Gemischte Aufgaben zu Gleichungen

Probiere die neue Gleichungs-App aus. Dort kannst du Gleichungen interaktiv lösen und bekommst Feedback zu deinem eigenen Lösungsweg.

Mit diesen gemischten Übungsaufgaben lernst du, Gleichungen umzustellen und zu lösen.

1
Ordne den Gleichungen die passende Lösungsmenge zu:
2
Kreuze an, bei welchen mathematischen Ausdrücken eine Gleichung vorliegt.
$\frac{2 x - 3}{5 x} \cdot 4$
$22 - 3 \cdot 5 + 16$
$5 x - 2 = x + 1$
$x = 10$
$\frac{2 - x}{6} \cdot 3 - 1 = 0$
$0 = 2$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
$\frac{2 x - 3}{5 x} \cdot 4$
$22 - 3 \cdot 5 + 16$
Das sind Terme, keine Gleichungen. Es fehlt das "=", welches die Gleichheit zweier Terme beschreibt.
$5 x - 2 = x + 1$
$x = 10$
$\frac{2 - x}{6} \cdot 3 - 1 = 0$
$0 = 2$
Das sind Gleichungen. Auf beiden Seiten dürfen beliebige Terme stehen, auch $0$ . Eine Gleichung muss auch nicht kompliziert sein oder umgestellt werden. Auch die einfache Ausdrücke " $x = 10$ " oder " $0 = 2$ " sind Gleichungen. Eine Gleichung muss nicht von Variablen abhängen.
Überlege, was eine Gleichung ausmacht. Welche der mathematischen Ausdrücke hat das, was eine Gleichung benötigt.
3
Ermittle die Lösungsmenge der Gleichungen über die Grundmenge $ℤ$ und trage die Elemente der Lösungsmenge in das Feld daneben ein.
Beipiele:
$𝕃 = {2}$ , dann trage in das Feld $2$ ein.
$𝕃 = {2; 3; 4}$ , dann trage in das Feld $2; 3; 4$ ein.
$𝕃 = {}$ , dann trage in das Feld $leer$ ein.
1. $x + 3 = 4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
  Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .
  Diese Aufgabe kannst du durch Umformungen der Gleichung oder geschicktes Einsetzen lösen.
  1. Umformen
  $x + 3$ $=$ $4$ $- 3$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $x$ $=$ $1$
  Da $1$ ein Element der ganzen Zahlen $ℤ$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $𝕃 = {1}$ .
  2. Geschicktes Einsetzen
  Überlege dir hierbei, welche Zahl du zu $3$ addieren musst, damit du $4$ erhältst.
  Die Lösung ist $1$ , da $1 + 3 = 4$ und da $1 \in ℤ$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $𝕃 = {1}$ .
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  Tipp: Überlege dir welche Zahl du zu $3$ addieren musst, damit du $4$ erhältst.
2. $2 x = 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
  Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .
  Diese Aufgabe kannst du durch Umformungen der Gleichung oder geschicktes Einsetzen lösen.
  1. Umformen
  $2 x$ $=$ $2$ $: 2$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $x$ $=$ $1$
  Da $1$ ein Element der ganzen Zahlen $ℤ$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $𝕃 = {1}$ .
  2. Geschicktes Einsetzen
  Überlege dir hierbei, welche Zahl du mit $2$ multiplizieren musst, damit du wieder $2$ erhältst.
  Die Lösung ist $1$ , da $2 \cdot 1 = 2$ und da $1 \in ℤ$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $𝕃 = {1}$ .
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  Tipp: Überlege dir welche Zahl du mit $2$ multiplizieren musst, damit du wieder $2$ erhältst.
3. $6 x = 4 x + 4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
  Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .
  Durch Umformungen der Gleichung kannst du die Aufgabe Lösen. Forme die Gleichung dafür so um, dass alle Terme mit einem $x$ auf der einen Seite der Gleichung stehen und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
  $6 x$ $=$ $4 x + 4$ $- 4 x$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $2 x$ $=$ $4$ $: 2$
  $x$ $=$ $2$
  Da $2$ ein Element der ganzen Zahlen $ℤ$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $𝕃 = {2}$ .
