(2 BE)

$X$ beschreibt die Anzahl der ausgewählten Besucher mit einem Lebkuchenherz.

$X$ ist binomialverteilt mit der Länge $n=25$ und der Trefferwahrscheinlichkeit $\,p=\frac 16$.

Das Ereignis "höchstens ein Treffer" erfasst du mit folgender Summenwahrscheinlichkeit:

die du in der entsprechenden Spalte des Tafelwerks mit

abliest.

Ergebnis:

Die Wahrscheinlichkeit, dass unter den ausgewählten Besuchern höchstens einer ein Lebkuchenherz trägt, ist rund $6{,}29\,$%.

Lösung Teilaufgabe b)

(2 BE)

Es gilt:

Dazu passt folgendes Ereignis:

"Unter den 25 ausgewählten Besuchern tragen mindestens 5 und höchstens 8 ein Lebkuchenherz."

Lösung Teilaufgabe c)

(4 BE)

Die Aufgabenstellung verlangt, dass die Trefferzahl höchstens um die Standardabweichung $\sigma$ vom Erwartungswert $\mu$ abweicht.

Diese Bedingung erfasst du durch eine Ungleichung der folgenden Art:

$|X-\mu|\leq\sigma$.

Oder besser durch die Doppelungleichung

$\mu-\sigma\leq X\leq\mu+\sigma$

Berechne zuerst den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ für die nach $B(25;\frac16)$ verteilte Zufallsgröße $X$.

Du erhältst:

$\mu=n\cdot p=25\cdot \frac16 \approx 4{,}17$,

und

$\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt {25\cdot \frac16\cdot \frac56}\approx 1{,}86.$

Jetzt stellst du das Intervall auf, dessen Wahrscheinlichkeit du angeben sollst.

Es ergibt sich:

$\mu-\sigma=4{,}17-1{,}86=2{,}31$ und

$\mu+\sigma=4{,}17+1{,}86=6{,}03$.

Da die Intervallgrenzen ganzzahlig sein müssen (für $X$ gilt $k\in \mathbb{N}!)$, musst du für die linke Grenze auf $3$ aufrunden und die rechte Grenze auf $6$ abrunden.

$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcll}\displaystyle P_\frac16 ^{25} (\color{red}{3} \leq X \leq \color{red}{6})&=&P_\frac 16 ^{25}(X \leq 6)- P_ \frac 16 ^{25}(X \leq \color{red}{2})\\&=&0{,}89077-0{,}18869\\&=&0{,}70208\end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Wert der Zufallsgröße $X$ höchstens um eine Standardabweichung vom Erwartungswert abweicht, ist rund 70,2$\,$%.