Flächeninhalt und bestimmtes Integral

Sei die Funktion $f: x\mapsto (x+1)^3-1$ gegeben. Bestimme die Fläche, die von $f$ und ihrer Umkehrfunktion $f^{- 1}$ eingeschlossen wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Umkehrfunktion

Lösung 1

Bestimme jetzt die Umkehrfunktion

Bei der Bestimmung der Umkehrfunktion von $f$ wirst du die Umkehrung der dritten Potenz brauchen. Daher gibt es schon mal eine Berechnung dazu.

Damit kennst du die Umkehrung der dritten Potenz: ist $f (x) = x^{3}$ , so ist

$f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$ für $x\ge 0$ und

$f^{-1}(x)=-\sqrt[3]{-x}=-(-x)^{1/3}$ für $x < 0$ .

Berechnung der Umkehrfunktion von $f$

Unterscheide die Fälle $x+1\ge 0 \Leftrightarrow x\ge-1$ und $x < - 1$ .

Für $x\ge-1$ hast du

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \left(x+1\right)^3-1$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle y+1$	$=$	$\displaystyle \left(x+1\right)^3$	$\displaystyle \sqrt[3]{}$
$\displaystyle \sqrt[3]{y+1}$	$=$	$\displaystyle x+1$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle \sqrt[3]{y+1}-1$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle f^{-1}\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{x+1}-1$
	$=$	$\displaystyle (x+1)^{1/3}-1$

Für $x < - 1$ ist entsprechend

$\displaystyle y$	$=$	$\displaystyle \left(x+1\right)^3-1$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle y+1$	$=$	$\displaystyle \left(x+1\right)^3$
	↓	Umkehren wie oben
$\displaystyle -\sqrt[3]{-(y+1)}$	$=$	$\displaystyle x+1$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle -\sqrt[3]{-(y+1)}-1$	$=$	$\displaystyle x$
$\displaystyle f^{-1}\left(x\right)$	$=$	$\displaystyle -\sqrt[3]{-(x+1)}-1$
	$=$	$\displaystyle -(-(x+1))^{1/3}-1$

Flächenberechnung

Bestimme die Schnittpunkte. Weil $\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^3=\left(-\sqrt[3]{-(x+1)}\right)^3=x+1$ ist, reicht eine Rechnung ab der dritten Zeile:

$\displaystyle \left(x+1\right)^3-1$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{x+1}-1$	$\displaystyle +1$
$\displaystyle \left(x+1\right)^3$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{x+1}$	$\displaystyle \ ^3$
	↓	Sei $x \neq -1$ .
$\displaystyle \left(x+1\right)^9$	$=$	$\displaystyle x+1$	$\displaystyle :\left(x+1\right)$
$\displaystyle \left(x+1\right)^8$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle \sqrt[8]{}$
$\displaystyle x+1$	$=$	$\displaystyle \pm1$	$\displaystyle -1$
$\displaystyle x_1$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle x_2$	$=$	$\displaystyle -2$
	↓	Betrachte den Fall $x = - 1$ .
$\displaystyle \left(-1+1\right)^3-1$	$=$	$\displaystyle \sqrt[3]{-1+1}-1$
$\displaystyle x_3$	$=$	$\displaystyle -1$

Berechne jetzt die Fläche $A$ zwischen den Graphen von Schnittpunkt zu Schnittpunkt zunächst für $x\ge-1$ . Für $-1\le x\le0$ ist $f(x)\le f^{-1}(x)$ .

$\displaystyle A_1$	$=$	$\displaystyle \int_{-1}^0\left\|f\left(x\right)-f^{-1}\left(x\right)\right\|\,dx$
	$=$	$\displaystyle \int_{-1}^0\left(\sqrt[3]{x+1}-1-\left(x+1\right)^3+1\right)\, dx$
	$=$	$\displaystyle \int_{-1}^0\left(({x+1})^{1/3}-\left(x+1\right)^3\right)\, dx$
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{1+\frac{1}{3}}\left(x+1\right)^{\frac{1}{3}+1}-\frac{1}{4}\left(x+1\right)^4\right]_{-1}^0$
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}\left(0+1\right)^{4/3}-\frac{1}{4}\left(0+1\right)^4-\frac{3}{4}\left(-1+1\right)^{4/3}+\frac{1}{4}\left(-1+1\right)^4$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Im Bereich $-2\le x\le-1$ ist $f^{-1}(x)\le f(x)$ . Wie du sofort durch Ableiten bestätigst, ist $\displaystyle\frac{3}{4}(-(x-1))^{4/3}$ eine Stammfunktion zu $f^{-1}(x).$

$\displaystyle A_2$	$=$	$\displaystyle \int_{-2}^{-1}\left\|f\left(x\right)-f^{-1}\left(x\right)\right\|\,dx$
	$=$	$\displaystyle \int_{-2}^{-1}\left(x+1\right)^3-1-\left(-\sqrt[3]{-(x+1)}-1\right)\, dx$
	$=$	$\displaystyle \int_{-2}^{-1}\left((x+1)^3+\left(-(x+1)\right)^{1/3}\right)\, dx$
	$=$	$\displaystyle \left[\frac{1}{4}\left(x+1\right)^{4}-\frac{3}{4}\left(-(x+1)\right)^{4/3}\right]_{-2}^{-1}$
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{4}\left(-1+1\right)^{4}-\frac{3}{4}\left(-1+1\right)^{4/3}-\frac{1}{4}\left(-2+1\right)^{4}+\frac{3}{4}\left(-2+1\right)^{4/3}$
	$=$	$\displaystyle -\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}$
	$=$	$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Die Gesamtfläche $A$ ist also $\displaystyle A=A_1+A_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ .

