Aufgaben zu Flächenberechnung mit Integralen

Mit diesen gemischten Übungsaufgaben lernst du das Bestimmen von Flächeninhalten mit Integralen. Schaffst du sie alle?

Sei die Funktion $f: x\mapsto (x+1)^3-1$ gegeben. Bestimme die Fläche, die von $f$ und ihrer Umkehrfunktion $f^{-1}$ eingeschlossen wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion

Lösung 1

Bestimme jetzt die Umkehrfunktion

Bei der Bestimmung der Umkehrfunktion von $f$ wirst du die Umkehrung der dritten Potenz brauchen. Daher gibt es schon mal eine Berechnung dazu.

Damit kennst du die Umkehrung der dritten Potenz: ist $f(x)=x^3$ , so ist

$f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$ für $x\ge 0$ und

$f^{-1}(x)=-\sqrt[3]{-x}=-(-x)^{1/3}$ für $x< 0$ .

Berechnung der Umkehrfunktion von $f$

Unterscheide die Fälle $x+1\ge 0 \Leftrightarrow x\ge-1$ und $x<-1$ .

Für $x\ge-1$ hast du

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \left(x+1\right)^3-1$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle y+1$	$=$	$\displaystyle \left(x+1\right)^3$	$\displaystyle \sqrt[3]{}$
$\displaystyle \sqrt[3]{y+1}$	$=$	$\displaystyle x+1$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle \sqrt[3]{y+1}-1$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle f^{-1}\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{x+1}-1$
	$=$	$\displaystyle (x+1)^{1/3}-1$

Für $x<-1$ ist entsprechend

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \left(x+1\right)^3-1$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle y+1$	$=$	$\displaystyle \left(x+1\right)^3$
	↓	Umkehren wie oben
$\displaystyle -\sqrt[3]{-(y+1)}$	$=$	$\displaystyle x+1$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle -\sqrt[3]{-(y+1)}-1$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle f^{-1}\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\sqrt[3]{-(x+1)}-1$
	$=$	$\displaystyle -(-(x+1))^{1/3}-1$

Flächenberechnung

Bestimme die Schnittpunkte. Weil $\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^3=\left(-\sqrt[3]{-(x+1)}\right)^3=x+1$ ist, reicht eine Rechnung ab der dritten Zeile:

$\displaystyle \left(x+1\right)^3-1$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{x+1}-1$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle \left(x+1\right)^3$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{x+1}$	$\displaystyle \ ^3$
	↓	Sei $x \neq -1$ .
$\displaystyle \left(x+1\right)^9$	$=$	$\displaystyle x+1$	$\displaystyle :\left(x+1\right)$
$\displaystyle \left(x+1\right)^8$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \sqrt[8]{}$
$\displaystyle x+1$	$=$	$\displaystyle \pm1$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -2$
	↓	Betrachte den Fall $x=-1$ .
$\displaystyle \left(-1+1\right)^3-1$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{-1+1}-1$
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle -1$

Berechne jetzt die Fläche $A$ zwischen den Graphen von Schnittpunkt zu Schnittpunkt zunächst für $x\ge-1$ . Für $-1\le x\le0$ ist $f(x)\le f^{-1}(x)$ .

$\displaystyle A_1$	$=$	$\displaystyle \int_{-1}^0\left\|f\left(x\right)-f^{-1}\left(x\right)\right\|\,dx$
	$=$	$\displaystyle \int_{-1}^0\left(\sqrt[3]{x+1}-1-\left(x+1\right)^3+1\right)\, dx$
	$=$	$\displaystyle \int_{-1}^0\left(({x+1})^{1/3}-\left(x+1\right)^3\right)\, dx$
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{1+\frac{1}{3}}\left(x+1\right)^{\frac{1}{3}+1}-\frac{1}{4}\left(x+1\right)^4\right]_{-1}^0$
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}\left(0+1\right)^{4/3}-\frac{1}{4}\left(0+1\right)^4-\frac{3}{4}\left(-1+1\right)^{4/3}+\frac{1}{4}\left(-1+1\right)^4$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Im Bereich $-2\le x\le-1$ ist $f^{-1}(x)\le f(x)$ . Wie du sofort durch Ableiten bestätigst, ist $\displaystyle\frac{3}{4}(-(x-1))^{4/3}$ eine Stammfunktion zu $f^{-1}(x).$

