Aufgaben zu den binomischen Formeln

Hier findest du Aufgaben zu den binomischen Formeln. Lerne, binomische Formeln anzuwenden und vertiefe dein Wissen!

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Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\left(a+4\right)^2=a^2+2\cdot a\cdot4+4^2=a^2+8a+16$
$\left(4-a\right)^2=4^2-2\cdot4\cdot a+a^2=16-8a+a^2=a^2-8a+16$
$\left(a-2\right)^2=a^2-2\cdot a\cdot2+2^2=a^2-4a+4$
$\left(a+2\right)^2=a^2+2\cdot a\cdot2+2^2=a^2+4a+4$
$\left(2-a\right)^2=2^2-2\cdot a\cdot2+a^2=4-4a+a^2=a^2-4a+4$
Überlege zunächst, welche der binomischen Formeln du anwenden kannst.
Was entspricht in der Aufgabe den Variablen $a$ und $b$ aus der passenden Formel?

Was ist hier falsch?

	$\displaystyle \left(-a-2{,}5\right)^2$
	↓ Faktor -1 ausklammern.
$=$	$\displaystyle -1\cdot\left(a+2{,}5\right)^2$
	↓ 1. binomische Formel anwenden
$=$	$\displaystyle -1\cdot\left(a^2+5a+6{,}25\right)$
	↓ Klammer ausmultiplizieren
$=$	$\displaystyle -a^2-5a-6{,}25$

Was ergibt $1\,000\,000\,000\,000\,001^2-999\,999\,999\,999\,999^2$ ?

Welche der folgenden Terme sind zum Term $x^2-\left(3-x\right)^2$ äquivalent?

Löse auf (Binome)

$\left(ac+bd\right)^2$

$(a + b)^{2}$

$\left(a+bc\right)^2$

$\left(ad+cb\right)^2$

$5 (6 x + 4 y)^{2}$

$(3 - 8 n)^{2}$

$(u + 5 v)^{2}$

$(z - 1)^{2}$

$(2 s + r)^{2}$

$(4 a - 5 b)^{2}$

$(a + b) (u + v)^{2}$

$(3 b - 5 c) (2 x + 5 y)^{2}$

Schreibe ohne Klammern

$(a + 7) (a - 7)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$(a + 7) (a - 7)$
3. Binomische Formel anwenden, um die Klammern aufzulösen. Falls du die Formel nicht parat hast, kannst du die Klammern ausmultiplizieren:
$[a * (a - 7)] + [7 * (a - 7)]$
Dafür multiplizierst du jeden Term der ersten Klammer ( $a$ und $7)$ mit der gesamten zweiten Klammer $(a - 7)$ . Weil das Additionsverhältnis der ersten Klammer weiter abgebildet werden muss, addierst du die beiden Multiplikationen $a * (a - 7)$ und $7 * (a - 7)$ wieder. Wegen Punkt vor Strich musst du hierfür jeweils eine große Klammer setzen: $[a * (a - 7)] + [7 * (a - 7)]$
$a^{2} - 7 a + 7 a - 49 a²-7a+7a-49$
Löse die Klammern von innen () nach außen [ ] auf. Beachte dabei die Vorzeichenregeln: aus $a * (- 7$ ) wird $- 7 a$ und aus $7 * (- 7)$ wird $- 49$ ! Darum ist der letzte Term im Setting $(a + b) (a - b)$ immer negativ.
$a^{2} (+ 0) - 49 a²(+0)-49$
Die Terme $- 7 a$ und $+ 7 a$ heben sich auf. Die mittleren Terme heben sich im Setting $(a + b) (a - b)$ immer auf. Darum kannst du dir den ganzen Prozess sparen, wenn du die 3. binomische Formel kennst! :D
$= a^{2} - 49$
Denn übrig bleibt das Ergebnis der 3. binomischen Formel $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2} (a-b)(a+b)=a²-b²$
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$\left(a+4b\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Anwendung der ersten binomischen Formel
$\left(a+4b\right)^2$
1. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.
$= a^{2} + 8 a b + 16 b^{2}$
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$\left(2r-12\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\left(2r-12\right)^2$
2. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.
$= 4 r^{2} - 48 r + 144$
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$\left(r^2+5\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Klammer auflösen mit binomischer Formel
$\left(r^2+5\right)^2$
1. Binomische Formel anwenden, um die Klammer aufzulösen.
$= r^{4} + 10 r^{2} + 25$
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$\left(r-\frac13\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\left(r-\frac13\right)^2$
2. Binomische Formel anwenden um die Klammer auflösen.
$=r^2-\frac23r+\frac19$
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$\left(r+8\right)\left(r-8\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\left(r+8\right)\left(r-8\right)$
3. Binomische Formel anwenden um die Klammern aufzulösen.
$= r^{2} - 64$
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$\left(2r+9\right)\left(2r-9\right)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\left(2r+9\right)\left(2r-9\right)$
Die 3. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.
$= 4 r^{2} - 81$
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$\left(-z+9\right)^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\left(-z+9\right)^2$
Kommutativgesetz anwenden.
$=\left(9-z\right)^2$
2. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.
$= 81 - 18 z + z^{2}$
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$\left(-a-2{,}5\right)^2$

$\left(r+4\right)^3$

$\left(2r-\frac12\right)^3$

Vereinfache

$\left(2+r\right)^2-\left(2-r\right)^2$

$16r^2-\left(3a-4r\right)^2$

$\left(5r-19\right)^2-\left(r-3\right)\left(3+r\right)-\left(3r+4\right)\left(4r-5\right)+\left(2r+3\right)^2+179r+1$

Kann man die binomische Formel anwenden? Wenn ja, wende sie an.

$(4x+5y)\;(5y+4x)$

$(8 x^{2} - 3 x) (8 x^{2} - 3 x)$

$(4 p + 5 q) (4 q + 5 p)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
Für den Term $(4 p + 5 q) (4 q + 5 p)$ kann man die binomischen Formeln nicht anwenden, weil es in den beiden Klammern nicht dieselben Terme sind und auch die 3. binomische Formel nicht angwendet werden kann.
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$(8 x^{2} - 3 x) (3 x + 8 x^{2})$

$(- x - 3 y) (- 3 y - x)$

$(\frac34m-2n)(\frac43m-2n)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
Für den Term $(\frac34m-2n)(\frac43m-2n)$ kann man keine binomische Formel anwenden, da die Terme in den Klammern gleich sein müssen. Aber $\frac34m$ und $\frac43m$ sind nicht gleich.
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$16 a^{2} - 16 a b + 4 b^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
$\displaystyle 16a^2-16ab+4b^2$ $=$ $\displaystyle \left(4a-2b\right)^2$
↓
Erkennen und Auflösen der 2. binomische Formel.
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$\frac14a^2-4ab+4b^2$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
Für den Term $\frac14a^2-4ab+4b^2$ kann man keine binomische Formel anwenden, da bei diesen Quadrattermen der Mischterm $2\cdot\frac12a\cdot2b=2ab$ sein müsste.
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$25 a^{2} + 50 a b - 4 b^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
$25 a^{2} + 50 a b - 4 b^{2}$
Man kann keine binomische Formel anwenden. Die Quadratterme $25 a^{2}$ und $- 4 b^{2}$ haben unterschiedliche Vorzeichen. Für die erste und zweite binomische Formel müssen nämlich die Koeffizienten von $a^{2}$ und $b^{2}$ dieselben Vorzeichen haben. Außerdem müsste dann der Mischterm $2\cdot5a\cdot2b=20ab$ sein und nicht wie hier $50 a b$ . Bei der dritten binomischen Formel haben zwar $a^{2}$ und $b^{2}$ unterschiedliche Vorzeichen, jedoch kann es dabei keinen Mischterm geben.
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Multipliziere aus und fasse neu zusammen:

$\left(3x-5y\right)^2-\left(3x+5y\right)^2$

$\frac23\left(6a-1{,}5b\right)^2$

$\left(0{,}5x-y\right)^2-\left(0{,}5x-y\right)\cdot\left(0{,}5x+y\right)$

$\left(\frac13x-2\right)^2+\frac13\cdot\left(x+2\right)^2$

$\left(2x-3\right)^2-2\cdot\left(x+3\right)^2-\frac12\cdot\left(6-2x\right)^2$

$\frac13\cdot\left(1{,}5a-b\right)^2-\frac34\cdot\left(\frac13b+a\right)^2$

$\left(a-0{,}4b\right)^2-2\cdot\left(0{,}3b-0{,}5a\right)^2+0{,}2\cdot\left(a+0{,}1b\right)^2$