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  Tipp: Forme die Gleichung so um, dass alle Terme mit einem $x$ auf der einen Seite der Gleichung und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
4. $8 x + 8 = 12 x$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
  Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .
  Diese Aufgabe kannst du durch Umformungen der Gleichung lösen. Dabei solltest du alle Terme mit einem $x$ auf die rechte oder linke Seite der Gleichung bringen.
  1. Alle Terme mit $x$ auf die rechte Seite der Gleichung
  $8 x + 8$ $=$ $12 x$ $- 8 x$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $8$ $=$ $4 x$ $: 4$
  $2$ $=$ $x$
  Da $2$ ein Element der ganzen Zahlen $ℤ$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $𝕃 = {2}$ .
  2. Alle Terme mit $x$ auf die linke Seite der Gleichung
  $8 x + 8$ $=$ $12 x$ $- 12 x$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $- 4 x + 8$ $=$ $0$ $- 8$
  $- 4 x$ $=$ $- 8$ $: (- 4)$
  $x$ $=$ $\frac{- 8}{- 4}$
  ↓
  Kürze.
  $x$ $=$ $2$
  So wie bei der ersten Variante ist auch hier die Lösungsmenge $𝕃 = {2}$ .
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  Tipp: Forme die Gleichung so um, dass alle Terme mit einem $x$ auf der einen Seite der Gleichung und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
5. $5 x + 3 = 4 x + 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
  Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .
  Durch Umformungen der Gleichung kannst du die Aufgabe Lösen. Forme die Gleichung dafür so um, dass alle Terme mit einem $x$ auf der einen Seite der Gleichung stehen und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
  $5 x + 3$ $=$ $4 x + 2$ $- 4 x$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $x + 3$ $=$ $2$ $- 3$
  $x$ $=$ $- 1$
  Da $- 1$ ein Element der ganzen Zahlen $ℤ$ ist, ist die gesuchte Lösung: $𝕃 = {- 1}$ .
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  Tipp: Forme die Gleichung so um, dass alle Terme mit einem $x$ auf der einen Seite der Gleichung und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
6. $- 2 x - 2 = - 4 x + 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
  Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .
  Durch Umformungen der Gleichung kannst du die Aufgabe Lösen. Forme die Gleichung dafür so um, dass alle Terme mit einem $x$ auf der einen Seite der Gleichung stehen und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
  $- 2 x - 2$ $=$ $- 4 x + 1$ $+ 4 x$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $2 x - 2$ $=$ $1$ $+ 2$
  $2 x$ $=$ $3$ $: 2$
  $x$ $=$ $1,5$
  Da $1,5$ kein Element der ganzen Zahlen $ℤ$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $𝕃 = {}$ .
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  Tipp: Forme die Gleichung so um, dass alle Terme mit einem $x$ auf der einen Seite der Gleichung und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
7. $0 x = 2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
  Lösen durch Ausprobieren
  Wenn du in unsere Gleichung verschiedene Werte einsetzt, fällt dir bestimmt schnell auf, dass bei dieser Aufgabe etwas nicht stimmt.
  Für $x = 1$ erhalten wir:
  $0 \cdot 1 = 0 \neq 2$
  Für $x = 2$ erhalten wir auch:
  $0 \cdot 2 = 0 \neq 2$
  Wenn du eine beliebige Zahl mit $0$ multipizierst, ist das Ergebnis immer $0$ . Deswegen erhältst du in beiden Fällen auf der linken Seite der Gleichung eine $0$ .
  Die Gleichung ist also nicht lösbar und $𝕃 = {}$ .
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  Tipp: Wenn du eine beliebige Zahl mit $0$ multipizierst, ist das Ergebnis immer $0$ .
8. $- 4 x - 2 = - 3 x + π$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
  Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .
  Durch Umformungen der Gleichung kannst du die Aufgabe Lösen. Forme die Gleichung dafür so um, dass alle Terme mit einem $x$ auf der einen Seite der Gleichung stehen und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
  $- 4 x - 2$ $=$ $- 3 x + π$ $+ 3 x$
  ↓
  Löse nach $x$ auf.
  $- x - 2$ $=$ $π$ $+ 2$
  $- x$ $=$ $π + 2$ $\cdot (- 1)$
  $x$ $=$ $- π - 2$
  Da $- π - 2 \approx - 5,14$ kein Element der ganzen Zahlen $ℤ$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $𝕃 = {}$ .
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  Tipp: Forme die Gleichung so um, dass alle Terme mit einem $x$ auf der einen Seite der Gleichung und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
Richtiger Text
In einer Gleichung wird die Gleichheit zweier Terme beschrieben. Sie werden getrennt durch das Gleichheitszeichen. Gleichungen können von Variablen abhängen. Für bestimmte Werte, die man für die Variable einsetzt, ist die Gleichung erfüllt. Diese Werte nennt man die Lösung der Gleichung.
5
Löse die folgende Gleichung nach $x$ auf:
$3 x + 7 - 2 x = 5 x - \frac{1}{2} - 3 x$
$x = 7 \frac{1}{2}$
$x = \frac{7}{8}$
$x = - \frac{3}{4}$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Lösen einer Gleichung
$3 x + 7 - 2 x$ $=$ $5 x - \frac{1}{2} - 3 x$
↓
Fasse zusammen.
$x + 7$ $=$ $2 x - \frac{1}{2}$ $- x$
↓
Bringe alle $x$ auf die linke Seite.
$7$ $=$ $x - \frac{1}{2}$ $+ \frac{1}{2}$
↓
Bringe alle Zahlen auf die rechte Seite.
$x$ $=$ $7 \frac{1}{2}$
6
Ziehe die Rechenzeichen an die korrekte Stelle, sodass die Gleichung erfüllt ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
Die Gleichung ist erfüllt, wenn:
$19 \cdot 2 - 8 = 5 \cdot 2 + 20$
7
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Prüfe durch Einsetzen, ob $x = 1, 2, 3, 4, 5$ eine Lösung der folgenden Gleichung ist:
$\frac{90}{x} = x^{2} + 21$
$1$ ist eine Lösung.
$2$ ist eine Lösung.
$3$ ist eine Lösung.
$4$ ist eine Lösung.
$5$ ist eine Lösung.
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
Für x = 1
$\frac{90}{x}$ $=$ $x^{2} + 21$
↓
Setze ein.
$\frac{90}{1}$ $=$ $1^{2} + 21$
↓
Kürze den Bruch und berechne die Potenz.
$90$ $=$ $1 + 21$
↓
Addiere.
$90 \neq 22 \Rightarrow x = 1$ löst die Gleichung nicht.
Für x = 2
$\frac{90}{x}$ $=$ $x^{2} + 21$
↓
Setze ein.
$\frac{90}{2}$ $=$ $2^{2} + 21$
↓
Kürze den Bruch und berechne die Potenz.
$45$ $=$ $4 + 21$
↓
Addiere.
$45 \neq 25 \Rightarrow x = 2$ löst die Gleichung nicht.
Für x = 3
$\frac{90}{x}$ $=$ $x^{2} + 21$
↓
Setze ein.
$\frac{90}{3}$ $=$ $3^{2} + 21$
↓
Kürze den Bruch und berechne die Potenz.
$30$ $=$ $9 + 21$
↓
Addiere.
$30$ $=$ $30$
$x = 3$ ist eine Lösung der Gleichung.
Für x = 4
$\frac{90}{x}$ $=$ $x^{2} + 21$
↓
Setze ein.
$\frac{90}{4}$ $=$ $4^{2} + 21$
↓
Kürze den Bruch und berechne die Potenz.
$22,5$ $=$ $16 + 21$
↓
Addiere.
$22,5 \neq 37 \Rightarrow x = 4$ löst die Gleichung nicht.
Für x = 5
$\frac{90}{x}$ $=$ $x^{2} + 21$
↓
Setze ein.
$\frac{90}{5}$ $=$ $5^{2} + 21$
↓
Kürze den Bruch und berechne die Potenz.
$18$ $=$ $25 + 21$
↓
Addiere.
$18 \neq 46 \Rightarrow x = 5$ löst die Gleichung nicht.
8
Löse folgende Gleichungen:
Hinweis: Gib die Lösungsmenge ohne $L$ , das Gleichheitszeichen $=$ und die geschweiften Klammern ${}$ an. Falls du für die Lösung mehrere Werte (Zahlen) erhältst , musst du sie durch Kommata $,$ trennen.
Beispiel: Wenn die Lösungsmenge $L = {4,5,9}$ ist, dann gib in das Feld ein: $4,5,9$ .
1. $4 x + 4 = 3 x + 3$
  
