Skizze des Sachverhalts:

Die beiden Teilflächen sollen die gleichen Flächeninhalte besitzen.

Berechnet werden muss das Integral von $00$ bis $66$ über die Differenz der beiden Funktionen. Setzt man dieses Integral gleich null, dann müssen die beiden Teilflächen gleich groß sein.

${\displaystyle {\int }_0^6(f(x)-g(x))dx=0}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^6\backslash left(f(x)-g(x)\backslash right)\backslash ;dx=0$

${\displaystyle {\int }_0^6(\frac{1}{6}{x}^3-2x^2+6x-m\cdot x)dx={[\frac{1}{24}{x}^4-\frac{2}{3}{x}^3+3x^2-\frac{m}{2}{x}^2]}_0^6=0}\backslash displaystyle\backslash int\_\{0\}^6\backslash left(\backslash frac\{1\}\{6\}x^3-2x^2+6x-m\backslash cdot\; x\backslash right)\backslash ;dx=\backslash left[\backslash dfrac\{1\}\{24\}x^4-\backslash dfrac\{2\}\{3\}x^3+3x^2-\backslash dfrac\{m\}\{2\}x^2\backslash right]\_0^6=0$

Setze die obere Grenze ein (die untere Grenze eingesetzt ergibt den Wert $00$):

${\displaystyle \frac{1}{24}}\cdot 6^4-{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 6^3+3\cdot 6^2-{\displaystyle \frac{m}{2}}\cdot 6^2=0\backslash dfrac\{1\}\{24\}\backslash cdot\; 6^4-\backslash dfrac\{2\}\{3\}\backslash cdot\; 6^3+3\backslash cdot\; 6^2-\backslash dfrac\{m\}\{2\}\backslash cdot6^2=0$

$54-144+108-18m=0\Rightarrow 18-18m=0\Rightarrow m=154-144+108-18m=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;18-18m=0\backslash ;\backslash Rightarrow\backslash ;m=1$

Für $m=1m=1$ besitzen die beiden Teilflächen den gleichen Flächeninhalt.