Aufgaben zur Kreisgleichung

Hier findest du Aufgaben rund um die Kreisgleichung. Lerne, mit der Kreisgleichung zu rechnen und vertiefe dein Wissen!

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In der Ebene berührt ein Kreis von Radius $6$ die $x$ -Achse im Ursprung von unten. Begründe, dass für die Kreisgleichung gilt:
$y^{2} = - x^{2} - 12 \cdot y$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis und Kugel
1) Überlege Dir, wie der Kreis mit dem Radius $r = 6$ im Koordinatensystem liegen muss, damit die x-Achse im Ursprung von unten berührt wird. So findest Du die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ .
Berührt der Kreis mit dem Radius $r = 6$ die x-Achse im Ursprung von unten , so muss der Kreismittelpunkt im Punkt $M (0 | - 6)$ liegen.
2) Setze in die Kreisgleichung die Koordinaten von $M$ und den Radius ein und löse nach $y^{2}$ auf.
$K : (x - m_{1})^{2} + (y - m_{2})^{2} = r^{2} \Rightarrow (x - 0)^{2} + (y - (- 6))^{2} = 6^{2}$
$x^{2} + (y + 6)^{2} = 36 \Rightarrow x^{2} + y^{2} + 12 y + 36 = 36 \Rightarrow$
$y^{2} = - x^{2} - 12 y$
Du hast nun die in der Aufgabenstellung angegebene Kreisgleichung erhalten.
Antwort: Ein Kreis von Radius $6$ der die $x$ -Achse im Ursprung von unten berührt wird durch die Gleichung $y^{2} = - x^{2} - 12 y$ beschrieben.
1) Überlege Dir, wie der Kreis mit dem Radius $r = 6$ im Koordinatensystem liegen muss, damit die x-Achse im Ursprung von unten berührt wird. So findest Du die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ .
2) Setze in die Kreisgleichung die Koordinaten von $M$ und den Radius ein und löse nach $y^{2}$ auf.
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In der Ebene sei der Kreis $K$ gegeben durch die Gleichung $y^{2} = 8 \cdot x - x^{2}$ .
Bestimme die Gleichung der Tangente an den Punkt $P (3 | \sqrt{15})$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis und Kugel
1) Forme die gegebene Kreisgleichung so um, dass der Mittelpunkt $M$ des Kreises abgelesen werden kann.
$y^{2} = 8 x - x^{2} \Rightarrow x^{2} - 8 x + y^{2} = 0$
Die beiden Terme, die die Koordinate $x$ enthalten, kannst Du mit Hilfe der quadratischen Ergänzung so schreiben, dass eine binomische Formel entsteht. Für $y$ gibt es nur das quadratische Glied, so dass Du hier die Koordinate $0$ einsetzen kannst:
$x^{2} - 8 x + (\frac{8}{2})^{2} - (\frac{8}{2})^{2} + (y - 0)^{2} = 0 \Rightarrow$
$x^{2} - 8 x + 16 - 16 + (y - 0)^{2} = 0 \Rightarrow (x - 4)^{2} + (y - 0)^{2} = 16$
Du hast die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt $M (4 | 0)$ und dem Radius $r = 4$ erhalten.
2) Der Richtungsvektor $\vec{u}$ der Tangente steht senkrecht auf dem Vektor $\vec{M P}$ . Mit Hilfe der Gleichung $\vec{M P} \circ \vec{u} = 0$ kannst Du den Richtungsvektor der Tangente bestimmen.
$\vec{M P} = (\begin{array}{c} 3 - 4 \\ \sqrt{15} - 0 \end{array}) = (\begin{array}{c} - 1 \\ \sqrt{15} \end{array}) \Rightarrow \vec{M P} \circ \vec{u} = 0 \Rightarrow (\begin{array}{c} - 1 \\ \sqrt{15} \end{array}) \circ (\begin{array}{c} \sqrt{15} \\ 1 \end{array}) = 0$
Also ist der Richtungsvektor der Tangente:
$\vec{u} = (\begin{array}{c} \sqrt{15} \\ 1 \end{array})$
3) Die Geradengleichung der Tangente wird mit dem Stützvektor $\vec{P}$ und dem Richtungsvektor $\vec{u}$ gebildet.
$g_{T} : \vec{x} = (\begin{array}{c} 3 \\ \sqrt{15} \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} \sqrt{15} \\ 1 \end{array})$
Antwort: Das ist die gesucht Tangentengleichung im Punkt $P$ .
1) Forme die gegebene Kreisgleichung so um, dass der Mittelpunkt $M$ des Kreises abgelesen werden kann.
2) Der Richtungsvektor $\vec{u}$ der Tangente steht senkrecht auf dem Vektor $\vec{M P}$ .
Mit Hilfe der Gleichung $\vec{M P} \circ \vec{u} = 0$ kannst Du den Richtungsvektor der Tangente bestimmen.
3) Die Geradengleichung der Tangente wird mit dem Stützvektor $\vec{P}$ und dem Richtungsvektor $\vec{u}$ gebildet.
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Zwei Kreise $k_{1}$ und $k_{2}$ haben einen Berührpunkt.
Untersuche, ob sich die Kreise innen oder außen berühren.
1. Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
  Lies aus der Kreisgleichung den Kreismittelpunkt und den Radius ab:
  Für $k_{1}$ gilt: $M_{1} (4 | 4)$ und $r_{1} = 3$
  Für $k_{2}$ gilt: $M_{2} (12 | 10)$ und $r_{2} = 7$
  Der Abstand der beiden Mittelpunkte ist:
  $d (M_{1} M_{2})$ $=$ $\sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
  ↓
  Setze die Koordinaten von $M_{1}$ und $M_{2}$ ein.
  $=$ $\sqrt{(12 - 4)^{2} + (10 - 4)^{2}}$
  ↓
  Vereinfache.
  $=$ $\sqrt{8^{2} + 6^{2}}$
  ↓
  Berechne die Quadrate.
  $=$ $\sqrt{64 + 36}$
  ↓
  Fasse zusammen.
  $=$ $\sqrt{100}$
  ↓
  Ziehe die Wurzel.
  $=$ $10$
  Prüfe nun, ob Fall $1$ oder Fall $2$ eintritt.
  $r_{1} = 3$ und $r_{2} = 7$ $\Rightarrow r_{1} + r_{2} = 10$
  Damit gilt $d (M_{1} M_{2}) = r_{1} + r_{2}$ und Fall $2$ ist eingetreten.
