Aufgaben zur Kreisgleichung - lernen mit Serlo!

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In der Ebene berührt ein Kreis von Radius $6$ die $x$ -Achse im Ursprung von unten. Begründe, dass für die Kreisgleichung gilt:

$y^{2} = - x^{2} - 12 \cdot y$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis und Kugel

1) Überlege Dir, wie der Kreis mit dem Radius $r = 6$ im Koordinatensystem liegen muss, damit die x-Achse im Ursprung von unten berührt wird. So findest Du die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ .

Berührt der Kreis mit dem Radius $r = 6$ die x-Achse im Ursprung von unten , so muss der Kreismittelpunkt im Punkt $M (0 | - 6)$ liegen.

2) Setze in die Kreisgleichung die Koordinaten von $M$ und den Radius ein und löse nach $y^{2}$ auf.

$K : (x - m_{1})^{2} + (y - m_{2})^{2} = r^{2} \Rightarrow (x - 0)^{2} + (y - (- 6))^{2} = 6^{2}$

x^{2} + (y + 6)^{2} = 36 \Rightarrow x^{2} + y^{2} + 12 y + 36 = 36 \Rightarrow

y^{2} = - x^{2} - 12 y

Du hast nun die in der Aufgabenstellung angegebene Kreisgleichung erhalten.

Antwort: Ein Kreis von Radius $6$ der die $x$ -Achse im Ursprung von unten berührt wird durch die Gleichung $y^{2} = - x^{2} - 12 y$ beschrieben.

1) Überlege Dir, wie der Kreis mit dem Radius $r = 6$ im Koordinatensystem liegen muss, damit die x-Achse im Ursprung von unten berührt wird. So findest Du die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ .

2) Setze in die Kreisgleichung die Koordinaten von $M$ und den Radius ein und löse nach $y^{2}$ auf.

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→ Was bedeutet das?

1) Überlege Dir, wie der Kreis mit dem Radius r=6 im Koordinatensystem liegen muss, damit die x-Achse im Ursprung von unten berührt wird. So findest Du die Koordinaten des Mittelpunktes M.

2) Setze in die Kreisgleichung die Koordinaten von M und den Radius ein und löse nach y2 auf.

Antwort: Ein Kreis von Radius 6 der die x-Achse im Ursprung von unten berührt wird durch die Gleichung y2=−x2−12y beschrieben.

1) Überlege Dir, wie der Kreis mit dem Radius $r = 6$ im Koordinatensystem liegen muss, damit die x-Achse im Ursprung von unten berührt wird. So findest Du die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ .

2) Setze in die Kreisgleichung die Koordinaten von $M$ und den Radius ein und löse nach $y^{2}$ auf.

Antwort: Ein Kreis von Radius $6$ der die $x$ -Achse im Ursprung von unten berührt wird durch die Gleichung $y^{2} = - x^{2} - 12 y$ beschrieben.