Gemischte Aufgaben zu Gleichungen

Probiere die neue Gleichungs-App aus. Dort kannst du Gleichungen interaktiv lösen und bekommst Feedback zu deinem eigenen Lösungsweg.

Mit diesen gemischten Übungsaufgaben lernst du, Gleichungen umzustellen und zu lösen.

1
Ordne den Gleichungen die passende Lösungsmenge zu:
2
Kreuze an, bei welchen mathematischen Ausdrücken eine Gleichung vorliegt.
$\dfrac{2x-3}{5x}\cdot 4$
$22-3\cdot 5+16$
$5 x - 2 = x + 1$
$x = 10$
$\dfrac{2-x}{6}\cdot 3-1=0$
$0 = 2$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
$\dfrac{2x-3}{5x}\cdot 4$
$22-3\cdot 5+16$
Das sind Terme, keine Gleichungen. Es fehlt das "=", welches die Gleichheit zweier Terme beschreibt.
$5 x - 2 = x + 1$
$x = 10$
$\dfrac{2-x}{6}\cdot 3-1=0$
$0 = 2$
Das sind Gleichungen. Auf beiden Seiten dürfen beliebige Terme stehen, auch $0$ . Eine Gleichung muss auch nicht kompliziert sein oder umgestellt werden. Auch die einfache Ausdrücke " $x = 10$ " oder " $0 = 2$ " sind Gleichungen. Eine Gleichung muss nicht von Variablen abhängen.
Überlege, was eine Gleichung ausmacht. Welche der mathematischen Ausdrücke hat das, was eine Gleichung benötigt.

Ermittle die Lösungsmenge der Gleichungen über die Grundmenge $\mathbb{Z}$ und trage die Elemente der Lösungsmenge in das Feld daneben ein.

Beipiele:

$\mathbb{L}=\{2\}$ , dann trage in das Feld $2$ ein.

$\mathbb{L}=\{2;3;4\}$ , dann trage in das Feld $2; 3; 4$ ein.

$\mathbb{L}=\{\}$ , dann trage in das Feld $\text{leer}$ ein.

$x + 3 = 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .
Diese Aufgabe kannst du durch Umformungen der Gleichung oder geschicktes Einsetzen lösen.
1. Umformen
$\displaystyle x+3$ $=$ $\displaystyle 4$ $\displaystyle -3$
↓
Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle 1$
Da $1$ ein Element der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{1\}$ .
2. Geschicktes Einsetzen
Überlege dir hierbei, welche Zahl du zu $3$ addieren musst, damit du $4$ erhältst.
Die Lösung ist $1$ , da $1 + 3 = 4$ und da $1\in\mathbb{Z}$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{1\}$ .
Du hast eine weitere Variante gefunden, diese Aufgabe zu lösen? Dann schreib uns gerne in die Kommentare oder füge deine Variante der Lösung hinzu.
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Tipp: Überlege dir welche Zahl du zu $3$ addieren musst, damit du $4$ erhältst.
$2 x = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .
Diese Aufgabe kannst du durch Umformungen der Gleichung oder geschicktes Einsetzen lösen.
1. Umformen
$\displaystyle 2x$ $=$ $\displaystyle 2$ $\displaystyle :2$
↓
Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle 1$
Da $1$ ein Element der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{1\}$ .
2. Geschicktes Einsetzen
Überlege dir hierbei, welche Zahl du mit $2$ multiplizieren musst, damit du wieder $2$ erhältst.
Die Lösung ist $1$ , da $2\cdot 1= 2$ und da $1\in\mathbb{Z}$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{1\}$ .
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Tipp: Überlege dir welche Zahl du mit $2$ multiplizieren musst, damit du wieder $2$ erhältst.
$6 x = 4 x + 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .
Durch Umformungen der Gleichung kannst du die Aufgabe Lösen. Forme die Gleichung dafür so um, dass alle Terme mit einem $x$ auf der einen Seite der Gleichung stehen und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite der Gleichung stehen.
$\displaystyle 6x$ $=$ $\displaystyle 4 x+4$ $\displaystyle -4x$
↓
Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 2x$ $=$ $\displaystyle 4$ $\displaystyle :2$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle 2$
Da $2$ ein Element der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ ist, ist die gesuchte Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\{2\}$ .
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Tipp: Forme die Gleichung so um, dass alle Terme mit einem $x$ auf der einen Seite der Gleichung und alle Terme ohne $x$ auf der anderen Seite der Gleichung stehen.

$8 x + 8 = 12 x$

$5 x + 3 = 4 x + 2$

$- 2 x - 2 = - 4 x + 1$

$0 x = 2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
Lösen durch Ausprobieren
Wenn du in unsere Gleichung verschiedene Werte einsetzt, fällt dir bestimmt schnell auf, dass bei dieser Aufgabe etwas nicht stimmt.
Für $x = 1$ erhalten wir:
$0\cdot 1=0\neq2$
Für $x = 2$ erhalten wir auch:
$0\cdot 2=0\neq2$
Wenn du eine beliebige Zahl mit $0$ multipizierst, ist das Ergebnis immer $0$ . Deswegen erhältst du in beiden Fällen auf der linken Seite der Gleichung eine $0$ .
Die Gleichung ist also nicht lösbar und $\mathbb{L}=\{\}$ .
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Tipp: Wenn du eine beliebige Zahl mit $0$ multipizierst, ist das Ergebnis immer $0$ .