  Nach x auflösen
  $4 x + 4$ $=$ $3 x + 3$ $- 3 x$
  $x + 4$ $=$ $3$ $- 4$
  $x$ $=$ $- 1$
  Also ist $L = {- 1} .$
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2. $5 x - 2 = x + 6$
  
  Nach x auflösen
  $5 x - 2$ $=$ $x + 6$ $+ 2$
  $5 x$ $=$ $x + 8$ $- x$
  $4 x$ $=$ $8$ $: 4$
  $x$ $=$ $2$
  Also ist $L = {2}$ .
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  Bringe alle $x$ auf die eine und alle Zahlen auf die andere Seite, Dividiere dann, um nach $x$ aufzulösen.
3. $3 x = x + 5$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
  Nach x auflösen
  $3 x$ $=$ $x + 5$ $- x$
  $2 x$ $=$ $5$ $: 2$
  $x$ $=$ $2,5$
  $L$ $=$ ${2,5}$
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4. $2 x = 4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
  Nach x auflösen
  $2 x$ $=$ $4$ $: 2$
  $x$ $=$ $2$
  $L$ $=$ ${2}$
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5. $7 x - 9 = 2 x + 5$
  
  Nach x auflösen
  $7 x - 9$ $=$ $2 x + 5$ $- 2 x$
  $5 x - 9$ $=$ $5$ $+ 9$
  $5 x$ $=$ $14$ $: 5$
  $x = 2,8$
  $L = {2,8}$
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6. $\frac{1}{12} x - 5 = 3$
  
  Nach x auflösen
  $\frac{1}{12} x - 5$ $=$ $3$ $+ 5$
  $\frac{1}{12} x$ $=$ $8$ $\cdot 12$
  $x = 96$
  $L = {96}$
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7. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $- 8 x + 5 = - 5$
  
  Gleichungen auflösen
  $- 8 x + 5$ $=$ $- 5$ $- 5$
  $- 8 x$ $=$ $- 10$ $: (- 8)$
  $x$ $=$ $\frac{- 10}{- 8}$
  $x$ $=$ $\frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25$
  $L = {1,25}$
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8. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $x + 4 = 9 x - (5 - x)$
  
  Gleichungen auflösen
  $x + 4$ $=$ $9 x - (5 - x)$
  ↓
  Löse die Klammer auf.
  $x + 4$ $=$ $9 x - 5 + x$
  ↓
  Zusammenfassen auf der rechten Seite
  $x + 4$ $=$ $10 x - 5$ $- x$
  $4$ $=$ $9 x - 5$ $+ 5$
  $9$ $=$ $9 x$ $: 9$
  $x$ $=$ $1$
  Die Lösung ist $L = {1}$ .
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9. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $\frac{1}{24} x = 0$
  
  Gleichungen auflösen
  $\frac{1}{24} x$ $=$ $0$ $\cdot 24$
  $x$ $=$ $0$
  $L = {0}$
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$6 x$	$=$	$4 x + 4$	$- 4 x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$2 x$	$=$	$4$	$: 2$
$x$	$=$	$2$

$8 x + 8$	$=$	$12 x$	$- 8 x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$8$	$=$	$4 x$	$: 4$
$2$	$=$	$x$

$8 x + 8$	$=$	$12 x$	$- 12 x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$- 4 x + 8$	$=$	$0$	$- 8$
$- 4 x$	$=$	$- 8$	$: (- 4)$
$x$	$=$	$\frac{- 8}{- 4}$
	↓	Kürze.
$x$	$=$	$2$