$\displaystyle A_2$	$=$	$\displaystyle \int_{-2}^{-1}\left\|f\left(x\right)-f^{-1}\left(x\right)\right\|\,dx$
	$=$	$\displaystyle \int_{-2}^{-1}\left(x+1\right)^3-1-\left(-\sqrt[3]{-(x+1)}-1\right)\, dx$
	$=$	$\displaystyle \int_{-2}^{-1}\left((x+1)^3+\left(-(x+1)\right)^{1/3}\right)\, dx$
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{4}\left(x+1\right)^{4}-\frac{3}{4}\left(-(x+1)\right)^{4/3}\right]_{-2}^{-1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}\left(-1+1\right)^{4}-\frac{3}{4}\left(-1+1\right)^{4/3}-\frac{1}{4}\left(-2+1\right)^{4}+\frac{3}{4}\left(-2+1\right)^{4/3}$
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Die Gesamtfläche $A$ ist also $\displaystyle A=A_1+A_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ .

In der Skizze erkennt man den Verlauf der Graphen von $f$ und $f^{-1}$ .

Lösung 2

Die Graphen von Funktion und Umkehrfunktion gehen durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden auseinander hervor. Daher müssen ihre Schnittpunkte auf der Winkelhalbierenden $y=x$ liegen und können durch den Schnitt des Graphen von $f$ mit der Geraden $y=x$ berechnet werden. Da die Graphen von $f$ und $f^{-1}$ die Winkelhalbierende als Symmetrieachse besitzen, ist die Fläche zwischen Ihnen genau doppelt so groß wie die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der Winkelhalbierenden.

Berechnung der Schnittpunkte

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	Ausmultiplizieren
$\displaystyle x^3+3x^2+3x+1-1$	$=$	$\displaystyle x$	$\displaystyle -x$
	↓	Ordnen
$\displaystyle x^3+3x^2+2x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	x ausklammern
$\displaystyle x(x^2+3x+2)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	p-q-Formel oder raten
$\displaystyle x(x+1)(x+2)$	$=$	$\displaystyle 0$

Die Schnittpunkte sind also $(-2;-2)$ , $(-1;-1)$ und $(0;0)$ .

Flächenberechnung

Die Berechnung der Fläche wird wieder in zwei Schritten vorgenommen.

	$\displaystyle A_1$
	↓ wegen der Symmetrie wird das Integral verdoppelt
$=$	$\displaystyle 2\left\|\int_{-2}^{-1}\left((x+1)^3-1-x\right)\, dx\right\|$
$=$	$\displaystyle 2\left\|\left[\frac{1}{4}(x+1)^4-x-\frac{1}{2}x^2\right]_{-2}^{-1}\right\|$
$=$	$\displaystyle 2\left\|\frac{1}{4}(-1+1)^4-(-1)-\frac{1}{2}(-1)^2-\frac{1}{4}(-2+1)^4+(-2)+\frac{1}{2}(-2)^2\right\|$
$=$	$\displaystyle 2\left\|1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-2+2\right\|$
$=$	$\displaystyle 2\cdot\frac{1}{4}$
$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}$

	$\displaystyle A_2$
	↓ wie oben
$=$	$\displaystyle 2\left\|\int_{-1}^0\left((x+1)^3-1-x\right) \,dx\right\|$
$=$	$\displaystyle 2\left\| \left[\frac{1}{4}(x+1)^4-x-\frac{1}{2}x^2\right]_{-1}^0 \right\|$
$=$	$\displaystyle 2\left\| \frac{1}{4}(0+1)^4-0-\frac{1}{2}0^2-\frac{1}{4}(-1+1)^4-1+\frac{1}{2}(-1)^2 \right\|$
$=$	$\displaystyle 2\left\| \frac{1}{4}-1 +\frac{1}{2} \right\|$
$=$	$\displaystyle 2\left\| -\frac{1}{4} \right\|$
$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}$

Die Gesamtfläche ist wieder $A=A_1+A_2=1$ .

Lösung 3

Die Funktion $f$ geht aus $g(x)=x^3$ dadurch hervor, dass der Graph um je eine Einheit in $x$ - und $y$ -Richtung verschoben wird. Dieselbe Verschiebung ändert die Winkelhalbierende nicht. Daher ist die Fläche $A$ genauso groß wie die zwischen dem Graphen von $g$ und Ihrer Umkehrfunktion.