$-4 x-2=-3 x +\pi$

4

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
Richtiger Text
In einer Gleichung wird die Gleichheit zweier Terme beschrieben. Sie werden getrennt durch das Gleichheitszeichen. Gleichungen können von Variablen abhängen. Für bestimmte Werte, die man für die Variable einsetzt, ist die Gleichung erfüllt. Diese Werte nennt man die Lösung der Gleichung.

Löse die folgende Gleichung nach $x$ auf:

\displaystyle 3x+7-2x=5x-\frac{1}{2}-3x

$x=7\frac{1}{2}$
$x = \dfrac{7}{8}$
$x = - \dfrac{3}{4}$

6
Ziehe die Rechenzeichen an die korrekte Stelle, sodass die Gleichung erfüllt ist.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
Die Gleichung ist erfüllt, wenn:
$\displaystyle 19\color{red}\cdot\color{black} 2\color{red}-\color{black}8=5\color{red}\cdot \color{black}2\color{red}+\color{black}20$

Prüfe durch Einsetzen, ob $x=1,\;2,\;3,\;4,\;5$ eine Lösung der folgenden Gleichung ist:

$\dfrac{90}{x}=x^2+21$

Löse folgende Gleichungen:

Hinweis: Gib die Lösungsmenge ohne $L$ , das Gleichheitszeichen $=$ und die geschweiften Klammern ${}$ an. Falls du für die Lösung mehrere Werte (Zahlen) erhältst , musst du sie durch Kommata $,$ trennen.

Beispiel: Wenn die Lösungsmenge $L =\{4{,}5,9\}$ ist, dann gib in das Feld ein: $4,5, 9$ .

$4 x + 4 = 3 x + 3$

Nach x auflösen
$\displaystyle 4x+4$ $=$ $\displaystyle 3x+3$ $\displaystyle -3x$
$\displaystyle x+4$ $=$ $\displaystyle 3$ $\displaystyle -4$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle -1$
Also ist $L=\left\{-1\right\}.$
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\displaystyle 5x-2=x+6

$3 x = x + 5$

$2 x = 4$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichung
Nach x auflösen
$\displaystyle 2x$ $=$ $\displaystyle 4$ $\displaystyle :2$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle 2$
$\displaystyle L$ $=$ $\displaystyle \left\{2\right\}$
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\displaystyle 7x-9=2x+5

$\frac1{12}x-5=3$

Nach x auflösen
$\displaystyle \frac{1}{12}x-5$ $=$ $\displaystyle 3$ $\displaystyle +5$
$\displaystyle \frac{1}{12}x$ $=$ $\displaystyle 8$ $\displaystyle \cdot12$
$\displaystyle x=96$
$\displaystyle L=\{96\}$
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$- 8 x + 5 = - 5$

$x+4=9x-\left(5-x\right)$

strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
$\frac1{24}x=0$

Gleichungen auflösen
$\displaystyle \frac{1}{24}x$ $=$ $\displaystyle 0$ $\displaystyle \cdot24$
$\displaystyle x$ $=$ $\displaystyle 0$
$L = {0}$
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Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle -4 x-2$	$=$	$\displaystyle -3 x +\pi$	$\displaystyle +3x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle -x-2$	$=$	$\displaystyle \pi$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle -x$	$=$	$\displaystyle \pi+2$	$\displaystyle \cdot (-1)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -\pi-2$

$\displaystyle 3x+7-2x$	$=$	$\displaystyle 5x-\frac{1}{2}-3x$
	↓	Fasse zusammen.
$\displaystyle x+7$	$=$	$\displaystyle 2x-\frac{1}{2}$	$\displaystyle -x$
	↓	Bringe alle $x$ auf die linke Seite.
$\displaystyle 7$	$=$	$\displaystyle x-\frac{1}{2}$	$\displaystyle +\frac{1}{2}$
	↓	Bringe alle Zahlen auf die rechte Seite.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 7\frac{1}{2}$

$\displaystyle \dfrac{90}{x}$	$=$	$\displaystyle x^2 + 21$
	↓	Setze ein.
$\displaystyle \dfrac{90}1$	$=$	$\displaystyle 1^2+21$
	↓	Kürze den Bruch und berechne die Potenz.
$\displaystyle 90$	$=$	$\displaystyle 1 +21$
	↓	Addiere.

$\displaystyle \dfrac{90}{x}$	$=$	$\displaystyle x^2 + 21$
	↓	Setze ein.
$\displaystyle \dfrac{90}2$	$=$	$\displaystyle 2^2+21$
	↓	Kürze den Bruch und berechne die Potenz.
$\displaystyle 45$	$=$	$\displaystyle 4 +21$
	↓	Addiere.

