Gemischte Aufgaben zu Gleichungen

Ermittle die Lösungsmenge der Gleichungen über die Grundmenge $ℤ$ und trage die Elemente der Lösungsmenge in das Feld daneben ein.

Beipiele:

$𝕃 = {2}$ , dann trage in das Feld $2$ ein.

$𝕃 = {2; 3; 4}$ , dann trage in das Feld $2; 3; 4$ ein.

$𝕃 = {}$ , dann trage in das Feld $leer$ ein.

$x + 3 = 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .
Diese Aufgabe kannst du durch Umformungen der Gleichung oder geschicktes Einsetzen lösen.
1. Umformen
$x + 3$ $=$ $4$ $- 3$
↓
Löse nach $x$ auf.
$x$ $=$ $1$
Da $1$ ein Element der ganzen Zahlen $ℤ$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $𝕃 = {1}$ .
2. Geschicktes Einsetzen
Überlege dir hierbei, welche Zahl du zu $3$ addieren musst, damit du $4$ erhältst.
Die Lösung ist $1$ , da $1 + 3 = 4$ und da $1 \in ℤ$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $𝕃 = {1}$ .
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Tipp: Überlege dir welche Zahl du zu $3$ addieren musst, damit du $4$ erhältst.
$2 x = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .
Diese Aufgabe kannst du durch Umformungen der Gleichung oder geschicktes Einsetzen lösen.
1. Umformen
$2 x$ $=$ $2$ $: 2$
↓
Löse nach $x$ auf.
$x$ $=$ $1$
Da $1$ ein Element der ganzen Zahlen $ℤ$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $𝕃 = {1}$ .
2. Geschicktes Einsetzen
Überlege dir hierbei, welche Zahl du mit $2$ multiplizieren musst, damit du wieder $2$ erhältst.
Die Lösung ist $1$ , da $2 \cdot 1 = 2$ und da $1 \in ℤ$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $𝕃 = {1}$ .
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Tipp: Überlege dir welche Zahl du mit $2$ multiplizieren musst, damit du wieder $2$ erhältst.
$6 x = 4 x + 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .
Durch Umformungen der Gleichung kannst du die Aufgabe Lösen. Forme die Gleichung dafür so um, dass alle Terme mit einem $x$ auf der einen Seite der Gleichung stehen und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
$6 x$ $=$ $4 x + 4$ $- 4 x$
↓
Löse nach $x$ auf.
$2 x$ $=$ $4$ $: 2$
$x$ $=$ $2$
Da $2$ ein Element der ganzen Zahlen $ℤ$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $𝕃 = {2}$ .
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Tipp: Forme die Gleichung so um, dass alle Terme mit einem $x$ auf der einen Seite der Gleichung und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
$8 x + 8 = 12 x$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .
Diese Aufgabe kannst du durch Umformungen der Gleichung lösen. Dabei solltest du alle Terme mit einem $x$ auf die rechte oder linke Seite der Gleichung bringen.
1. Alle Terme mit $x$ auf die rechte Seite der Gleichung
$8 x + 8$ $=$ $12 x$ $- 8 x$
↓
Löse nach $x$ auf.
$8$ $=$ $4 x$ $: 4$
$2$ $=$ $x$
Da $2$ ein Element der ganzen Zahlen $ℤ$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $𝕃 = {2}$ .
2. Alle Terme mit $x$ auf die linke Seite der Gleichung
$8 x + 8$ $=$ $12 x$ $- 12 x$
↓
Löse nach $x$ auf.
$- 4 x + 8$ $=$ $0$ $- 8$
$- 4 x$ $=$ $- 8$ $: (- 4)$
$x$ $=$ $\frac{- 8}{- 4}$
↓
Kürze.
$x$ $=$ $2$
So wie bei der ersten Variante ist auch hier die Lösungsmenge $𝕃 = {2}$ .
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Tipp: Forme die Gleichung so um, dass alle Terme mit einem $x$ auf der einen Seite der Gleichung und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
$5 x + 3 = 4 x + 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .
Durch Umformungen der Gleichung kannst du die Aufgabe Lösen. Forme die Gleichung dafür so um, dass alle Terme mit einem $x$ auf der einen Seite der Gleichung stehen und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
$5 x + 3$ $=$ $4 x + 2$ $- 4 x$
↓
Löse nach $x$ auf.
$x + 3$ $=$ $2$ $- 3$
$x$ $=$ $- 1$
Da $- 1$ ein Element der ganzen Zahlen $ℤ$ ist, ist die gesuchte Lösung: $𝕃 = {- 1}$ .
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Tipp: Forme die Gleichung so um, dass alle Terme mit einem $x$ auf der einen Seite der Gleichung und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
$- 2 x - 2 = - 4 x + 1$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .
Durch Umformungen der Gleichung kannst du die Aufgabe Lösen. Forme die Gleichung dafür so um, dass alle Terme mit einem $x$ auf der einen Seite der Gleichung stehen und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
$- 2 x - 2$ $=$ $- 4 x + 1$ $+ 4 x$
↓
Löse nach $x$ auf.
$2 x - 2$ $=$ $1$ $+ 2$
$2 x$ $=$ $3$ $: 2$
$x$ $=$ $1,5$
Da $1,5$ kein Element der ganzen Zahlen $ℤ$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $𝕃 = {}$ .
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Tipp: Forme die Gleichung so um, dass alle Terme mit einem $x$ auf der einen Seite der Gleichung und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
$0 x = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
Lösen durch Ausprobieren
Wenn du in unsere Gleichung verschiedene Werte einsetzt, fällt dir bestimmt schnell auf, dass bei dieser Aufgabe etwas nicht stimmt.
Für $x = 1$ erhalten wir:
$0 \cdot 1 = 0 \neq 2$
Für $x = 2$ erhalten wir auch:
$0 \cdot 2 = 0 \neq 2$
Wenn du eine beliebige Zahl mit $0$ multipizierst, ist das Ergebnis immer $0$ . Deswegen erhältst du in beiden Fällen auf der linken Seite der Gleichung eine $0$ .
Die Gleichung ist also nicht lösbar und $𝕃 = {}$ .
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Tipp: Wenn du eine beliebige Zahl mit $0$ multipizierst, ist das Ergebnis immer $0$ .
$- 4 x - 2 = - 3 x + π$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .
Durch Umformungen der Gleichung kannst du die Aufgabe Lösen. Forme die Gleichung dafür so um, dass alle Terme mit einem $x$ auf der einen Seite der Gleichung stehen und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
$- 4 x - 2$ $=$ $- 3 x + π$ $+ 3 x$
↓
Löse nach $x$ auf.
$- x - 2$ $=$ $π$ $+ 2$
$- x$ $=$ $π + 2$ $\cdot (- 1)$
$x$ $=$ $- π - 2$
Da $- π - 2 \approx - 5,14$ kein Element der ganzen Zahlen $ℤ$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $𝕃 = {}$ .
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Tipp: Forme die Gleichung so um, dass alle Terme mit einem $x$ auf der einen Seite der Gleichung und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite der Gleichung stehen.

