Aufgaben zur Kreisgleichung - lernen mit Serlo!

Finde die Gleichung eines Kreises $k$ um den Ursprung, der die Gerade $g$ berührt.

$g:\;\vec X=\begin{pmatrix}0\\\frac{50}{3}\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Kreis

$g:\;\vec X=\begin{pmatrix}0\\\frac{50}{3}\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}$

Der Richtungsvektor der Geraden $g$ ist der Vektor $\vec u_g=\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}$ .

Der Richtungsvektor $\vec v_h$ der Geraden $h$ soll senkrecht zur Geraden $g$ sein $\;\Rightarrow\;\vec u_g\circ \vec v_h =0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$	$=$	$\displaystyle 0$
	↓	Berechne das Skalarprodukt.
$\displaystyle 3\cdot 4+(-4)\cdot3$	$=$	$\displaystyle 0$
$\displaystyle 0$	$=$	$\displaystyle 0\;\checkmark$

Der Vektor $\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$ ist der gesuchte Richtungsvektor $\vec v_h$ der Geraden $h$ .

Da $h$ durch den Ursprung verläuft, gilt:

$h:\;\vec X=s\cdot \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$

Der Schnittpunkt von g und h ist der gesuchte Berührpunkt:

$g\cap h$

\displaystyle \begin{pmatrix}0\\\frac{50}{3}\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}

=

\displaystyle s\cdot\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}

Es ergeben sich zwei Gleichungen:

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&\mathrm{(I)}:&\;\;&0&+&3\cdot r&=&4\cdot s\\&\mathrm{(II)}:& &\frac{50}{3}&-&4\cdot r&=&3 \cdot s\end{array}$

Beseitige $r$ :

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rrrrrcrr}&4\cdot\mathrm{(I)}:&\;\;&0&+&3\cdot r&=&4\cdot s\\+&3\cdot\mathrm{(II)}:& &\frac{50}{3}&-&4\cdot r&=&3 \cdot s\\ \hline &&&50&+&0\cdot r&=&25\cdot s\end{array}$

Aus der Gleichung $50=25\cdot s \;\Rightarrow\; s=2$ .

Berechne die Koordinaten des Berührpunktes:

$\displaystyle \vec X_B$	$=$	$\displaystyle s\cdot \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$
	↓	Setze $s = 2$ ein.
	$=$	$\displaystyle 2\cdot \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}$
	$=$	$\displaystyle \begin{pmatrix}8\\6\end{pmatrix}$

Der Berührpunkt hat die Koordinaten $B (8 ∣ 6)$ .

Dieser Punkt muss die Kreisgleichung $k:\;x^2+y^2=r^2$ durch den Ursprung erfüllen.

$\displaystyle k:\;x^2+y^2$	$=$	$\displaystyle r^2$
	↓	Setze $B (8 ∣ 6)$ ein.
$\displaystyle 8^2+6^2$	$=$	$\displaystyle r^2$
	↓	Berechne die Quadrate.
$\displaystyle 64+36$	$=$	$\displaystyle r^2$
	↓	Fasse zusammen
$\displaystyle 100$	$=$	$\displaystyle r^2$

Die gesuchte Kreisgleichung lautet:

\displaystyle k:\;x^2+y^2=100

Die folgende Abbildung ist nicht in der Aufgabenstellung gefordert. Sie dient nur zur Veranschaulichung.

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