Dieselbe Überlegung wie bei Lösung 2 zeigt, dass die Fläche $A$ doppelt so groß ist wie die Fläche zwischen dem Graphen von $g$ und der Winkelhalbierenden.

$g$ ist außerdem punktsymmetrisch zum Ursprung, daher ist die Gesamtfläche viermal so groß wie die Fläche zwischen $g$ und $y=x$ im ersten Quadranten.

Die Schnittpunkte sind $(0;0)$ und $(1;1).$

Der Flächeninhalt unter der Winkelhalbierenden ist $\frac{1}{2}$ .

Der Flächeninhalt unter dem Graphen von $g$ ist $\int_0^1 x^3\, dx=\frac{1}{4}x^4\Big|_0^1=\frac{1}{4}$ .

Die Fläche dazwischen hat den Inhalt $\frac{1}{4}$ , und weil das ein Viertel der Gesamtfläche ist, ist $A=4\cdot\frac{1}{4}=1$ .

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2
raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Die beiden abgebildeten Graphen schneiden sich in drei Punkten, die jeweils ganzzahlige Koordinaten besitzen.

Zum "roten Graphen" gehört eine Funktion dritten Grades mit dem Hochpunkt $\mathrm{HOP=}\left(\left.0\;\right|\;1\right)$ und dem Tiefpunkt $\mathrm{TIP=}\left(\left.2\;\right|\;-3\right)$ .
Bestimme die jeweiligen Funktionsterme und die Schnittpunkte der Graphen.

Wie kannst du den gesamten Inhalt A der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?
Berechne nun A.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Steckbriefaufgabe
Funktionsterme bestimmen
Zum "roten Graphen" gehört eine Funktion dritten Grades $f(x)$ mit dem Hochpunkt $\mathrm{HP}\left(0|1\right)$ (hier ist $f'(x)=0$ ) und dem Tiefpunkt $\mathrm{TP}\left(2|-3\right)$ (hier ist $f'(x)=0$ ). Trage diese Informationen in eine Tabelle ein.
x
f(x)
f'(x)
(I)
0
1
(II)
0
0
(III)
2
-3
(IV)
2
0
Die allgemeine Funktion $3.$ Grades lautet:
$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ und die erste Ableitung ist dann:
$f'(x)=3ax^2+2bx+c$
Nach der Tabelle ergibt die Gleichung $\mathrm{(I)}$ :
$1=a\cdot 0+b\cdot 0+c \cdot 0+d\;\Rightarrow\;d=1$
Gleichung $\mathrm{(II)}$ ergibt: $0=3a\cdot 0+2b\cdot 0+c\;\Rightarrow\;c=0$
Gleichung $\mathrm{(III)}$ ergibt unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse:
$-3=a\cdot 2^3+b\cdot 2^2+0\cdot 2+1$ $\;\Rightarrow\;-3=8a+4b+1\;\Rightarrow\;-4=8a+4b$ $\;\Rightarrow\;-1=2a+b\;\Rightarrow\;b=-1-2a$
Gleichung $\mathrm{(IV)}$ ergibt unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse:
$0=3a\cdot 2^2+2b\cdot2+0\;\Rightarrow\;0=12a+4b\;\Rightarrow\;0=3a+b$
Das Ergebnis aus Gleichung $\mathrm{(III)}$ $b=-1-2a$ in $\mathrm{(IV)}$ $0=3a+b$ eingesetzt ergibt:
$0=3a+(-1-2a)=3a-1-2a=a-1\;\Rightarrow\;a=1$
Mit $a=1$ folgt in $\mathrm{(III)}:$ $b=-1-2\cdot1=-3$
Antwort: Die Funktion $3.$ Grades lautet: $f(x)=x^3-3x^2+1$
Zum "blauen Graphen" gehört eine lineare Funktion $g(x)$ . Aus der Abbildung kannst du die Steigung $m=1$ und den $y$ -Achsenabschnitt $t=-2$ ablesen: $\;\Rightarrow\;g(x)=x-2$
Antwort: Die Gleichung der linearen Funktion lautet: $g(x)=x-2$
Bestimmung der Schnittpunkte der beiden Graphen
"Die beiden abgebildeten Graphen schneiden sich in drei Punkten, die jeweils ganzzahlige Koordinaten besitzen". Deshalb können die Schnittpunkte aus der Abbildung abgelesen werden.
Antwort: Die Schnittpunkte haben folgende Koordinaten: $S_1(-1|-3); S_2(1|-1); S_3(3|1)$
Wie kannst du den gesamten Inhalt $A$ der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?
Flächeninhalt:
$A=A_1+A_2=\int_{-1}^{1}\left(f(x)-g(x)\right) \mathrm{d}x+\int_{1}^{3}\left(g(x)-f(x)\right) \mathrm{d}x$
Berechnung von $A$ :
$f(x)-g(x)=x^3-3x^2+1-(x-2)=x^3-3x^2-x+3$
$g(x)-f(x)=-(f(x)-g(x))=-(x^3-3x^2-x+3)=-x^3+3x^2+x-3$
$A_1=\int_{-1}^{1}\left(x^3-3x^2-x+3\right) \mathrm{d}x=\left[\frac{1}{4}\cdot x^4-x^3-\frac{1}{2}\cdot x^2+3x\right]_{-1}^{1}$
$=\left(\frac{1}{4}-1-\frac{1}{2}+3\right)-\left(\frac{1}{4}-(-1)-\frac{1}{2}+3\cdot(-1)\right)=1{,}75-(-2{,}25)=4$
$A_2=\int_{1}^{3}\left(-x^3+3x^2+x-3\right) \mathrm{d}x=\left[-\frac{1}{4}\cdot x^4+x^3+\frac{1}{2}\cdot x^2-3x\right]_{1}^{3}$
$=\left(-\frac{1}{4}\cdot3^4+3^3+\frac{1}{2}\cdot3^2-3\cdot 3\right)-\left(-\frac{1}{4}+1+\frac{1}{2}-3\right)=2{,}25-(-1{,}75)=4$
$A_{gesamt}=A_1+A_2=4+4=8$
Antwort: Der von den beiden Graphen eingeschlossene Flächeninhalt beträgt $8\;\mathrm{FE}$ .

