Gemischte Aufgaben zu Gleichungen

Ermittle die Lösungsmenge der Gleichungen über die Grundmenge $\mathbb{Z}$ und trage die Elemente der Lösungsmenge in das Feld daneben ein.

Beipiele:

$\mathbb{L}=\{2\}$ , dann trage in das Feld $2$ ein.

$\mathbb{L}=\{2;3;4\}$ , dann trage in das Feld $2; 3; 4$ ein.

$\mathbb{L}=\{\}$ , dann trage in das Feld $\text{leer}$ ein.

$x + 3 = 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .
Diese Aufgabe kannst du durch Umformungen der Gleichung oder geschicktes Einsetzen lösen.
1. Umformen
$\displaystyle x+3$ $=$ $\displaystyle 4$ $\displaystyle -3$
↓
Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle 1$
Da $1$ ein Element der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{1\}$ .
2. Geschicktes Einsetzen
Überlege dir hierbei, welche Zahl du zu $3$ addieren musst, damit du $4$ erhältst.
Die Lösung ist $1$ , da $1 + 3 = 4$ und da $1\in\mathbb{Z}$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{1\}$ .
Du hast eine weitere Variante gefunden, diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.
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Tipp: Überlege dir welche Zahl du zu $3$ addieren musst, damit du $4$ erhältst.
$2 x = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .
Diese Aufgabe kannst du durch Umformungen der Gleichung oder geschicktes Einsetzen lösen.
1. Umformen
$\displaystyle 2x$ $=$ $\displaystyle 2$ $\displaystyle :2$
↓
Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle 1$
Da $1$ ein Element der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{1\}$ .
2. Geschicktes Einsetzen
Überlege dir hierbei, welche Zahl du mit $2$ multiplizieren musst, damit du wieder $2$ erhältst.
Die Lösung ist $1$ , da $2\cdot 1= 2$ und da $1\in\mathbb{Z}$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{1\}$ .
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Tipp: Überlege dir welche Zahl du mit $2$ multiplizieren musst, damit du wieder $2$ erhältst.
$6 x = 4 x + 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .
Durch Umformungen der Gleichung kannst du die Aufgabe Lösen. Forme die Gleichung dafür so um, dass alle Terme mit einem $x$ auf der einen Seite der Gleichung stehen und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
$\displaystyle 6x$ $=$ $\displaystyle 4 x+4$ $\displaystyle -4x$
↓
Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 2x$ $=$ $\displaystyle 4$ $\displaystyle :2$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle 2$
Da $2$ ein Element der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{2\}$ .
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Tipp: Forme die Gleichung so um, dass alle Terme mit einem $x$ auf der einen Seite der Gleichung und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite der Gleichung stehen.

$8 x + 8 = 12 x$

$5 x + 3 = 4 x + 2$

$- 2 x - 2 = - 4 x + 1$

$0 x = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
Lösen durch Ausprobieren
Wenn du in unsere Gleichung verschiedene Werte einsetzt, fällt dir bestimmt schnell auf, dass bei dieser Aufgabe etwas nicht stimmt.
Für $x = 1$ erhalten wir:
$0\cdot 1=0\neq2$
Für $x = 2$ erhalten wir auch:
$0\cdot 2=0\neq2$
Wenn du eine beliebige Zahl mit $0$ multipizierst, ist das Ergebnis immer $0$ . Deswegen erhältst du in beiden Fällen auf der linken Seite der Gleichung eine $0$ .
Die Gleichung ist also nicht lösbar und $\mathbb{L}=\{\}$ .
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Tipp: Wenn du eine beliebige Zahl mit $0$ multipizierst, ist das Ergebnis immer $0$ .

$-4 x-2=-3 x +\pi$

$\displaystyle -4 x-2$	$=$	$\displaystyle -3 x +\pi$	$\displaystyle +3x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle -x-2$	$=$	$\displaystyle \pi$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle \pi+2$	$\displaystyle \cdot (-1)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\pi-2$

Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .

1. Umformen

2. Geschicktes Einsetzen

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Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .

1. Umformen

2. Geschicktes Einsetzen

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Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .

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Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .

1. Alle Terme mit $x$ auf die rechte Seite der Gleichung

2. Alle Terme mit $x$ auf die linke Seite der Gleichung

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Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .

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Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .

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Lösen durch Ausprobieren

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Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .

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$\displaystyle x+3$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle -3$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle :2$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle 6x$	$=$	$\displaystyle 4 x+4$	$\displaystyle -4x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle 8 x+8$	$=$	$\displaystyle 12 x$	$\displaystyle -8x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle 4x$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle 8 x+8$	$=$	$\displaystyle 12 x$	$\displaystyle -12x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle -4x+8$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -8$
$\displaystyle -4x$	$=$	$\displaystyle -8$	$\displaystyle :(-4)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-8}{-4}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle 5x+3$	$=$	$\displaystyle 4x+2$	$\displaystyle -4x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x+3$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1$

$\displaystyle -2x-2$	$=$	$\displaystyle -4x+1$	$\displaystyle +4x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 2x-2$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1{,}5$

Lösen einer Gleichung über G=Z\mathbb{G}=\mathbb{Z}G=Z.

1. Umformen

2. Geschicktes Einsetzen

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Lösen einer Gleichung über G=Z\mathbb{G}=\mathbb{Z}G=Z.

1. Umformen

2. Geschicktes Einsetzen

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Lösen einer Gleichung über G=Z\mathbb{G}=\mathbb{Z}G=Z.

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Lösen einer Gleichung über G=Z\mathbb{G}=\mathbb{Z}G=Z.

1. Alle Terme mit xxx auf die rechte Seite der Gleichung

2. Alle Terme mit xxx auf die linke Seite der Gleichung

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Lösen einer Gleichung über G=Z\mathbb{G}=\mathbb{Z}G=Z.

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Lösen einer Gleichung über G=Z\mathbb{G}=\mathbb{Z}G=Z.

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Lösen durch Ausprobieren

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Lösen einer Gleichung über G=Z\mathbb{G}=\mathbb{Z}G=Z.

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Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .

Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .

Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .

Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .

1. Alle Terme mit $x$ auf die rechte Seite der Gleichung

2. Alle Terme mit $x$ auf die linke Seite der Gleichung

Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .

Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .

Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .