Aufgaben zur Kreisgleichung

Hier findest du Aufgaben rund um die Kreisgleichung. Lerne, mit der Kreisgleichung zu rechnen und vertiefe dein Wissen!

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In der Ebene berührt ein Kreis von Radius $6$ die $x$ -Achse im Ursprung von unten. Begründe, dass für die Kreisgleichung gilt:
$\mathrm y^2=-\mathrm x^2-12\cdot\mathrm y$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis und Kugel
1) Überlege Dir, wie der Kreis mit dem Radius $r = 6$ im Koordinatensystem liegen muss, damit die x-Achse im Ursprung von unten berührt wird. So findest Du die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ .
Berührt der Kreis mit dem Radius $r = 6$ die x-Achse im Ursprung von unten , so muss der Kreismittelpunkt im Punkt $M(0\vert-6)$ liegen.
2) Setze in die Kreisgleichung die Koordinaten von $M$ und den Radius ein und löse nach $y^{2}$ auf.
$K: (x-m_1)^2+(y-m_2)^2 = r^2 \Rightarrow \; \; (x-0)^2+(y-(-6))^2 = 6^2$
$\displaystyle x^2+(y+6)^2=36 \Rightarrow \;\;x^2+y^2+12y+36=36\Rightarrow$
$\displaystyle y^2=-x^2-12y$
Du hast nun die in der Aufgabenstellung angegebene Kreisgleichung erhalten.
Antwort: Ein Kreis von Radius $6$ der die $x$ -Achse im Ursprung von unten berührt wird durch die Gleichung $y^{2} = - x^{2} - 12 y$ beschrieben.
1) Überlege Dir, wie der Kreis mit dem Radius $r = 6$ im Koordinatensystem liegen muss, damit die x-Achse im Ursprung von unten berührt wird. So findest Du die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ .
2) Setze in die Kreisgleichung die Koordinaten von $M$ und den Radius ein und löse nach $y^{2}$ auf.
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In der Ebene sei der Kreis $K$ gegeben durch die Gleichung $\mathrm y^2=8\cdot\mathrm x-\mathrm x^2$ .
Bestimme die Gleichung der Tangente an den Punkt $\mathrm{P}\left(3|\sqrt{15}\right)$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis und Kugel
1) Forme die gegebene Kreisgleichung so um, dass der Mittelpunkt $M$ des Kreises abgelesen werden kann.
$\displaystyle y^2=8x-x^2 \Rightarrow \;\;\; x^2-8x+y^2=0$
Die beiden Terme, die die Koordinate $x$ enthalten, kannst Du mit Hilfe der quadratischen Ergänzung so schreiben, dass eine binomische Formel entsteht. Für $y$ gibt es nur das quadratische Glied, so dass Du hier die Koordinate $0$ einsetzen kannst:
$\displaystyle x^2-8x+(\dfrac{8}{2})^2-(\dfrac{8}{2})^2+(y-0)^2=0\Rightarrow$
$\displaystyle x^2-8x+16-16+(y-0)^2=0\Rightarrow\;\;\; (x-4)^2+(y-0)^2=16$
Du hast die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt $M(4\vert0)$ und dem Radius $r = 4$ erhalten.
2) Der Richtungsvektor $\vec{u}$ der Tangente steht senkrecht auf dem Vektor $\overrightarrow{MP}$ . Mit Hilfe der Gleichung $\overrightarrow{MP}\circ \vec{u}= 0$ kannst Du den Richtungsvektor der Tangente bestimmen.
$\overrightarrow{MP} = \begin{pmatrix} 3- 4 \\ \sqrt{15} - 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} - 1 \\ \sqrt{15} \end{pmatrix}\Rightarrow \overrightarrow{MP}\circ\vec{u}=0\Rightarrow\begin{pmatrix} - 1 \\ \sqrt{15} \end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}\sqrt{15} \\ 1 \end{pmatrix}=0$
Also ist der Richtungsvektor der Tangente:
$\displaystyle \vec{u}=\begin{pmatrix}\sqrt{15} \\ 1 \end{pmatrix}$
3) Die Geradengleichung der Tangente wird mit dem Stützvektor $\vec{P}$ und dem Richtungsvektor $\vec{u}$ gebildet.
$\displaystyle g_T: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\\sqrt{15}\end{pmatrix}+ t\cdot \begin{pmatrix}\sqrt{15} \\ 1 \end{pmatrix}$
Antwort: Das ist die gesucht Tangentengleichung im Punkt $P$ .
1) Forme die gegebene Kreisgleichung so um, dass der Mittelpunkt $M$ des Kreises abgelesen werden kann.
2) Der Richtungsvektor $\vec{u}$ der Tangente steht senkrecht auf dem Vektor $\overrightarrow{MP}$ .
Mit Hilfe der Gleichung $\overrightarrow{MP}\circ \vec{u}= 0$ kannst Du den Richtungsvektor der Tangente bestimmen.
3) Die Geradengleichung der Tangente wird mit dem Stützvektor $\vec{P}$ und dem Richtungsvektor $\vec{u}$ gebildet.