	x	f(x)	f'(x)
(I)	0	1
(II)	0		0
(III)	2	-3
(IV)	2		0

Die Parabel mit dem Scheitel $\mathrm S=\left(-2\;\left|\;-3\right.\right)$ und der Graph der Funktion f mit $\mathrm f(\mathrm x)=1+0{,}5\cdot\mathrm x^3$ schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.

Bestimme den zur Parabel gehörenden Funktionsterm und alle Schnittpunkte.

Wie kannst du A als bestimmtes Integral schreiben? Berechne nun A.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen

Berechnung des zur Parabel gehörenden Funktionsterms

Gegeben ist der Scheitel $\mathrm S\left(-2\;\left|\;-3\right.\right)$ der Parabel. Benutze die Scheitelpunktsform.

$g(x)=a\cdot(x+2)^2-3$

Setze den aus der Abbildung abgelesenen Schnittpunkt mit der y-Achse $S_y(0|-1)$ ein.

$g(0)=-1$

$\Rightarrow\;g(0)=a\cdot(0+2)^2-3=4a-3=-1\;\Rightarrow\;4a=2\;\Rightarrow\;a=\frac{1}{2}$

$g(x)=\frac{1}{2}\cdot(x+2)^2-3=\frac{1}{2}\cdot(x^2+4x+4)-3=\frac{1}{2}\cdot x^2+2x-1$

Antwort: Die Parabel hat die Funktionsgleichung $g(x)=\frac{1}{2}\cdot x^2+2x-1$

Berechnung aller Schnittpunkte

Setze $f(x)=g(x)$ .

$\displaystyle 1+\frac{1}{2}\cdot x^3$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot x^2+2x-1$	$\displaystyle -\frac{1}{2}\cdot x^2-2x+1$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot x^3-\frac{1}{2}\cdot x^2-2x+2$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot 2$
$\displaystyle x^3- x^2-4x+4$	$=$	$\displaystyle 0$

Du hast eine Gleichung $3.$ Grades erhalten. Die Lösung erfolgt durch Polynomdivision.