$\displaystyle \dfrac{90}{x}$	$=$	$\displaystyle x^2 + 21$
	↓	Setze ein.
$\displaystyle \dfrac{90}3$	$=$	$\displaystyle 3^2+21$
	↓	Kürze den Bruch und berechne die Potenz.
$\displaystyle 30$	$=$	$\displaystyle 9 +21$
	↓	Addiere.
$\displaystyle 30$	$=$	$\displaystyle 30$

$\displaystyle x+3$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle -3$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle :2$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle 6x$	$=$	$\displaystyle 4 x+4$	$\displaystyle -4x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 4$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle 8 x+8$	$=$	$\displaystyle 12 x$	$\displaystyle -8x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 8$	$=$	$\displaystyle 4x$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle 2$	$=$	$\displaystyle x$

$\displaystyle 8 x+8$	$=$	$\displaystyle 12 x$	$\displaystyle -12x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle -4x+8$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle -8$
$\displaystyle -4x$	$=$	$\displaystyle -8$	$\displaystyle :(-4)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \dfrac{-8}{-4}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle 5x+3$	$=$	$\displaystyle 4x+2$	$\displaystyle -4x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle x+3$	$=$	$\displaystyle 2$	$\displaystyle -3$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1$

$\displaystyle -2x-2$	$=$	$\displaystyle -4x+1$	$\displaystyle +4x$
	↓	Löse nach $x$ auf.
$\displaystyle 2x-2$	$=$	$\displaystyle 1$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1{,}5$

$\displaystyle 4x+4$	$=$	$\displaystyle 3x+3$	$\displaystyle -3x$
$\displaystyle x+4$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle -4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle -1$

$\displaystyle 5x-2$	$=$	$\displaystyle x+6$	$\displaystyle +2$
$\displaystyle 5x$	$=$	$\displaystyle x+8$	$\displaystyle -x$
$\displaystyle 4x$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle :4$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2$

$\displaystyle 3x$	$=$	$\displaystyle x+5$	$\displaystyle -x$
$\displaystyle 2x$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle :2$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2{,}5$
$\displaystyle L$	$=$	$\displaystyle \left\{2{,}5\right\}$

$\displaystyle 7x-9$	$=$	$\displaystyle 2x+5$	$\displaystyle -2x$
$\displaystyle 5x-9$	$=$	$\displaystyle 5$	$\displaystyle +9$
$\displaystyle 5x$	$=$	$\displaystyle 14$	$\displaystyle :5$

$\displaystyle \frac{1}{12}x-5$	$=$	$\displaystyle 3$	$\displaystyle +5$
$\displaystyle \frac{1}{12}x$	$=$	$\displaystyle 8$	$\displaystyle \cdot12$

$\displaystyle -8x+5$	$=$	$\displaystyle -5$	$\displaystyle -5$
$\displaystyle -8x$	$=$	$\displaystyle -10$	$\displaystyle :\left(-8\right)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{-10}{-8}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \frac{10}{8}=\frac{5}{4}=1{,}25$

$\displaystyle x+4$	$=$	$\displaystyle 9x-(5-x)$
	↓	Löse die Klammer auf.
$\displaystyle x+4$	$=$	$\displaystyle 9x-5+x$
	↓	Zusammenfassen auf der rechten Seite
$\displaystyle x+4$	$=$	$\displaystyle 10x-5$	$\displaystyle -x$
$\displaystyle 4$	$=$	$\displaystyle 9x-5$	$\displaystyle +5$
$\displaystyle 9$	$=$	$\displaystyle 9x$	$\displaystyle :9$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 1$

$\displaystyle \frac{1}{24}x$	$=$	$\displaystyle 0$	$\displaystyle \cdot24$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 0$

Gemischte Aufgaben zu Gleichungen

Lösen einer Gleichung über G=Z\mathbb{G}=\mathbb{Z}G=Z.

1. Umformen

2. Geschicktes Einsetzen

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Lösen einer Gleichung über G=Z\mathbb{G}=\mathbb{Z}G=Z.

1. Umformen

2. Geschicktes Einsetzen

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Lösen einer Gleichung über G=Z\mathbb{G}=\mathbb{Z}G=Z.

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Lösen einer Gleichung über G=Z\mathbb{G}=\mathbb{Z}G=Z.

1. Alle Terme mit xxx auf die rechte Seite der Gleichung

2. Alle Terme mit xxx auf die linke Seite der Gleichung

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Lösen einer Gleichung über G=Z\mathbb{G}=\mathbb{Z}G=Z.

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Lösen einer Gleichung über G=Z\mathbb{G}=\mathbb{Z}G=Z.

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Lösen durch Ausprobieren

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Lösen einer Gleichung über G=Z\mathbb{G}=\mathbb{Z}G=Z.

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Richtiger Text

Für x = 1

Für x = 2

Für x = 3

Für x = 4

Für x = 5

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Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .

Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .

Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .

Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .

1. Alle Terme mit $x$ auf die rechte Seite der Gleichung

2. Alle Terme mit $x$ auf die linke Seite der Gleichung

Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .

Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .

Lösen einer Gleichung über $\mathbb{G}=\mathbb{Z}$ .