Aufgaben zu Flächenberechnung mit Integralen

Gegeben sind die beiden Funktionen $f_a(x)=a-\dfrac{x^2}{a}$ und $g_{a} (x) = a^{3} - a x^{2}$ mit $a > 1$ .

Berechne das Flächenstück $A (a)$ oberhalb der x-Achse, das von den Graphen der beiden Funktionen $f_{a}$ und $g_{a}$ begrenzt wird.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Flächenbestimmung mit Integralen

Setze die beiden Funktionen gleich, um ihre Schnittstellen zu erhalten.

$\displaystyle f_a(x)$	$=$	$\displaystyle g_a(x)$
$\displaystyle a-\dfrac{x^2}{a}$	$=$	$\displaystyle a^3-ax^2$	$\displaystyle \cdot a$
	↓	Bringe alle Terme mit $x$ auf eine Seite.
$\displaystyle a^2-x^2$	$=$	$\displaystyle a^4-a^2x^2$	$\displaystyle +a^2x^2$
$\displaystyle a^2-x^2+a^2x^2$	$=$	$\displaystyle a^4$	$\displaystyle -a^2$
$\displaystyle -x^2+a^2x^2$	$=$	$\displaystyle a^4-a^2$
	↓	Klammere auf der linken Seite $x^{2}$ aus. Klammere auf der rechen Seite $a^{2}$ aus.
$\displaystyle x^2(a^2-1)$	$=$	$\displaystyle a^2(a^2-1)$	$\displaystyle :(a^2-1)$
	↓	Da $a > 1$ ist, kann durch $(a^{2} - 1)$ geteilt werden.
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle \dfrac{a^2(a^2-1)}{(a^2-1)}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle x^2$	$=$	$\displaystyle a^2$

$\;\Rightarrow\;$ $x_{1} = - a$ und $x_{2} = a$

Setze $x_{1}$ und $x_{2}$ z.B. in $f_{a} (x)$ ein, um die y-Koordinaten der Schnittpunkte zu erhalten.

$\;\Rightarrow\; S_1(-a|0)$

$\;\Rightarrow\; S_2(a|0)$

Die beiden Funktionen $f_{a}$ und $g_{a}$ sind symmetrisch zur y-Achse.

Es ist $g_{a} (0) = a^{3}$ und $f_{a} (0) = a$ . Wegen $a > 1$ ist $g_{a}$ die obere Funktion.

Der Flächeninhalt wird berechnet, indem über die Differenzfunktion integriert wird.

Der gesuchte Flächeninhalt kann wegen der Symmetrie zur y-Achse in zwei gleich große Teilflächen aufgeteilt werden.

$\displaystyle A(a)$	$=$	$\displaystyle 2\cdot\displaystyle \int_{0}^{a} \left(g_a(x)-f_a(x) \right)\mathrm{d}x$
	↓	Setze $g_a(x)-f_a(x)=a^3-ax^2-a+\dfrac{x^2}{a}$ ein.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\displaystyle \int_{0}^{a} \left(a^3-ax^2-a+\dfrac{x^2}{a} \right)\mathrm{d}x$
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left[a^3x-a\dfrac{x^3}{3}-ax+\dfrac{x^3}{3a}\right]_{0}^{a}$
	↓	Setze die Grenzen ein. Ziehe die untere Grenze von der oberen Grenze ab.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot \left(\left(a^4-\dfrac{a^4}{3}-a^2+\dfrac{a^3}{3a}\right)-\left(0-0-0+0\right)\right)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot\left(\dfrac{2}{3}a^4-\dfrac{2}{3}a^2\right)$
	↓	Klammere $\dfrac{2}{3}a^2$ aus.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}a^2(a^2-1)$

Die eingeschlossene Fläche zwischen den beiden Funktionen beträgt:

\displaystyle A(a)=\dfrac{4}{3}a^2(a^2-1)

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Wie groß ist der eingeschlossene Flächeninhalt, wenn $a = 3$ ist?

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$\displaystyle A(a)$	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}a^2(a^2-1)$
	↓	Setze $a = 3$ ein.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}\cdot3^2\cdot(3^2-1)$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \dfrac{4}{3}\cdot9\cdot(9-1)$
	↓	Kürze mit $3$ .
	$=$	$\displaystyle 12\cdot 8$
	$=$	$\displaystyle 96$