Eine Lösung ist leicht zu finden (probieren):

Setze $x=1$ in die Gleichung ein $\;\Rightarrow\;1^3- 1^2-4\cdot1+4=0\;\checkmark$

Teile nun $(x^3- x^2-4x+4)$ durch den Linearfaktor $(x-1)$ :

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{l}\;\;\;(x^3- x^2-4x+4):(x-1)=x^2-4\\-\underline{(x^3-x^2)}\\\;\;\;\;0\;+\;0-4x+4\\\phantom{(x^3}\;\;\;\;\;-\underline{(-4x+4)}\\\phantom{(x^3-x^2-4}0\;+\;0\end{array}$

Die verbleibende Gleichung $x^2-4=0$ hat die beiden Lösungen $x_{2{,}3}=\pm2$ .

Berechne die Funktionswerte:

$f(1)=1+\frac{1}{2}\cdot 1^3=1{,}5$

$f(-2)=-3$ (siehe gegebenen Scheitelpunkt)

$f(2)=1+\frac{1}{2}\cdot 2^3=5$

Antwort: Die drei Schnittpunktskoordinaten lauten: $S_1(1|1{,}5); S_2(-2|-3); S_3(2|5)$

Wie kannst du $A$ als bestimmtes Integral schreiben?

Da drei Schnittpunkte existieren, gibt es zwei Flächen, die die beiden Graphen einschließen. (In der obigen Abbildung ist die zweite Fläche nicht sehr deutlich erkennbar.)

$A=A_1+A_2=\int_{-2}^1\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm{d}x+\int_{1}^2\left(g(x)-f(x)\right)\mathrm{d}x$

Berechnung von $A_1$

Die $2.$ Zeile bei der Schnittpunktsberechnung ergibt:

$f(x)-g(x)=\frac{1}{2}\cdot x^3-\frac{1}{2}\cdot x^2-2x+2$

$A_1=\int_{-2}^1\left(f(x)-g(x)\right)\mathrm{d}x$

Setze $f(x)-g(x)$ ein:

$A=\int_{-2}^1\left(\frac{1}{2}\cdot x^3-\frac{1}{2}\cdot x^2-2x+2\right)\mathrm{d}x=\left[\frac{1}{8}\cdot x^4-\frac{1}{6}\cdot x^3- x^2+2x\right]_{-2}^{1}$

$=\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{6}-1+2\right)-\left(\frac{1}{8}\cdot (-2)^4-\frac{1}{6}\cdot(-2)^3-(-2)^2+2\cdot(-2)\right)$

$=(-\frac{1}{24}+1)-(2+\frac{8}{6}-4-4)=-\frac{1}{24}+1-2-\frac{8}{6}+8=-\frac{8}{6}-\frac{1}{24}+7=7-\frac{33}{24}=\frac{45}{8}$

Berechnung von $A_2$

$A_2=\int_{1}^2\left(g(x)-f(x)\right)\mathrm{d}x$

$g(x)-f(x)=-(f(x)-g(x)=-(\frac{1}{2}\cdot x^3-\frac{1}{2}\cdot x^2-2x+2)=-\frac{1}{2}\cdot x^3+\frac{1}{2}\cdot x^2+2x-2$

Setze $g(x)-f(x)$ ein:

$A_2=\int_{1}^2\left(-\frac{1}{2}\cdot x^3+\frac{1}{2}\cdot x^2+2x-2\right)\mathrm{d}x=\left[-\frac{1}{8}\cdot x^4+\frac{1}{6}\cdot x^3+ x^2-2x\right]_{1}^{2}$

$=\left(-2+\frac{8}{6}+4-4\right)-\left(-\frac{1}{8}+\frac{1}{6}+1-2\right)$

$=(-2+\frac{8}{6})-(-\frac{1}{8}+\frac{1}{6}-1)=-2+\frac{8}{6}+\frac{1}{8}-\frac{1}{6}+1=-1+\frac{7}{6}+\frac{1}{8}=\frac{-24+28+3}{24}=\frac{7}{24}$

$A=A_1+A_2=\frac{45}{8}+\frac{7}{24}=\frac{71}{12}\approx5{,}92$

Antwort: Die beiden Graphen schließen eine Fläche mit dem Inhalt $A=\frac{71}{12}\approx5{,}92\; \mathrm{FE}$ ein.

Zur Veranschaulichung eine Abbildung, in der die beiden Flächen deutlich erkennbar sind.

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Gerade g und Parabel f im Koordinatensystem

Die abgebildete Parabel $f$ und Gerade $g$ schließen eine Fläche mit dem Inhalt $A$ ein.

