Tipp: Wenn du dir nicht sicher bist, wie die Formel für den Oberflächeninhalt eines Quaders lautet, überlege dir, welche Seitenflächen gleich sind und wie du diese jeweils berechnen kannst.

Oberflächeninhalt

Der Oberflächeninhalt beider Körper wird hier berechnet und anschließend verglichen.

Oberfläche des Quaders

Die Formel zur Berechnung der Oberfläche eines Quaders lautet:

$O = 2\cdot l\cdot b + 2\cdot l \cdot h + 2\cdot b \cdot h$

Für den Quader links sind:

• $l = 8\text{cm}$

• $b = 5\text{cm}$

• $h = 3\text{cm}$

Diese Werte werden in die Formel eingesetzt:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lclclcl}O & = & 2\cdot 8\text{cm} \cdot 5\text{cm} & + & 2 \cdot 8\text{cm} \cdot 3\text{cm} & + & 2 \cdot 5\text{cm} \cdot 3\text{cm} \\& = & 80\text{cm}^2 & + & 48\text{cm}^2 & + & 30\text{cm}^2 \\& = & 158\text{cm}^2 \end{array}$

Der Oberflächeninhalt des Quaders beträgt also $158\text{cm}^2$

Oberfläche des Würfels

Für den Würfel rechts ist die Kantenlänge $a = 5\text{cm}$. Die Fläche $A$ einer Seite kann wie folgt berechnet werden:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}A & = & a \cdot a \\& = & 5\text{cm} \cdot 5\text{cm} \\& = & 25 \text{cm}^2\end{array}$

Da bei einem Würfel alle $6$ Seitenflächen gleich groß sind, ergibt sich für die Oberfläche:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}O & = & 6 \cdot 25\text{cm}^2 \\& = & 150\text{cm}^2 \end{array}$

Der Oberflächeninhalt des Würfels beträgt also $150\text{cm}^2$.

Vergleich

Der Oberflächeninhalt des linken Quaders $\left(158\text{cm}^2\right)$ ist größer als der Oberflächeninhalt des rechten Würfels $\left(150\text{cm}^2\right)$.

Volumen

Das Volumen der beiden Körper wird hier berechnet, um beide Volumina vergleichen zu können.

Volumen des Quaders

Das Volumen eines Quaders lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

Aus der Skizze, oder aus Aufgabe (a), kannst du folgende Werte ablesen:

• $l = 8$cm

• $b = 5$cm

• $h = 3$cm

Diese Werte kannst du nun in die Formel einsetzen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}V & = & 8\text{cm} \cdot 5\text{cm} \cdot 3\text{cm} \\& = & 120\text{cm}^3 \end{array}$

Das Volumen des Quaders links beträgt also $120\text{cm}^3$.

Volumen des Würfels

Das Volumen eines Würfels lässt sich mit der folgenden Formel berechen:

Der Würfel aus der Skizze links hat eine Kantenlänge $a = 5$cm. Diesen Wert kannst du nun in die Formel einsetzen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{lcl}V & = & 5\text{cm} \cdot 5\text{cm} \cdot 5\text{cm} \\& = & 125\text{cm}^3 \end{array}$

Das Volumen des Würfels rechts beträgt also $125\text{cm}^3$.

Erkenntnis

Der Quader hat somit ein kleineres Volumen $\left(120\text{cm}^3\right)$ als der Würfel $\left(125\text{cm}^3\right)$, obwohl der Oberflächeninhalt des Quaders $\left(158\text{cm}^2\right)$ größer ist als der Oberflächeninhalt des Würfels $\left(150\text{cm}^2\right)$.

Eine Größere Oberfläche bedeutet also nicht zwingend ein größeres Volumen!