird für x die rechte Grenze (π) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze (0) gerechnet.
= (3⋅π−cosπ)−(3⋅0−cos0) ↓ Klammern auflösen, cos0=1;cosπ=−1.
= 3⋅π+1+1 = 3π+2 ≈ 11,4248 ≈ Integral von 3πbis 2π
∫3π2π(3+sinx)dx = [3x−cosx]3π2π ↓ In die Klammer wird für x die rechte Grenze ( 2π ) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze (3π) gerechnet.
= (3⋅2π−cos(2π))−(3⋅3π−cos3π) ↓ Klammern auflösen, cos(2π)=1;cos3π=0,5 .
= 6π−1−π+0,5 = 5π−0,5 ≈ 15,208 Hast du eine Frage oder Feedback?
Berechne den Inhalt des Flächenstücks zwischen Gf , der y-Achse und der Geraden y=2π im Bereich von 0 bis π
f(x)=3+sinx
g(x)=2π
A = ∫0π(2π−(3+sinx))dx = ∫0π(2π−3−sinx)dx ↓ = [2πx−3x+cosx]0π ↓ In die Klammer wird für x die rechte Grenze (π) eingesetzt und minus die Klammer mit der linken Grenze (0) gerechnet.
= (2π⋅π−3⋅π+cosπ)−(2π⋅0−3⋅0+cos0) ↓ Klammern auflösen, cos(π)=−1,cos(0)=1
= 2π2−3π−1−1 = 2π2−3π−2 ≈ 8,3144 Hast du eine Frage oder Feedback?
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Gegeben ist der Graph Gf einer integrierbaren Funktion f.
Bestimme graphisch näherungsweise den Flächeninhalt, den die Funktion mit der x-Achse einschließt.
Durch Abzählen erhältst du links von der y-Achse:
6 ganze Kästchen
2 fast ganze Kästchen und
3 ungefähr gedrittelte Kästchen
Macht insgesamt ca. 9 Kästchen und damit auf beiden Seiten der y-Achse ca. 18 Kästchen. Da 4 Kästchen den Flächeninhalt von 1 cm² besitzen, hast du für die Fläche unter dem Graphen 418=4.5. Näherungslösungen mit einer Abweichung von ±0,25 sind ebenfalls richtig.
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Gib näherungsweise zwei Nullstellen der Integralfunktion
F:x↦∫−1xf(t)dt an.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Integrationsgrenze
Die erste Nullstelle liegt bei der ersten Integrationsgrenze: x1=−1. Für eine zweite Nullstelle muss die Fläche über der x-Achse genau so groß sein, wie die Fläche unter der x-Achse. Anhand der Kästchen siehst du, dass das ungefähr bei x=−2 der Fall ist.
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Das stilisierte Fischlogo des Marineclubs soll neu lackiert werden. Dazu braucht der Maler die Fläche des Logos.
Die orangefarbene Randfunktion ist gegeben durch g(x)=−2x⋅x+2.
Fischlogo
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: partielle Integration
Agesamt=A1+A2
Zur Flächenberechnung benötigst du eine Stammfunktion G(x) der Funktion g(x)=−2x⋅x+2 :
G(x)=∫(−2x)⋅x+2dx=−21∫x⋅x+2dx
Das Integral kann mit partieller Integration berechnet werden. (Der Vorfaktor wird zunächst nicht berücksichtigt.)
Die partielle Integration berechnet mit folgender Formel das Integral über ein Produkt von zwei Funktionen: ∫u′(x)⋅v(x)dx=u(x)⋅v(x)−∫u(x)⋅v′(x)dx
Es soll das Integral ∫x+2⋅xdx berechnet werden.
Setze dazu u′(x)=x+2 und v(x)=x
Berechne nun u(x) durch Integration von x+2
u′(x) = x+2 ↓ Schreibe die Wurzel als Potenz.
= (x+2)21 ↓ Integriere über x.
u(x) = ∫(x+2)21dx ↓ Wende die Regel für Potenzfunktionen an.
= 21+1(x+2)21+1 ↓ Vereinfache.
= 23(x+2)23 = 32⋅(x+2)23 Somit ist u(x)=32⋅(x+2)23 und v′(x)=1.