  Die beiden Kreise berühren sich außen im Punkt $B$ .
  Die folgende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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  1. Fall:
  Zwei Kreise haben einen innen liegenden Berührpunkt, wenn die Differenz der Kreisradien gerade dem Abstand der beiden Mittelpunkte entspricht:
  $d (M_{1} M_{2}) = | r_{1} - r_{2} |$
  2. Fall:
  Zwei Kreise haben einen außen liegenden Berührpunkt, wenn die Summe der Kreisradien gerade dem Abstand der beiden Mittelpunkte entspricht:
  $d (M_{1} M_{2}) = r_{1} + r_{2}$
2. $k_{1} : (x - 8,8)^{2} + (y - 7,6)^{2} = 9$ und $k_{2} : (x - 12)^{2} + (y - 10)^{2} = 49$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
  Lies aus der Kreisgleichung den Kreismittelpunkt und den Radius ab:
  Für $k_{1}$ gilt: $M_{1} (8,8 | 7,6)$ und $r_{1} = 3$
  Für $k_{2}$ gilt: $M_{2} (12 | 10)$ und $r_{2} = 7$
  Der Abstand der beiden Mittelpunkte ist:
  $d (M_{1} M_{2})$ $=$ $\sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
  ↓
  Setze die Koordinaten von $M_{1}$ und $M_{2}$ ein.
  $=$ $\sqrt{(12 - 8,8)^{2} + (10 - 7,6)^{2}}$
  ↓
  Vereinfache.
  $=$ $\sqrt{{3,2}^{2} + {2,4}^{2}}$
  ↓
  Berechne die Quadrate.
  $=$ $\sqrt{10,24 + 5,76}$
  ↓
  Fasse zusammen.
  $=$ $\sqrt{16}$
  ↓
  Ziehe die Wurzel.
  $=$ $4$
  Prüfe nun, ob Fall $1$ oder Fall $2$ eintritt.
  $r_{1} = 3$ und $r_{2} = 7$ $\Rightarrow | r_{1} - r_{2} | = | 3 - 7 | = 4$
  Damit gilt $d (M_{1} M_{2}) = | r_{1} - r_{2} |$ und Fall $1$ ist eingetreten.
  Die beiden Kreise berühren sich innen im Punkt $B$ .
  Die folgende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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  1. Fall:
  Zwei Kreise haben einen innen liegenden Berührpunkt, wenn die Differenz der Kreisradien gerade dem Abstand der beiden Mittelpunkte entspricht:
  $d (M_{1} M_{2}) = | r_{1} - r_{2} |$
  2. Fall:
  Zwei Kreise haben einen außen liegenden Berührpunkt, wenn die Summe der Kreisradien gerade dem Abstand der beiden Mittelpunkte entspricht:
  $d (M_{1} M_{2}) = r_{1} + r_{2}$
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Finde die Gleichung eines Kreises $k$ um den Ursprung, der die Gerade $g$ berührt.
$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 0 \\ \frac{50}{3} \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \end{array})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
$g : \vec{X} = (\begin{array}{c} 0 \\ \frac{50}{3} \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \end{array})$
Der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der Vektor ${\vec{u}}_{g} = (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \end{array})$ .
Der Richtungsvektor ${\vec{v}}_{h}$ der Geraden $h$ soll senkrecht zur Geraden $g$ sein $\Rightarrow {\vec{u}}_{g} \circ {\vec{v}}_{h} = 0$
$(\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$ $=$ $0$
↓
Berechne das Skalarprodukt.
$3 \cdot 4 + (- 4) \cdot 3$ $=$ $0$
$0$ $=$ $0 ✓$
Der Vektor $(\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$ ist der gesuchte Richtungsvektor ${\vec{v}}_{h}$ der Geraden $h$ .
Da $h$ durch den Ursprung verläuft, gilt:
$h : \vec{X} = s \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$
Der Schnittpunkt von g und h ist der gesuchte Berührpunkt:
$g \cap h$
$(\begin{array}{c} 0 \\ \frac{50}{3} \end{array}) + r \cdot (\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \end{array})$ $=$ $s \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$
Es ergeben sich zwei Gleichungen:
$\begin{array}{rrrrrcrr} (I) : & 0 & + & 3 \cdot r & = & 4 \cdot s \\ (I I) : & \frac{50}{3} & - & 4 \cdot r & = & 3 \cdot s \end{array}$
Beseitige $r$ :
$\begin{array}{rrrrrcrr} 4 \cdot (I) : & 0 & + & 3 \cdot r & = & 4 \cdot s \\ + & 3 \cdot (I I) : & \frac{50}{3} & - & 4 \cdot r & = & 3 \cdot s \\ 50 & + & 0 \cdot r & = & 25 \cdot s \end{array}$
Aus der Gleichung $50 = 25 \cdot s \Rightarrow s = 2$ .
Berechne die Koordinaten des Berührpunktes:
${\vec{X}}_{B}$ $=$ $s \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$
↓
Setze $s = 2$ ein.
$=$ $2 \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$
$=$ $(\begin{array}{c} 8 \\ 6 \end{array})$
Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B (8 | 6)$ .
Dieser Punkt muss die Kreisgleichung $k : x^{2} + y^{2} = r^{2}$ durch den Ursprung erfüllen.
$k : x^{2} + y^{2}$ $=$ $r^{2}$
↓
Setze $B (8 | 6)$ ein.
$8^{2} + 6^{2}$ $=$ $r^{2}$
↓
Berechne die Quadrate.
$64 + 36$ $=$ $r^{2}$
↓
Fasse zusammen
$100$ $=$ $r^{2}$
Die gesuchte Kreisgleichung lautet:
$k : x^{2} + y^{2} = 100$
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Erstelle eine zu $g$ senkrechte Gerade $h$ durch den Ursprung. Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der gesuchte Berührpunkt $B$ . Mit diesem Berührpunkt kann die Kreisgleichung aufgestellt werden.

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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$d (M_{1} M_{2})$	$=$	$\sqrt{(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}}$
	↓	Setze die Koordinaten von $M_{1}$ und $M_{2}$ ein.
	$=$	$\sqrt{(12 - 4)^{2} + (10 - 4)^{2}}$
	↓	Vereinfache.
	$=$	$\sqrt{8^{2} + 6^{2}}$
	↓	Berechne die Quadrate.
	$=$	$\sqrt{64 + 36}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\sqrt{100}$
	↓	Ziehe die Wurzel.
	$=$	$10$

$(\begin{array}{c} 3 \\ - 4 \end{array}) \circ (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$	$=$	$0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$3 \cdot 4 + (- 4) \cdot 3$	$=$	$0$
$0$	$=$	$0 ✓$

${\vec{X}}_{B}$	$=$	$s \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$
	↓	Setze $s = 2$ ein.
	$=$	$2 \cdot (\begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array})$
	$=$	$(\begin{array}{c} 8 \\ 6 \end{array})$

$k : x^{2} + y^{2}$	$=$	$r^{2}$
	↓	Setze $B (8 \| 6)$ ein.
$8^{2} + 6^{2}$	$=$	$r^{2}$
	↓	Berechne die Quadrate.
$64 + 36$	$=$	$r^{2}$
	↓	Fasse zusammen
$100$	$=$	$r^{2}$

Aufgaben zur Kreisgleichung

1) Überlege Dir, wie der Kreis mit dem Radius r=6 im Koordinatensystem liegen muss, damit die x-Achse im Ursprung von unten berührt wird. So findest Du die Koordinaten des Mittelpunktes M.

2) Setze in die Kreisgleichung die Koordinaten von M und den Radius ein und löse nach y2 auf.

Antwort: Ein Kreis von Radius 6 der die x-Achse im Ursprung von unten berührt wird durch die Gleichung y2=−x2−12y beschrieben.

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1) Überlege Dir, wie der Kreis mit dem Radius $r = 6$ im Koordinatensystem liegen muss, damit die x-Achse im Ursprung von unten berührt wird. So findest Du die Koordinaten des Mittelpunktes $M$ .

2) Setze in die Kreisgleichung die Koordinaten von $M$ und den Radius ein und löse nach $y^{2}$ auf.

Antwort: Ein Kreis von Radius $6$ der die $x$ -Achse im Ursprung von unten berührt wird durch die Gleichung $y^{2} = - x^{2} - 12 y$ beschrieben.