$5 x + 3$	$=$	$4 x + 2$	$- 4 x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$x + 3$	$=$	$2$	$- 3$
$x$	$=$	$- 1$

$- 2 x - 2$	$=$	$- 4 x + 1$	$+ 4 x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$2 x - 2$	$=$	$1$	$+ 2$
$2 x$	$=$	$3$	$: 2$
$x$	$=$	$1,5$

$- 4 x - 2$	$=$	$- 3 x + π$	$+ 3 x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$- x - 2$	$=$	$π$	$+ 2$
$- x$	$=$	$π + 2$	$\cdot (- 1)$
$x$	$=$	$- π - 2$

$3 x + 7 - 2 x$	$=$	$5 x - \frac{1}{2} - 3 x$
	↓	Fasse zusammen.
$x + 7$	$=$	$2 x - \frac{1}{2}$	$- x$
	↓	Bringe alle $x$ auf die linke Seite.
$7$	$=$	$x - \frac{1}{2}$	$+ \frac{1}{2}$
	↓	Bringe alle Zahlen auf die rechte Seite.
$x$	$=$	$7 \frac{1}{2}$

$\frac{90}{x}$	$=$	$x^{2} + 21$
	↓	Setze ein.
$\frac{90}{1}$	$=$	$1^{2} + 21$
	↓	Kürze den Bruch und berechne die Potenz.
$90$	$=$	$1 + 21$
	↓	Addiere.

$5 x - 2$	$=$	$x + 6$	$+ 2$
$5 x$	$=$	$x + 8$	$- x$
$4 x$	$=$	$8$	$: 4$
$x$	$=$	$2$

$3 x$	$=$	$x + 5$	$- x$
$2 x$	$=$	$5$	$: 2$
$x$	$=$	$2,5$
$L$	$=$	${2,5}$

$- 8 x + 5$	$=$	$- 5$	$- 5$
$- 8 x$	$=$	$- 10$	$: (- 8)$
$x$	$=$	$\frac{- 10}{- 8}$
$x$	$=$	$\frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1,25$

$7 x - 9$	$=$	$2 x + 5$	$- 2 x$
$5 x - 9$	$=$	$5$	$+ 9$
$5 x$	$=$	$14$	$: 5$

$\frac{1}{12} x - 5$	$=$	$3$	$+ 5$
$\frac{1}{12} x$	$=$	$8$	$\cdot 12$

$x + 4$	$=$	$9 x - (5 - x)$
	↓	Löse die Klammer auf.
$x + 4$	$=$	$9 x - 5 + x$
	↓	Zusammenfassen auf der rechten Seite
$x + 4$	$=$	$10 x - 5$	$- x$
$4$	$=$	$9 x - 5$	$+ 5$
$9$	$=$	$9 x$	$: 9$
$x$	$=$	$1$

Gemischte Aufgaben zu Gleichungen

Lösen einer Gleichung über 𝔾=ℤ.

1. Umformen

2. Geschicktes Einsetzen

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Lösen einer Gleichung über 𝔾=ℤ.

1. Umformen

2. Geschicktes Einsetzen

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Lösen einer Gleichung über 𝔾=ℤ.

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Lösen einer Gleichung über 𝔾=ℤ.

1. Alle Terme mit x auf die rechte Seite der Gleichung

2. Alle Terme mit x auf die linke Seite der Gleichung

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Lösen einer Gleichung über 𝔾=ℤ.

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Lösen einer Gleichung über 𝔾=ℤ.

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Lösen durch Ausprobieren

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Lösen einer Gleichung über 𝔾=ℤ.

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Richtiger Text

Für x = 1

Für x = 2

Für x = 3

Für x = 4

Für x = 5

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Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .

Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .

Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .

Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .

1. Alle Terme mit $x$ auf die rechte Seite der Gleichung

2. Alle Terme mit $x$ auf die linke Seite der Gleichung

Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .

Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .

Lösen einer Gleichung über $𝔾 = ℤ$ .