Nun kann die partielle Integration durchgeführt werden.
∫u′(x)⋅v(x)dx = u(x)⋅v(x)−∫u(x)⋅v′(x)dx ↓ Setze u(x)=32⋅(x+2)23 und v(x)=x und v′(x)=1 ein.
∫x+2⋅xdx = 32⋅(x+2)23⋅x−∫32⋅(x+2)23⋅1dx Berechne nun das hintere Integral durch Anwendung der Regel für Potenzfunktionen:
∫32⋅(x+2)23⋅1dx=32∫(x+2)23dx
32∫(x+2)23dx = 32(23+1(x+2)23+1) ↓ Vereinfache.
= 32(25(x+2)25) ↓ Vereinfache.
= 154(x+2)25 Damit folgt für die Berechnung von ∫x+2⋅xdx:
∫x+2⋅xdx = 32⋅(x+2)23⋅x−154(x+2)25 ↓ Vereinfache die rechte Seite durch Ausklammern von (x+2)23.
= (x+2)23⋅(32⋅x−154⋅(x+2)) ↓ Vereinfache die hintere Klammer.
= (x+2)23⋅(32⋅x−154⋅x−158) = (x+2)23⋅(1510⋅x−154⋅x−158) = (x+2)23⋅(156⋅x−158) ↓ Klammere 152 aus.
= 152⋅(x+2)23⋅(3x−4) Eine Stammfunktion lautet somit:
G(x)=−21∫x⋅x+2dx=−21⋅152⋅(x+2)23⋅(3x−4)
Berechne nun die Fläche A1:
Die Integrationsgrenzen werden der Abbildung entnommen. Die untere Grenze ist x=−2 und die obere Grenze ist x=0.
A1=2⋅∫−20x⋅x+2dx
∫−20x⋅x+2dx = [−151⋅(x+2)23⋅(3x−4)]−20 ↓ Setze die Grenzen ein.
= (−151⋅(0+2)23⋅(3⋅0−4))−(−151⋅(−2+2)23⋅(3⋅(−2)−4)) ↓ Vereinfache.
= (−151⋅223⋅(−4))−(−151⋅023⋅(−6−4)) ↓ Vereinfache.
Wegen 023=0 entfällt die hintere Klammer.
223=2⋅2
= 154⋅2⋅2 = 158⋅2 Die Fläche A1 ist dann 2⋅158⋅2=1516⋅2m2.
Berechne nun die Fläche A2:
Die Integrationsgrenzen werden der Abbildung entnommen. Die untere Grenze ist x=0 und die obere Grenze ist x=1. Hier verläuft g(x) unterhalb der x-Achse. Deshalb wird der Betrag des Integrals berechnet:
A2=2⋅∫01x⋅x+2dx
∫01x⋅x+2dx = [−151⋅(x+2)23⋅(3x−4)]01 ↓ Setze die Grenzen ein.
= (−151⋅(1+2)23⋅(3⋅1−4))−(−151⋅(0+2)23⋅(3⋅0−4)) ↓ Vereinfache.
= (−151⋅323⋅(−1))−(−151⋅(2)23⋅(−4)) ↓ Vereinfache.
323=3⋅3 und 223=2⋅2.
= (151⋅3⋅3)−(154⋅2⋅2) ↓ Kürze und vereinfache.
= 51⋅3−158⋅2 Die Fläche A2 kann nun angegeben werden:
A2=2⋅∫01x⋅x+2dx⇒
A2=2⋅51⋅3−158⋅2
51⋅3−158⋅2=−(51⋅3−158⋅2)=(158⋅2−51⋅3)
A2=2⋅(158⋅2−51⋅3)=1516⋅2−52⋅3
Die Fläche A2 ist dann (1516⋅2−52⋅3)m2.
Agesamt=A1+A2=1516⋅2+1516⋅2−52⋅3
Agesamt=1532⋅2−52⋅3
Agesamt≈2,32m2
Der Maler muss eine Fläche von etwa 2,32m2 lackieren.
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Gegeben sind die beiden Funktionen fa(x)=a−ax2 und ga(x)=a3−ax2 mit a>1.