Schraffiere diese Fläche.

Bestimme die Funktionsterme von $f$ und $g$ und die beiden Schnittpunkte ${\mathrm S}_1$ und ${\mathrm S}_2$ der Graphen.

Gib $A$ als bestimmtes Integral an und berechne dann $A$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen

Schraffiere diese Fläche

Funktionsterme von f und g

Berechnung des zur Parabel $f$ gehörenden Funktionsterms:

Der Scheitel der Parabel kann abgelesen werden: $S(0∣3)$

Benutze die Scheitelpunktsform:

$f(x)=a(x-0)^2+3=ax^2+3$

Weiterhin kann der Punkt $(-2|-1)$ abgelesen werden.

Setze den Punkt $(-2|-1)$ in $f(x)=ax^2+3$ ein:

$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle a\cdot(-2)^2+3$	$\displaystyle -3$
	↓	Löse nach $a$ auf.
$\displaystyle -4$	$=$	$\displaystyle 4a^{ }$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle -1$	$=$	$\displaystyle a$

Die Parabel hat die Funktionsgleichung $f(x)=-x^2+3$

Die Geradengleichung kann direkt abgelesen werden:

(Steigung $m=1$ und der y-Achsenabschnitt $t=1$ ):

$g(x)=x+1$

Berechnung der beiden Schnittpunkte ${\mathrm S}_1$ und ${\mathrm S}_2$ der Graphen

Setze $f(x)=g(x)$ .

$\displaystyle -x^2+3$	$=$	$\displaystyle x+1$	$\displaystyle +x^2$
	↓	Bringe alle Terme auf eine Seite.
$\displaystyle 3$	$=$	$\displaystyle x^2+x+1$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2+x-2$

Die Lösung dieser quadratischen Gleichung erfolgt mit der pq-Formel (oder auch mit der Mitternachtsformel).

Lies $p$ und $q$ ab:

$p=1$ und $q=-2$

$\displaystyle x_{1{,}2}$	$=$	$\displaystyle -\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$
	↓	Setze $p=1$ und $q=-2$ ein.
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+2}$
	$=$	$\displaystyle -\frac{1}{2}\pm\sqrt{2{,}25}$
	$=$	$\displaystyle -0{,}5\pm1{,}5$

Damit ist $x_1=-2$ und $x_2=1.$

Setze beide Werte z.B. in $g(x)$ ein, um die Funktionswerte der beiden Schnittpunkte zu erhalten:

$g(-2)=-2+1=-1 \;\Rightarrow\;S_1(-2|-1)$

$g(1)=1+1=2 \;\Rightarrow\;S_2(1|2)$

Die beiden Schnittpunkte ${\mathrm S}_1$ und ${\mathrm S}_2$ der Graphen sind $S_1(-2|-1)$ und $S_2(1|2)$ .

Gib A als bestimmtes Integral an

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{1} \left(f(x)-g(x)\right) \mathrm{d}x$
	↓	Setze $f(x)$ und $g(x)$ ein.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{1} \left(-x^2+3-(x+1)\right) \mathrm{d}x$
	↓	Löse die Klammer auf und fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\int_{-2}^{1} \left(-x^2-x+2)\right) \mathrm{d}x$
	$=$	$\displaystyle \left[-\dfrac{1}{3}x^3-\dfrac{1}{2}x^2+2x\right]_{-2}^{1}$
	$=$	$\displaystyle \left(-\dfrac{1}{3}\cdot 1^3-\dfrac{1}{2}\cdot1^2+2\cdot 1\right)-\left(-\dfrac{1}{3}\cdot(-2)^3-\dfrac{1}{2}\cdot(-2)^2+2\cdot (-2)\right)$
	↓	Löse die Klammern auf
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+2-\dfrac{8}{3}+2+4$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 8-\dfrac{9}{3}-0{,}5$
	$=$	$\displaystyle 8-3-0{,}5$
	$=$	$\displaystyle 4{,}5$

Die beiden Graphen schließen eine Fläche mit dem Inhalt $A= 4{,}5\;\text{FE }$ ein.

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Graphen von f und g im Koordinatensystem

Die Graphen der Funktionen $\mathrm f(\mathrm x)=2-\mathrm x^2$ und $\mathrm g(\mathrm x)=0{,}5\mathrm x^2+0{,}5$ schließen eine Fläche mit dem Inhalt A ein.

