Aufgaben zur Kreisgleichung
Hier findest du Aufgaben rund um die Kreisgleichung. Lerne, mit der Kreisgleichung zu rechnen und vertiefe dein Wissen!
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In der Ebene berĂŒhrt ein Kreis von Radius die -Achse im Ursprung von unten. BegrĂŒnde, dass fĂŒr die Kreisgleichung gilt:
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis und Kugel
1) Ăberlege Dir, wie der Kreis mit dem Radius im Koordinatensystem liegen muss, damit die x-Achse im Ursprung von unten berĂŒhrt wird. So findest Du die Koordinaten des Mittelpunktes .
BerĂŒhrt der Kreis mit dem Radius die x-Achse im Ursprung von unten , so muss der Kreismittelpunkt im Punkt liegen.
2) Setze in die Kreisgleichung die Koordinaten von und den Radius ein und löse nach auf.
Du hast nun die in der Aufgabenstellung angegebene Kreisgleichung erhalten.
Antwort: Ein Kreis von Radius der die -Achse im Ursprung von unten berĂŒhrt wird durch die Gleichung beschrieben.
1) Ăberlege Dir, wie der Kreis mit dem Radius im Koordinatensystem liegen muss, damit die x-Achse im Ursprung von unten berĂŒhrt wird. So findest Du die Koordinaten des Mittelpunktes .
2) Setze in die Kreisgleichung die Koordinaten von und den Radius ein und löse nach auf.
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In der Ebene sei der Kreis gegeben durch die Gleichung .
Bestimme die Gleichung der Tangente an den Punkt .
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis und Kugel
1) Forme die gegebene Kreisgleichung so um, dass der Mittelpunkt des Kreises abgelesen werden kann.
Die beiden Terme, die die Koordinate enthalten, kannst Du mit Hilfe der quadratischen ErgĂ€nzung so schreiben, dass eine binomische Formel entsteht. FĂŒr gibt es nur das quadratische Glied, so dass Du hier die Koordinate einsetzen kannst:
Du hast die Gleichung eines Kreises mit dem Mittelpunkt und dem Radius erhalten.
2) Der Richtungsvektor der Tangente steht senkrecht auf dem Vektor . Mit Hilfe der Gleichung kannst Du den Richtungsvektor der Tangente bestimmen.
Also ist der Richtungsvektor der Tangente:
3) Die Geradengleichung der Tangente wird mit dem StĂŒtzvektor und dem Richtungsvektor gebildet.
Antwort: Das ist die gesucht Tangentengleichung im Punkt .
1) Forme die gegebene Kreisgleichung so um, dass der Mittelpunkt des Kreises abgelesen werden kann.
2) Der Richtungsvektor der Tangente steht senkrecht auf dem Vektor .
Mit Hilfe der Gleichung kannst Du den Richtungsvektor der Tangente bestimmen.
3) Die Geradengleichung der Tangente wird mit dem StĂŒtzvektor und dem Richtungsvektor gebildet.
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Zwei Kreise und haben einen BerĂŒhrpunkt.
Untersuche, ob sich die Kreise innen oder auĂen berĂŒhren.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
Lies aus der Kreisgleichung den Kreismittelpunkt und den Radius ab:
FĂŒr gilt: und
FĂŒr gilt: und
Der Abstand der beiden Mittelpunkte ist:
â Setze die Koordinaten von und ein.
â Vereinfache.
â Berechne die Quadrate.
â Fasse zusammen.
â Ziehe die Wurzel.
PrĂŒfe nun, ob Fall oder Fall eintritt.
und
Damit gilt und Fall ist eingetreten.
Die beiden Kreise berĂŒhren sich auĂen im Punkt .
Die folgende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
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1. Fall:
Zwei Kreise haben einen innen liegenden BerĂŒhrpunkt, wenn die Differenz der Kreisradien gerade dem Abstand der beiden Mittelpunkte entspricht:
2. Fall:
Zwei Kreise haben einen auĂen liegenden BerĂŒhrpunkt, wenn die Summe der Kreisradien gerade dem Abstand der beiden Mittelpunkte entspricht:
und
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
Lies aus der Kreisgleichung den Kreismittelpunkt und den Radius ab:
FĂŒr gilt: und
FĂŒr gilt: und
Der Abstand der beiden Mittelpunkte ist:
â Setze die Koordinaten von und ein.
â Vereinfache.
â Berechne die Quadrate.
â Fasse zusammen.
â Ziehe die Wurzel.
PrĂŒfe nun, ob Fall oder Fall eintritt.
und
Damit gilt und Fall ist eingetreten.
Die beiden Kreise berĂŒhren sich innen im Punkt .
Die folgende Abbildung ist nicht Teil der Aufgabenstellung. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Hast du eine Frage oder Feedback?
1. Fall:
Zwei Kreise haben einen innen liegenden BerĂŒhrpunkt, wenn die Differenz der Kreisradien gerade dem Abstand der beiden Mittelpunkte entspricht:
2. Fall:
Zwei Kreise haben einen auĂen liegenden BerĂŒhrpunkt, wenn die Summe der Kreisradien gerade dem Abstand der beiden Mittelpunkte entspricht:
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Finde die Gleichung eines Kreises um den Ursprung, der die Gerade berĂŒhrt.
FĂŒr diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis
Der Richtungsvektor der Geraden ist der Vektor .
Der Richtungsvektor der Geraden soll senkrecht zur Geraden sein
â Berechne das Skalarprodukt.
Der Vektor ist der gesuchte Richtungsvektor der Geraden .
Da durch den Ursprung verlÀuft, gilt:
Der Schnittpunkt von g und h ist der gesuchte BerĂŒhrpunkt:
Es ergeben sich zwei Gleichungen:
Beseitige :
Aus der Gleichung .
Berechne die Koordinaten des BerĂŒhrpunktes:
â Setze ein.
Der BerĂŒhrpunkt hat die Koordinaten .
Dieser Punkt muss die Kreisgleichung durch den Ursprung erfĂŒllen.
â Setze ein.
â Berechne die Quadrate.
â Fasse zusammen
Die gesuchte Kreisgleichung lautet:
Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.
Erstelle eine zu senkrechte Gerade durch den Ursprung. Der Schnittpunkt der beiden Geraden ist der gesuchte BerĂŒhrpunkt . Mit diesem BerĂŒhrpunkt kann die Kreisgleichung aufgestellt werden.
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