In der Skizze erkennt man den Verlauf der Graphen von $f$ und $f^{- 1}$ .

Lösung 2

Die Graphen von Funktion und Umkehrfunktion gehen durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden auseinander hervor. Daher müssen ihre Schnittpunkte auf der Winkelhalbierenden $y = x$ liegen und können durch den Schnitt des Graphen von $f$ mit der Geraden $y = x$ berechnet werden. Da die Graphen von $f$ und $f^{- 1}$ die Winkelhalbierende als Symmetrieachse besitzen, ist die Fläche zwischen Ihnen genau doppelt so groß wie die Fläche zwischen dem Graphen von $f$ und der Winkelhalbierenden.

Berechnung der Schnittpunkte

$\displaystyle f(x)$	$=$	$\displaystyle x$
	↓	Ausmultiplizieren
$\displaystyle x^3+3x^2+3x+1-1$	$=$	$\displaystyle x$	$\displaystyle -x$
	↓	Ordnen
$\displaystyle x^3+3x^2+2x$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	x ausklammern
$\displaystyle x(x^2+3x+2)$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	p-q-Formel oder raten
$\displaystyle x(x+1)(x+2)$	$=$	$\displaystyle 0$

Die Schnittpunkte sind also $(- 2; - 2)$ , $(- 1; - 1)$ und $(0; 0)$ .

Flächenberechnung

Die Berechnung der Fläche wird wieder in zwei Schritten vorgenommen.

	$\displaystyle A_1$
	↓ wegen der Symmetrie wird das Integral verdoppelt
$=$	$\displaystyle 2\left\|\int_{-2}^{-1}\left((x+1)^3-1-x\right)\, dx\right\|$
$=$	$\displaystyle 2\left\|\left[\frac{1}{4}(x+1)^4-x-\frac{1}{2}x^2\right]_{-2}^{-1}\right\|$
$=$	$\displaystyle 2\left\|\frac{1}{4}(-1+1)^4-(-1)-\frac{1}{2}(-1)^2-\frac{1}{4}(-2+1)^4+(-2)+\frac{1}{2}(-2)^2\right\|$
$=$	$\displaystyle 2\left\|1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-2+2\right\|$
$=$	$\displaystyle 2\cdot\frac{1}{4}$
$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}$

	$\displaystyle A_2$
	↓ wie oben
$=$	$\displaystyle 2\left\|\int_{-1}^0\left((x+1)^3-1-x\right) \,dx\right\|$
$=$	$\displaystyle 2\left\| \left[\frac{1}{4}(x+1)^4-x-\frac{1}{2}x^2\right]_{-1}^0 \right\|$
$=$	$\displaystyle 2\left\| \frac{1}{4}(0+1)^4-0-\frac{1}{2}0^2-\frac{1}{4}(-1+1)^4-1+\frac{1}{2}(-1)^2 \right\|$
$=$	$\displaystyle 2\left\| \frac{1}{4}-1 +\frac{1}{2} \right\|$
$=$	$\displaystyle 2\left\| -\frac{1}{4} \right\|$
$=$	$\displaystyle \displaystyle\frac{1}{2}$

Die Gesamtfläche ist wieder $A = A_{1} + A_{2} = 1$ .

Lösung 3

Die Funktion $f$ geht aus $g (x) = x^{3}$ dadurch hervor, dass der Graph um je eine Einheit in $x$ - und $y$ -Richtung verschoben wird. Dieselbe Verschiebung ändert die Winkelhalbierende nicht. Daher ist die Fläche $A$ genauso groß wie die zwischen dem Graphen von $g$ und Ihrer Umkehrfunktion.

Dieselbe Überlegung wie bei Lösung 2 zeigt, dass die Fläche $A$ doppelt so groß ist wie die Fläche zwischen dem Graphen von $g$ und der Winkelhalbierenden.

$g$ ist außerdem punktsymmetrisch zum Ursprung, daher ist die Gesamtfläche viermal so groß wie die Fläche zwischen $g$ und $y = x$ im ersten Quadranten.

Die Schnittpunkte sind $(0; 0)$ und $(1; 1) .$

Der Flächeninhalt unter der Winkelhalbierenden ist $\frac{1}{2}$ .

Der Flächeninhalt unter dem Graphen von $g$ ist $\int_0^1 x^3\, dx=\frac{1}{4}x^4\Big|_0^1=\frac{1}{4}$ .

Die Fläche dazwischen hat den Inhalt $\frac{1}{4}$ , und weil das ein Viertel der Gesamtfläche ist, ist $A=4\cdot\frac{1}{4}=1$ .

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