Schraffiere diese Fläche und berechne A.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenbestimmung mit Integralen

Schraffiere diese Fläche

Schnittpunkte berechnen

$f(x)=2-x^2$

$g(x)=0{,}5x^2+0{,}5$

Setze die beiden Funktionen gleich, um ihre Schnittstellen zu erhalten.

$\displaystyle f\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle g\left(x\right)$
	↓	Gleichung umformen.
$\displaystyle 2-x^2$	$=$	$\displaystyle 0{,}5x^2+0{,}5$	$\displaystyle -0{,}5x^2$
$\displaystyle 2-1{,}5x^2$	$=$	$\displaystyle 0{,}5$	$\displaystyle -2$
$\displaystyle -1{,}5x^2$	$=$	$\displaystyle -1{,}5$	$\displaystyle :\left(-1{,}5\right)$
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle 1$

$x^2=1\;\Rightarrow\;x=\pm1$

Die Schnittstellen sind also $x=\pm 1.$

Flächenbestimmung

Aus der Skizze ersieht man, dass $f$ die obere Funktion ist.

$\displaystyle A$	$=$	$\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^1(f(x)-g(x))\mathrm{d}x$
	↓	Bestimme die Fläche, indem über die Differenzfunktion integriert wird. Setze $f(x)-g(x)=1{,}5-1{,}5x^2$ ein.
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\int_{-1}^1(1{,}5-1{,}5x^2)\mathrm{d}x$
	$=$	$\displaystyle \displaystyle\left[1{,}5x-0{,}5x^3\right]_{-1}^{1}$
	↓	Setze die Grenzen ein. Ziehe die untere Grenze von der oberen Grenze ab.
	$=$	$\displaystyle \left(1{,}5\cdot 1-0{,}5\cdot 1^3\right)-\left(1{,}5\cdot(-1)-0{,}5\cdot(-1)^3\right)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 1{,}5-0{,}5-(-1{,}5+0{,}5)$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle 1-(-1)$
	$=$	$\displaystyle 2$

Die eingeschlossene Fläche $A$ zwischen den beiden Funktionen beträgt also $2\;\text{FE}$ .

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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch
Das Bild zeigt die Graphen der beiden Funktionen $\mathrm f(\mathrm x)=0{,}5\mathrm x^2+2$ und $\mathrm g(\mathrm x)=-0{,}5\mathrm x+1$ .
Man erkennt: $\mathrm f(\mathrm x)>\mathrm g(\mathrm x)$ für alle $\mathrm x\in\mathbb{R}$ .
Berechne den Inhalt A der Fläche zwischen den beiden Graphen und den Grenzen ${\mathrm x}_1=-1$ und ${\mathrm x}_2=1{,}5$ .
Zeichne diese Fläche ein.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenberechnung mit Integralen
Um diese Aufgabe zu lösen, muss die Differenzfunktion $f\left(x\right)\ -\ g\left(x\right)$ gebildet werden. Für diese erhalten wir:
$f\left(x\right)-g\left(x\right)\ =\ 0{,}5x^2+2\ -\left(-0{,}5x+1\right)$
$\displaystyle=\ 0{,}5x^2+2+0{,}5x-1\ =\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1$ .
Die Fläche zwischen der $x-$ Achse und dieser Funktion gibt uns den Flächeninhalt für die Fläche zwischen den beiden gegebenen Funktionen. Dadurch wird auch deutlich, dass die untere von der oberen Funktion subtrahiert werden muss. Würde man die obere von der unteren Funktion subtrahieren, so würden wir ein negatives Ergebnis für die Fläche erhalten, was offensichtlich nicht sein kann.
Da die Differenzfunktion im Intervall $[-1;1{,}5]$ keine Nullstellen besitzt, kann sofort das Integral von $-1$ bis $1{,}5$ berechnet werden.
$\def\arraystretch{2} \begin{aligned} &\displaystyle\int_{-1}^{1{,}5} \left(\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x+1\right)\, dx \\ =&\displaystyle\left[\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{4}x^2+x\right]_{-1}^{3/2}\\ =&\left(\frac{1}{6}\cdot\frac{27}{8}+\frac{1}{4}\cdot\frac{9}{4}+\frac{3}{2}\right)-\left(\frac{1}{6}(-1)+\frac{1}{4}\cdot 1 -1\right)\\ =&\frac{9}{16}+\frac{9}{16}+\frac{3}{2}+\frac{1}{6}-\frac{1}{4}+1\\ =& \frac{27+27+72+8-12+48}{48}\\ =&\frac{170}{48}\\ =&\frac{85}{24} \end{aligned}$

$f(x)=\frac19x^4-\frac89x^3+2x^2,D_f=\mathbb{R}$

Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das $G_f$ und die x-Achse einschließen.