Berechne das Flächenstück A(a) oberhalb der x-Achse, das von den Graphen der beiden Funktionen fa und ga begrenzt wird.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenbestimmung mit Integralen
Schnittpunkte berechnen
Setze die beiden Funktionen gleich, um ihre Schnittstellen zu erhalten.
fa(x) = ga(x) a−ax2 = a3−ax2 ⋅a ↓ Bringe alle Terme mit x auf eine Seite.
a2−x2 = a4−a2x2 +a2x2 a2−x2+a2x2 = a4 −a2 −x2+a2x2 = a4−a2 ↓ Klammere auf der linken Seite x2 aus. Klammere auf der rechen Seite a2 aus.
x2(a2−1) = a2(a2−1) :(a2−1) ↓ Da a>1 ist, kann durch (a2−1) geteilt werden.
x2 = (a2−1)a2(a2−1) ↓ Kürze.
x2 = a2 ⇒ x1=−a und x2=a
Setze x1 und x2 z.B. in fa(x) ein, um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu erhalten.
fa(−a) = −a−−a(−a)2 = −a−−aa2 = −a+a = 0 ⇒S1(−a∣0)
fa(a) = a−aa2 = a−a = 0 ⇒S2(a∣0)
Flächenbestimmung mit Integralen
Die beiden Funktionen fa und ga sind symmetrisch zur y-Achse.
Es ist ga(0)=a3 und fa(0)=a. Wegen a>1 ist ga die obere Funktion.
Der Flächeninhalt wird berechnet, indem über die Differenzfunktion integriert wird.
Der gesuchte Flächeninhalt kann wegen der Symmetrie zur y-Achse in zwei gleich große Teilflächen aufgeteilt werden.
A(a) = 2⋅∫0a(ga(x)−fa(x))dx ↓ Setze ga(x)−fa(x)=a3−ax2−a+ax2 ein.
= 2⋅∫0a(a3−ax2−a+ax2)dx = 2⋅[a3x−a3x3−ax+3ax3]0a ↓ Setze die Grenzen ein. Ziehe die untere Grenze von der oberen Grenze ab.
= 2⋅((a4−3a4−a2+3aa3)−(0−0−0+0)) ↓ Vereinfache.
= 2⋅(32a4−32a2) ↓ Klammere 32a2 aus.
= 34a2(a2−1) Die eingeschlossene Fläche zwischen den beiden Funktionen beträgt:
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Wie groß ist der eingeschlossene Flächeninhalt, wenn a=3 ist?
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenbestimmung mit Integralen
Es ist A(a)=34a2(a2−1).
A(a) = 34a2(a2−1) ↓ Setze a=3 ein.
= 34⋅32⋅(32−1) ↓ Vereinfache.
= 34⋅9⋅(9−1) ↓ Kürze mit 3.
= 12⋅8 = 96 Der eingeschlossene Flächeninhalt zwischen g3 und f3 beträgt 96FE.
Die folgende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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Gegeben sind die Funktionen
und
mit 0<m<6 . Die beiden Funktionsgraphen und die senkrechte Gerade x=6 schließen im ersten Quadranten eine Fläche ein, die aus zwei Teilflächen besteht. Skizzieren Sie den Sachverhalt und bestimmen Sie m so, dass die beiden Teilflächen die gleichen Flächeninhalte besitzen.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Skizze des Sachverhalts:
Die beiden Teilflächen sollen die gleichen Flächeninhalte besitzen.
Berechnet werden muss das Integral von 0 bis 6 über die Differenz der beiden Funktionen. Setzt man dieses Integral gleich null, dann müssen die beiden Teilflächen gleich groß sein.
∫06(f(x)−g(x))dx=0
∫06(61x3−2x2+6x−m⋅x)dx=[241x4−32x3+3x2−2mx2]06=0
Setze die obere Grenze ein (die untere Grenze eingesetzt ergibt den Wert 0):
241⋅64−32⋅63+3⋅62−2m⋅62=0
54−144+108−18m=0⇒18−18m=0⇒m=1
Für m=1 besitzen die beiden Teilflächen den gleichen Flächeninhalt.
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