Zwei Kreise $k_{1}$ und $k_{2}$ haben einen Berührpunkt.

Untersuche, ob sich die Kreise innen oder außen berühren.

$k_1:\;(x-8{,}8)^2+(y-7{,}6)^2=9$ und $k_2:\;(x-12)^2+(y-10)^2=49$

Finde die Gleichung eines Kreises $k$ um den Ursprung, der die Gerade $g$ berührt.

$g:\;\vec X=\begin{pmatrix}0\\\frac{50}{3}\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis

$g:\;\vec X=\begin{pmatrix}0\\\frac{50}{3}\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}$

Der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der Vektor $\vec u_g=\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}$ .

Der Richtungsvektor $\vec v_h$ der Geraden $h$ soll senkrecht zur Geraden $g$ sein $\;\Rightarrow\;\vec u_g\circ \vec v_h =0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle 3\cdot 4+(-4)\cdot3$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 0\;\checkmark$

Der Vektor $\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$ ist der gesuchte Richtungsvektor $\vec v_h$ der Geraden $h$ .

Da $h$ durch den Ursprung verläuft, gilt:

$h:\;\vec X=s\cdot \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$

Der Schnittpunkt von g und h ist der gesuchte Berührpunkt:

$g\cap h$

\displaystyle \begin{pmatrix}0\\\frac{50}{3}\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}

=

\displaystyle s\cdot\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}

Es ergeben sich zwei Gleichungen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&0&+&3\cdot r&=&4\cdot s\\&\mathrm{(II)}:& &\frac{50}{3}&-&4\cdot r&=&3 \cdot s\end{array}$

Beseitige $r$ :

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&4\cdot\mathrm{(I)}:&\;\;&0&+&3\cdot r&=&4\cdot s\\+&3\cdot\mathrm{(II)}:& &\frac{50}{3}&-&4\cdot r&=&3 \cdot s\\ \hline &&&50&+&0\cdot r&=&25\cdot s\end{array}$

Aus der Gleichung $50=25\cdot s \;\Rightarrow\; s=2$ .

Berechne die Koordinaten des Berührpunktes:

$\displaystyle \vec X_B$	$=$	$\displaystyle s\cdot \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$
	↓	Setze $s = 2$ ein.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}8\\6\end{pmatrix}$

Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B (8 ∣ 6)$ .

Dieser Punkt muss die Kreisgleichung $k:\;x^2+y^2=r^2$ durch den Ursprung erfüllen.

$\displaystyle k:\;x^2+y^2$	$=$	$\displaystyle r^2$
	↓	Setze $B (8 ∣ 6)$ ein.
$\displaystyle 8^2+6^2$	$=$	$\displaystyle r^2$
	↓	Berechne die Quadrate.
$\displaystyle 64+36$	$=$	$\displaystyle r^2$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 100$	$=$	$\displaystyle r^2$

Die gesuchte Kreisgleichung lautet:

\displaystyle k:\;x^2+y^2=100

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

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$\displaystyle d(M_1M_2)$	$=$	$\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
	↓	Setze die Koordinaten von $M_{1}$ und $M_{2}$ ein.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{(12-4)^2+(10-4)^2}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{8^2+6^2}$
	↓	Berechne die Quadrate.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{64+36}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle \sqrt{100}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$\displaystyle 10$

Aufgaben zur Kreisgleichung

1) Überlege Dir, wie der Kreis mit dem Radius r=6r =6r=6 im Koordinatensystem liegen muss, damit die x-Achse im Ursprung von unten berührt wird. So findest Du die Koordinaten des Mittelpunktes MMM.

2) Setze in die Kreisgleichung die Koordinaten von M MM und den Radius ein und löse nach y2 y^2y2 auf.

Antwort: Ein Kreis von Radius 666 der die xxx-Achse im Ursprung von unten berührt wird durch die Gleichung y2=−x2−12yy^2=-x^2-12yy2=−x2−12y beschrieben.

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1) Überlege Dir, wie der Kreis mit dem Radius $r = 6$ im Koordinatensystem liegen muss, damit die x-Achse im Ursprung von unten berührt wird. So findest Du die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ .

2) Setze in die Kreisgleichung die Koordinaten von $M$ und den Radius ein und löse nach $y^{2}$ auf.

Antwort: Ein Kreis von Radius $6$ der die $x$ -Achse im Ursprung von unten berührt wird durch die Gleichung $y^{2} = - x^{2} - 12 y$ beschrieben.