Aufgaben zu den binomischen Formeln

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raschweb.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Günther Rasch

Multipliziere aus und fasse neu zusammen:

$\left(3x-5y\right)^2-\left(3x+5y\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formel

Wende in der ersten Klammer die zweite binomische Formel und in der zweiten Klammer die erste binomische Formel an.

$\displaystyle \left(3x-5y\right)^2-\left(3x+5y\right)^2$	$=$	$\displaystyle \left(9x^2-30xy+25y^2\right)-\left(9x^2+30xy+25y^2\right)$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$\displaystyle -60xy$

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$\frac23\left(6a-1{,}5b\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln

Wende die zweite binomische Formel an.

$\displaystyle \frac{2}{3}\left(6a-1{,}5b\right)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\left(36a^2-18ab+2{,}25b^2\right)$
	↓	Wende das Distributivgesetz an.
	$=$	$\displaystyle 24a^2-12ab+1{,}5b^2$

Alternative:

Klammere $1{,}5$ aus. Beachte dabei, dass du wegen des Quadrats diesen Faktor zweimal erhältst und dass $\frac{2}{3}$ gerade der Kehrwert von $1{,}5$ ist.

$\displaystyle \frac{2}{3}(6a-1{,}5b)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\cdot 1{,}5\cdot1{,}5\cdot (4a-b)^2$
	↓	Fasse zusammen und wende die 2. Binomische Formel an
	$=$	$\displaystyle 1{,}5\cdot(16a^2-8ab+b^2)$
	↓	Multipliziere aus
	$=$	$\displaystyle 24a^2-12ab+1{,}5b^2$

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$\left(0{,}5x-y\right)^2-\left(0{,}5x-y\right)\cdot\left(0{,}5x+y\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln

Wende in der ersten Klammer die zweite binomische Formel und im hinteren Teil die dritte binomische Formel an.

$\left(0{,}5x-y\right)^2-\left(0{,}5x-y\right)\cdot \left(0{,}5x+y\right)$

	$=$	$\displaystyle \left(0{,}25x^2-xy+y^2\right)-\left(0{,}25x^2-y^2\right)$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$\displaystyle 0{,}25x^2-xy+y^2-0{,}25x^2+y^2$
	↓	$0{,}25x^2$ und $-0{,}25x^2$ heben sich aus und fasse die $y^{2}$ zusammen.
	$=$	$\displaystyle -xy+2y^2$

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$\left(\frac13x-2\right)^2+\frac13\cdot\left(x+2\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln

Klammern mit Hilfe der binomischen Formeln ausrechnen (Erste Klammer mit zweiter binomischer Formel, zweite Klammer mit erster binomischer Formel).

$\displaystyle \left(\frac{1}{3}x-2\right)^2+\frac{1}{3}\cdot\left(x+2\right)^2$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{9}x^2-\frac{4}{3}x+4\right)+\frac{1}{3}\cdot\left(x^2+4x+4\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{9}x^2-\frac{4}{3}x+4+\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{9}x^2+\frac{16}{3}$

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$\left(2x-3\right)^2-2\cdot\left(x+3\right)^2-\frac12\cdot\left(6-2x\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln

Erste Klammer mit zweiter binomischer Formel, zweite Klammer mit erster binomischer Formel und dritte Klammer mit zweiter binomischer Formel ausrechnen.

$\left(2x-3\right)^2-2\cdot \left(x+3\right)^2-\frac{1}{2}\cdot \left(6-2x\right)^2$

	$=$	$\displaystyle \left(4x^2-12x+9\right)-2\cdot\left(x^2+6x+9\right)-\frac{1}{2}\cdot\left(36-24x+4x^2\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle 4x^2-12x+9-2x^2-12x-18-18+12x-2x^2$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle -12x-27$

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$\frac13\cdot\left(1{,}5a-b\right)^2-\frac34\cdot\left(\frac13b+a\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln

Da es nur eine Kommazahl gibt und viele Brüche, kannst du 1,5 in einen Bruch umwandeln, damit das Rechnen einfacher geht.

$\frac{1}{3}\cdot \left(1{,}5a-b\right)^2-\frac{3}{4}\cdot \left(\frac{1}{3}b+a\right)^2$

	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{3}{2}a-b\right)^2-\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{1}{3}b+a\right)^2$
	↓	Erste Klammer mit der 2. binomischen Formel ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{9}{4}a^2-3ab+b^2\right)-\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{1}{3}b+a\right)^2$
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}a^2-ab+\frac{1}{3}b^2-\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{1}{3}b+a\right)^2$
	↓	Klammer mit der 1. binomischen Formel ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}a^2-ab+\frac{1}{3}b^2-\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{1}{9}b^2+\frac{2}{3}ab+a^2\right)$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}a^2-ab+\frac{1}{3}b^2-\frac{1}{12}b^2-\frac{1}{2}ab-\frac{3}{4}a^2$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{2}ab+\frac{1}{4}b^2$

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$\left(a-0{,}4b\right)^2-2\cdot\left(0{,}3b-0{,}5a\right)^2+0{,}2\cdot\left(a+0{,}1b\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln

Erste Klammer mit der 2. binomische Formel auflösen.

$\left(a-0{,}4b\right)^2-2\cdot \left(0{,}3b-0{,}5a\right)^2+0{,}2\cdot \left(a+0{,}1b\right)^2$

	$=$	$\displaystyle \left(a^2-0{,}8ab+0{,}16b^2\right)-2\cdot\left(0{,}3b-0{,}5a\right)^2+0{,}2\cdot\left(a+0{,}1b\right)^2$
	↓	Zweite Klammer mit der 2. binomischen Formel auflösen.
	$=$	$\displaystyle a^2-0{,}8ab+0{,}16b^2-2\cdot\left(0{,}09b^2-0{,}3ab+0{,}25a^2\right)+0{,}2\cdot\left(a+0{,}1b\right)^2$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle a^2-0{,}8ab+0{,}16b^2-0{,}18b^2+0{,}6ab-0{,}5a^2+0{,}2\cdot\left(a+0{,}1b\right)^2$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5a^2-0{,}2ab-0{,}02b^2+0{,}2\cdot\left(a+0{,}1b\right)^2$
	↓	Klammer mit der 1. binomischen Formel auflösen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5a^2-0{,}2ab-0{,}02b^2+0{,}2\cdot\left(a^2+0{,}2ab+0{,}01b^2\right)$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5a^2-0{,}2ab-0{,}02b^2+0{,}2a^2+0{,}04ab+0{,}002b^2$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}7a^2-0{,}16ab-0{,}018b^2$

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