Flächeninhalt und bestimmtes Integral

…

$f (x) = \frac{1}{9} x^{4} - \frac{8}{9} x^{3} + 2 x^{2}, D_{f} = ℝ$

Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das $G_{f}$ und die x-Achse einschließen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: uneigentliches Integral

Nullstellen berechnen

Berechne zunächst die Nullstellen der Funktion $f (x) = \frac{1}{9} x^{4} - \frac{8}{9} x^{3} + 2 x^{2}$ .

$0$	$=$	$f (x)$
$0$	$=$	$\frac{1}{9} x^{4} - \frac{8}{9} x^{3} + 2 x^{2}$
	↓	$x^{2}$ ausklammern.
$0$	$=$	$x^{2} \cdot (\frac{1}{9} x^{2} - \frac{8}{9} x^{1} + 2)$

Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei $x = 0$ .

Im Weiteren wird nur das Innere der Klammer betrachtet.

$0 = \frac{1}{9} x^{2} - \frac{8}{9} x^{1} + 2$

Um zu testen, ob weitere Nullstellen existieren, bestimmst du z.B. die Diskriminante. Wenn die Diskriminate negativ ist, gibt es keine weiteren Nullstellen.

$D$	$=$	${(- \frac{8}{9})}^{2} - 4 \cdot \frac{1}{9} \cdot 2$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\frac{64}{81} - \frac{8}{9}$
	↓	Brüche subtrahieren.
	$=$	$- \frac{8}{81}$

$\Rightarrow$ Da die Diskriminante negativ ist, gibt es keine weiteren Nullstellen

$\Rightarrow$ Da es nur eine (doppelte) Nullstelle gibt, die Funktionswerte nicht-negativ sind und die Funktion $\lim_{x \to + \infty}$ gegen + $\infty$ strebt, ist das Integral $\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x$ und somit die Fläche zwischen Graph und x-Achse unendlich groß.

zusätzlicher Graph der Funktion

Die blaue Fläche zeigt, dass der Flächeninhalt, der vom Graphen von $f$ und der x-Achse eingeschlossen wird, unendlich ist.

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