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$6 x$	$=$	$4 x + 4$	$- 4 x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$2 x$	$=$	$4$	$: 2$
$x$	$=$	$2$

$8 x + 8$	$=$	$12 x$	$- 8 x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$8$	$=$	$4 x$	$: 4$
$2$	$=$	$x$

$8 x + 8$	$=$	$12 x$	$- 12 x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$- 4 x + 8$	$=$	$0$	$- 8$
$- 4 x$	$=$	$- 8$	$: (- 4)$
$x$	$=$	$\frac{- 8}{- 4}$
	↓	Kürze.
$x$	$=$	$2$

$5 x + 3$	$=$	$4 x + 2$	$- 4 x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$x + 3$	$=$	$2$	$- 3$
$x$	$=$	$- 1$

$- 2 x - 2$	$=$	$- 4 x + 1$	$+ 4 x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$2 x - 2$	$=$	$1$	$+ 2$
$2 x$	$=$	$3$	$: 2$
$x$	$=$	$1,5$

$- 4 x - 2$	$=$	$- 3 x + π$	$+ 3 x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$- x - 2$	$=$	$π$	$+ 2$
$- x$	$=$	$π + 2$	$\cdot (- 1)$
$x$	$=$	$- π - 2$

Lösen einer Gleichung über 𝔾=ℤ.

1. Umformen

2. Geschicktes Einsetzen

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Lösen einer Gleichung über 𝔾=ℤ.

1. Umformen

2. Geschicktes Einsetzen

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Lösen einer Gleichung über 𝔾=ℤ.

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Lösen einer Gleichung über 𝔾=ℤ.

1. Alle Terme mit x auf die rechte Seite der Gleichung

2. Alle Terme mit x auf die linke Seite der Gleichung

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Lösen einer Gleichung über 𝔾=ℤ.

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Lösen einer Gleichung über 𝔾=ℤ.

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Lösen durch Ausprobieren

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Lösen einer Gleichung über 𝔾=ℤ.

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Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .

Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .

Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .

Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .

1. Alle Terme mit $x$ auf die rechte Seite der Gleichung

2. Alle Terme mit $x$ auf die linke Seite der Gleichung

Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .

Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .

Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .