Aufgaben zur Kreisgleichung
Hier findest du Aufgaben rund um die Kreisgleichung. Lerne, mit der Kreisgleichung zu rechnen und vertiefe dein Wissen!
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In der Ebene berührt ein Kreis von Radius 6 die x-Achse im Ursprung von unten. Begründe, dass für die Kreisgleichung gilt:
y2=−x2−12⋅y
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis und Kugel
1) Überlege Dir, wie der Kreis mit dem Radius r=6 im Koordinatensystem liegen muss, damit die x-Achse im Ursprung von unten berührt wird. So findest Du die Koordinaten des Mittelpunktes M.
Berührt der Kreis mit dem Radius r=6 die x-Achse im Ursprung von unten , so muss der Kreismittelpunkt im Punkt M(0∣−6) liegen.
2) Setze in die Kreisgleichung die Koordinaten von M und den Radius ein und löse nach y2 auf.
K:(x−m1)2+(y−m2)2=r2⇒(x−0)2+(y−(−6))2=62
Du hast nun die in der Aufgabenstellung angegebene Kreisgleichung erhalten.
Antwort: Ein Kreis von Radius 6 der die x-Achse im Ursprung von unten berührt wird durch die Gleichung y2=−x2−12y beschrieben.
1) Überlege Dir, wie der Kreis mit dem Radius r=6 im Koordinatensystem liegen muss, damit die x-Achse im Ursprung von unten berührt wird. So findest Du die Koordinaten des Mittelpunktes M.
2) Setze in die Kreisgleichung die Koordinaten von M und den Radius ein und löse nach y2 auf.
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In der Ebene sei der Kreis K gegeben durch die Gleichung y2=8⋅x−x2.
Bestimme die Gleichung der Tangente an den Punkt P(3∣15).
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis und Kugel
1) Forme die gegebene Kreisgleichung so um, dass der Mittelpunkt M des Kreises abgelesen werden kann.
Die beiden Terme, die die Koordinate x enthalten, kannst Du mit Hilfe der quadratischen Ergänzung so schreiben, dass eine binomische Formel entsteht. Für y gibt es nur das quadratische Glied, so dass Du hier die Koordinate 0 einsetzen kannst:
Du hast die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt M(4∣0) und dem Radius r=4 erhalten.
2) Der Richtungsvektor u der Tangente steht senkrecht auf dem Vektor MP. Mit Hilfe der Gleichung MP∘u=0 kannst Du den Richtungsvektor der Tangente bestimmen.
MP=(3−415−0)=(−115)⇒MP∘u=0⇒(−115)∘(151)=0
Also ist der Richtungsvektor der Tangente:
3) Die Geradengleichung der Tangente wird mit dem Stützvektor P und dem Richtungsvektor u gebildet.
Antwort: Das ist die gesucht Tangentengleichung im Punkt P.
1) Forme die gegebene Kreisgleichung so um, dass der Mittelpunkt M des Kreises abgelesen werden kann.
2) Der Richtungsvektor u der Tangente steht senkrecht auf dem Vektor MP.
Mit Hilfe der Gleichung MP∘u=0 kannst Du den Richtungsvektor der Tangente bestimmen.
3) Die Geradengleichung der Tangente wird mit dem Stützvektor P und dem Richtungsvektor u gebildet.
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Zwei Kreise k1 und k2 haben einen Berührpunkt.
Untersuche, ob sich die Kreise innen oder außen berühren.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
Lies aus der Kreisgleichung den Kreismittelpunkt und den Radius ab:
Für k1 gilt: M1(4∣4) und r1=3
Für k2 gilt: M2(12∣10) und r2=7
Der Abstand der beiden Mittelpunkte ist:
d(M1M2) = (x2−x1)2+(y2−y1)2 ↓ Setze die Koordinaten von M1 und M2 ein.
= (12−4)2+(10−4)2 ↓ Vereinfache.
= 82+62 ↓ Berechne die Quadrate.
= 64+36 ↓ Fasse zusammen.
= 100 ↓ Ziehe die Wurzel.
= 10 Prüfe nun, ob Fall 1 oder Fall 2 eintritt.
r1=3 und r2=7⇒r1+r2=10
Damit gilt d(M1M2)=r1+r2 und Fall 2 ist eingetreten.
Die beiden Kreise berühren sich außen im Punkt B.
Die folgende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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1. Fall:
Zwei Kreise haben einen innen liegenden Berührpunkt, wenn die Differenz der Kreisradien gerade dem Abstand der beiden Mittelpunkte entspricht:
d(M1M2)=∣r1−r2∣
2. Fall:
Zwei Kreise haben einen außen liegenden Berührpunkt, wenn die Summe der Kreisradien gerade dem Abstand der beiden Mittelpunkte entspricht:
d(M1M2)=r1+r2
k1:(x−8,8)2+(y−7,6)2=9 und k2:(x−12)2+(y−10)2=49
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
Lies aus der Kreisgleichung den Kreismittelpunkt und den Radius ab:
Für k1 gilt: M1(8,8∣7,6) und r1=3
Für k2 gilt: M2(12∣10) und r2=7
Der Abstand der beiden Mittelpunkte ist:
d(M1M2) = (x2−x1)2+(y2−y1)2 ↓ Setze die Koordinaten von M1 und M2 ein.
= (12−8,8)2+(10−7,6)2 ↓ Vereinfache.
= 3,22+2,42 ↓ Berechne die Quadrate.
= 10,24+5,76 ↓ Fasse zusammen.
= 16 ↓ Ziehe die Wurzel.
= 4 Prüfe nun, ob Fall 1 oder Fall 2 eintritt.
r1=3 und r2=7⇒∣r1−r2∣=∣3−7∣=4
Damit gilt d(M1M2)=∣r1−r2∣ und Fall 1 ist eingetreten.
Die beiden Kreise berühren sich innen im Punkt B.
Die folgende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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1. Fall:
Zwei Kreise haben einen innen liegenden Berührpunkt, wenn die Differenz der Kreisradien gerade dem Abstand der beiden Mittelpunkte entspricht:
d(M1M2)=∣r1−r2∣
2. Fall:
Zwei Kreise haben einen außen liegenden Berührpunkt, wenn die Summe der Kreisradien gerade dem Abstand der beiden Mittelpunkte entspricht:
d(M1M2)=r1+r2
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Finde die Gleichung eines Kreises k um den Ursprung, der die Gerade g berührt.
g:X=(0350)+r⋅(3−4)
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
g:X=(0350)+r⋅(3−4)
Der Richtungsvektor der Geraden g ist der Vektor ug=(3−4).
Der Richtungsvektor vh der Geraden h soll senkrecht zur Geraden g sein ⇒ug∘vh=0
(3−4)∘(43) = 0 ↓ Berechne das Skalarprodukt.
3⋅4+(−4)⋅3 = 0 0 = 0✓ Der Vektor (43) ist der gesuchte Richtungsvektor vh der Geraden h.
Da h durch den Ursprung verläuft, gilt:
h:X=s⋅(43)
Der Schnittpunkt von g und h ist der gesuchte Berührpunkt:
g∩h
(0350)+r⋅(3−4) = s⋅(43) Es ergeben sich zwei Gleichungen:
(I):(II):0350+−3⋅r4⋅r==4⋅s3⋅s
Beseitige r:
+4⋅(I):3⋅(II):035050+−+3⋅r4⋅r0⋅r===4⋅s3⋅s25⋅s
Aus der Gleichung 50=25⋅s⇒s=2.
Berechne die Koordinaten des Berührpunktes:
XB = s⋅(43) ↓ Setze s=2 ein.
= 2⋅(43) = (86) Der Berührpunkt hat die Koordinaten B(8∣6).
Dieser Punkt muss die Kreisgleichung k:x2+y2=r2 durch den Ursprung erfüllen.
k:x2+y2 = r2 ↓ Setze B(8∣6) ein.
82+62 = r2 ↓ Berechne die Quadrate.
64+36 = r2 ↓ Fasse zusammen
100 = r2 Die gesuchte Kreisgleichung lautet:
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Erstelle eine zu g senkrechte Gerade h durch den Ursprung. Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der gesuchte Berührpunkt B. Mit diesem Berührpunkt kann die Kreisgleichung aufgestellt werden.
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