$f_t(x)=-\frac19(t-3)x^2+t,D_{f_t}=\mathbb{R},\;t\in\mathbb{R}$

Berechne den Inhalt der Fläche, die zwischen der x-Achse und $G_{f_t}$ liegt.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Nullstellen berechnen

$\displaystyle f_t(x)$	$=$	$\displaystyle -\frac19(t-3)x^2+t$
	↓	Setze die Funktion $f_t$ gleich 0.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac19(t-3)x^2+t$
	↓	Man löst die Klammer auf.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle -\frac{t\cdot x^2}9+\frac{3\cdot x^2}9+t$	$\displaystyle -t;\;\cdot9$
$\displaystyle -9\cdot t$	$=$	$\displaystyle -t\cdot x^2+3\cdot x^2$
	↓	$x^2$ ausklammern.
$\displaystyle -9\cdot t$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot\left(-t+3\right)$
	↓	$\vert:(-t+3)$ für alle $t\neq3.$ Sonderfall: $t=3$ $\Rightarrow$ $f_{3}=3$ konstant ohne Nullstelle.
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle \frac{-9\cdot t}{-t+3}$
	↓	Ziehe die Wurzel, um die Nullstellen zu bestimmen.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \pm\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}$
	↓	Die Wurzel ist nur für nicht negativen Radikanten definiert. Dieser ist positiv, wenn $t>3$ oder $t<0$ ist. Für diesen Fall existieren also zwei Nullstellen.

Falls $t=0$ ist, gibt es lediglich eine Nullstelle.

Eine Fläche wird also nur im Fall $t>3$ oder $t<0$ eingeschlossen. Diese wird dann mit einem bestimmten Integral bestimmt.

$\displaystyle A'$	$=$	$\displaystyle \int\limits_{-\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}^{\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}\left(-\frac{t\cdot x^2}9+\frac{3\cdot x^2}9+t\right)\mathrm{d}x$
	↓	Nun wird die gesuchte Fläche $A=\|A'\|$ mittels Integration bestimmt.
	$=$	$\displaystyle \left[-\frac{t\cdot x^3}{9\cdot3}+\frac{3\cdot x^3}{9\cdot3}+tx\right]_{-\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}^{\sqrt{\frac{9\cdot t}{t-3}}}$

$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{8}{9}\right)^2-4\cdot\frac{1}{9}\cdot2$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{64}{81}-\frac{8}{9}$
	↓	Brüche subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle -\frac{8}{81}$

Aufgaben zu Flächenberechnung mit Integralen

Lösung 1

Flächenberechnung

Lösung 2

Lösung 3

Funktionsterme bestimmen

Bestimmung der Schnittpunkte der beiden Graphen

Wie kannst du den gesamten Inhalt AAA der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?

Flächeninhalt:

Berechnung von AAA:

Berechnung des zur Parabel gehörenden Funktionsterms

Berechnung aller Schnittpunkte

Wie kannst du AAA als bestimmtes Integral schreiben?

Berechnung von A1A_1A1​

Berechnung von A2A_2A2​

Schraffiere diese Fläche

Funktionsterme von f und g

Berechnung der beiden Schnittpunkte S1{\mathrm S}_1S1​ und S2{\mathrm S}_2S2​ der Graphen

Gib A als bestimmtes Integral an

Schraffiere diese Fläche

Schnittpunkte berechnen

Flächenbestimmung

Nullstellen berechnen

zusätzlicher Graph der Funktion

Wie kannst du den gesamten Inhalt $A$ der von den beiden Graphen eingeschlossenen Fläche mit bestimmten Integralen angeben?

Berechnung von $A$ :

Wie kannst du $A$ als bestimmtes Integral schreiben?

Berechnung von $A_1$

Berechnung von $A_2$

Berechnung der beiden Schnittpunkte ${\mathrm S}_1$ und ${\mathrm S}_2$ der Graphen