Flächeninhalt und bestimmtes Integral

…

$f(x)=\frac19x^4-\frac89x^3+2x^2,D_f=\mathbb{R}$

Berechne den Inhalt des Flächenstücks, das $G_f$ und die x-Achse einschließen.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: uneigentliches Integral

Nullstellen berechnen

Berechne zunächst die Nullstellen der Funktion $f(x)=\frac{1}{9}x^4-\frac{8}{9}x^3+2x^2$ .

$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle f\left(x\right)$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle \frac{1}{9}x^4-\frac{8}{9}x^3+2x^2$
	↓	$x^2$ ausklammern.
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle x^2\cdot\left(\frac{1}{9}x^2-\frac{8}{9}x^1+2\right)$

Die Funktion hat eine doppelte Nullstelle bei $x=0$ .

Im Weiteren wird nur das Innere der Klammer betrachtet.

$0=\frac{1}{9}x^2-\frac{8}{9}x^1+2$

Um zu testen, ob weitere Nullstellen existieren, bestimmst du z.B. die Diskriminante. Wenn die Diskriminate negativ ist, gibt es keine weiteren Nullstellen.

$\displaystyle D$	$=$	$\displaystyle \left(-\frac{8}{9}\right)^2-4\cdot\frac{1}{9}\cdot2$
	↓	Ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{64}{81}-\frac{8}{9}$
	↓	Brüche subtrahieren.
	$=$	$\displaystyle -\frac{8}{81}$

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Da die Diskriminante negativ ist, gibt es keine weiteren Nullstellen

$\;\;\Rightarrow\;\;$ Da es nur eine (doppelte) Nullstelle gibt, die Funktionswerte nicht-negativ sind und die Funktion $\displaystyle\underset{x\rightarrow+\infty}{\lim f(x)}$ gegen + $\infty$ strebt, ist das Integral $\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x)\mathrm{d}x$ und somit die Fläche zwischen Graph und x-Achse unendlich groß.

zusätzlicher Graph der Funktion

Die blaue Fläche zeigt, dass der Flächeninhalt, der vom Graphen von $f$ und der x-Achse eingeschlossen wird, unendlich ist.

Hast du eine Frage oder Feedback?

Bitte melde dich an, um diese Funktion zu benutzen.