Skizze des Sachverhalts:

Die beiden Teilflächen sollen die gleichen Flächeninhalte besitzen.

Berechnet werden muss das Integral von $0$ bis $6$ über die Differenz der beiden Funktionen. Setzt man dieses Integral gleich null, dann müssen die beiden Teilflächen gleich groß sein.

$${\displaystyle {\int }_0^6(f(x)-g(x))dx=0}$$

$${\displaystyle {\int }_0^6(\frac{1}{6}{x}^3-2x^2+6x-m\cdot x)dx={[{\displaystyle \frac{1}{24}}{x}^4-{\displaystyle \frac{2}{3}}{x}^3+3x^2-{\displaystyle \frac{m}{2}}{x}^2]}_0^6=0}$$

Setze die obere Grenze ein (die untere Grenze eingesetzt ergibt den Wert $0$):

${\displaystyle \frac{1}{24}}\cdot 6^4-{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 6^3+3\cdot 6^2-{\displaystyle \frac{m}{2}}\cdot 6^2=0$

$54-144+108-18m=0\Rightarrow 18-18m=0\Rightarrow m=1$

Für $m=1$ besitzen die beiden Teilflächen den gleichen Flächeninhalt.