Skizze des Sachverhalts:

Die beiden Teilflächen sollen die gleichen Flächeninhalte besitzen.

Berechnet werden muss das Integral von $0$ bis $6$ über die Differenz der beiden Funktionen. Setzt man dieses Integral gleich null, dann müssen die beiden Teilflächen gleich groß sein.

$\displaystyle\int_{0}^6\left(f(x)-g(x)\right)\;dx=0$

$\displaystyle\int_{0}^6\left(\frac{1}{6}x^3-2x^2+6x-m\cdot x\right)\;dx=\left[\dfrac{1}{24}x^4-\dfrac{2}{3}x^3+3x^2-\dfrac{m}{2}x^2\right]_0^6=0$

Setze die obere Grenze ein (die untere Grenze eingesetzt ergibt den Wert $0$):

$\dfrac{1}{24}\cdot 6^4-\dfrac{2}{3}\cdot 6^3+3\cdot 6^2-\dfrac{m}{2}\cdot6^2=0$

$54-144+108-18m=0\;\Rightarrow\;18-18m=0\;\Rightarrow\;m=1$

Für $m=1$ besitzen die beiden Teilflächen den gleichen Flächeninhalt.