10
Ergänze
1. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
  $…\;+\;14r+49=\left(…….\right)^2$
  Am $+$ vor dem Mischterm $14 r$ erkennt man, dass man die 1. Binomische Formel $\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$ anwenden muss.
  Aus dem Quadratterm kann man $b$ bestimmen.
  $49 = b^{2}$ $\Rightarrow$ $b = 7$
  $…\;+14r+49=\left(…\;+7\right)^2$
  Aus dem Mischterm kann man $a$ bestimmen.
  $\displaystyle 2\cdot a\cdot b=14r$
  $2\cdot7\cdot a\;=14r\;\Rightarrow\;a=r$
  $\Rightarrow\;\left(r+7\right)^2$
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2. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
  $r^2-\frac13r\;….=\left(……\right)^2$
  Am $-$ vor dem Mischterm $\frac13r$ erkennt man, dass man die 2. Binomische Formel $\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$ anwenden muss.
  Aus Quadratterm kann man $a$ bestimmen.
  $a^2=r^2\;\Rightarrow\;a=r$
  $r^2-\frac13r……\;=\;\;\left(r-\;…\right)^2$
  Aus dem Mischterm kann man $b$ bestimmen.
  $2\cdot a\cdot b=\frac13r$
  $2\cdot r\cdot b=\frac13r\;\Rightarrow\;b=\frac16$
  $\Rightarrow\;\;\left(r-\frac16\right)^2$
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Verwandle in ein Produkt.

$225 + 30 a + a^{2}$

$4 m^{2} + 28 m + 49$

$9 a^{2} - 16 b^{2}$

$81 u^{2} - 36 u + 4$

$36 u^{2} - 289 w^{2}$

$324 + 36 x + x^{2}$

$49 k^{2} - 70 k u + 25 u^{2}$

$64 y^{2} - 160 y z + 100 z^{2}$

$361 m^{2} - 256 n^{2}$

$121 x^{2} + 44 x y + 4 y^{2}$

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Faktorisiere
1. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $100 r^{2} - 225$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  $100 r^{2} - 225$
  Da es nur zwei Quadratterme ohne Mischterm gibt, muss man die 3. Binomische Formel anwenden.
  $100r^2=\left(10r\right)^2$ und $225 = 15^{2}$
  $100r^2-225=\left(10r-15\right)\left(10r+15\right)$
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2. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $4 r^{2} + 4 r + 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  $4 r^{2} + 4 r + 1$
  Am $+$ vor dem Mischterm $4 r$ erkennt man, dass man die 1. Binomische Formel anwenden muss.
  $4r^2=\left(2r\right)^2$ und $1 = 1^{2}$
  $4r^2+4r+1=\left(2r+1\right)^2$
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3. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $r^2-7r+12\frac14$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  $r^2-7r+12\frac14$
  Am $-$ vor dem Mischterm $7 r$ erkennt man, dass man die 2.Binomische Formel anwenden muss.
  $12\frac14=3{,}5^2$
  $r^2-7r+12\frac{1}{4}=\left(r-3{,}5\right)^2$
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4. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $48 r^{3} - 147 r y^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  $48 r^{3} - 147 r y^{2}$
  Man kann aus beiden Termen $3 r$ ausklammern .
  $=3r\left(16r^2\;-49y^2\right)$
  Nun kann man die 3.Binomische Formel anwenden.
  $=3r\left(4r-7y\right)\left(4r+7y\right)$
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5. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $49 p^{2} - 112 p q + 64 q^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  $49 p^{2} - 112 p q + 64 q^{2}$
  An den beiden Quadrattermen und dem $-$ vor dem Mischterm $112 p q$ erkennt man, dass man die 2. Binomische Formel anwenden kann.
  $49p^2=\left(7p\right)^2$ , $64q^2=\left(8q\right)^2$
  $49p^2-112pq+64q^2=\;\left(7p-8q\right)^2$
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6. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $24 a^{2} r^{2} + 120 a r + 150$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  $24 a^{2} r^{2} + 120 a r + 150$
  Den Faktor 6 aus allen Termen ausklammern.
  $=6\left(4a^2r^2+20ar+25\right)$
  1.Binomische Formel anwenden.
  $=6\left(2ar+5\right)^2$
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Fasse folgende Binome zusammen.
1. $\frac14a^2-3\mathrm{ab}+9b^2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  Wende die 2. binomische Formel an.
  $\frac14a^2-3ab+9b^2$
  $=(\frac12a-3b)^2$
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2. $4 b^{2} - c^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  Wende die 3. binomische Formel an.
  $4 b^{2} - c^{2}$
  $= (2 b + c) (2 b - c)$
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3. $4x^2-12\mathrm{xy}+9y^2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  Wende die 2. binomische Formel an .
  $4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2}$
  $= (2 x - 3 y)^{2}$
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4. $\frac14a^2-\mathrm{ab}+b^2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  Wende die 2. binomischen Formel an.
  $\frac14a^2-ab+b^2$
  $=(\frac12a-b)^2$
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5. $a^{2} - b^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  Wende die 3. binomischen Formel an.
  $a^{2} - b^{2}$
  $= (a + b) (a - b)$
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6. $49 p^{2} - 81 q^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  $49 p^{2} - 81 q^{2}$
  Wende die 3. binomischen Formel an .
  $= (7 p + 9 q) (7 p - 9 q)$
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7. $a^{2} + 16 - 8 a$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  Nutze das Kommutativgesetz, um die Terme umzustellen.
  $a^{2} + 16 - 8 a$
  $= a^{2} - 8 a + 16$
  Wende nun die 2. binomische Formel an.
  $a^2+16-8a\ \\=\ a^2-8a+16\ \\=(a-4)^2$
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8. $a^{2} + 10 a + 25$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  Wende die 1. binomische Formel an.
  $a^{2} + 10 a + 25$
  $= (a + 5)^{2}$
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9. $5 x^{2} + 3 x y + y^{2} + x y - x^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  Fasse zuerst die Terme zusammen.
  $5 x^{2} + 3 x y + y^{2} + x y - x^{2}$
  $=4x^2+4\mathrm{xy}+y^2$
  Wende nun die 1. binomische Formel an.
  $4x^2+4\mathrm{xy}+y^2\\=(2x+y)^2$
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10. $\frac{36}{49}m^2-\frac3{14}mn+\frac1{64}n^2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  Wende die 2. binomische Formel an.
  $\frac{36}{49}m^2-\frac3{14}mn+\frac1{64}n^2$
  $=(\frac67m-\frac18n)^2$
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11. $\frac19u^2-\frac4{15}uv+\frac4{25}v^2$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  Wende die 2. binomische Formel an.
  $\frac19u^2-\frac4{15}uv+\frac4{25}v^2$
  $=(\frac13u-\frac25v)^2$
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Benutze binomische Formeln um die Brüche zu kürzen

\displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x+1}

\displaystyle \frac{x^2-1}{x+1}

\displaystyle \frac{\left(x+3y\right)^3}{x^2+6xy+9y^2}

\displaystyle \frac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}{x^2-4x+4}

\displaystyle \frac{x^4+18x^2+89}{\left(x^2+9\right)^2}

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Beim Betrachten der Quadratzahlen $1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ \dots$ fällt auf, dass die Differenz von jeweils zwei benachbarten Quadratzahlen immer um $2$ wächst:
$4 - 1 = 3$ ,
dann $9 - 4 = 5$ ,
dann $16 - 9 = 7$ ,
dann $25 - 16 = 9$ ,
dann $36 - 25 = 11$
usw.
Erkläre diesen Zusammenhang mit Hilfe einer binomischen Formel!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
2 aufeinander folgende Zahlen kann man als $n$ und $n + 1$ schreiben.
Quadriere nun die beiden Zahlen.
Du erhältst: $n^{2}$ und $(n + 1)^{2}$ .
Bilde die Differenz der beiden Zahlen und berechne den Wert des Terms durch Nutzen der 1. binomischen Formel.
$\left(n+1\right)^2-n^2\\=(n^2+2n+1^2)-n^2\\=n^2+2n+1-n^2\\=2n+1$
Setzt man für $n$ jeweils die nächstgrößere natürliche Zahl ein, so wird diese Differenz wegen $2 n$ immer um $2$ größer.
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Interpretiere die Skizze als verallgemeinerte binomische Formel $\left(a+b+c\right)^2$ . Berechne entsprechend $\left(2x+a+12\right)^2$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Lies aus der Skizze die Flächen der einzelnen Rechtecke ab und addiere sie:
$\def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \left(a+b+c\right)^2&=&a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2 \\ &=& a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \end{array}$
Verwende diese Formel nun für die Aufgabe $\left(2x+a+12\right)^2$ :
$\displaystyle \def\arraystretch{1.25} \begin{array}{rcl} \left(2x+a+12\right)^2 &=&\left(2x\right)^2+a^2+144+2\cdot2x\cdot a+2\cdot2x\cdot12+2\cdot a\cdot12 \\ \\&=&4x^2+a^2+144+4ax+48x+24a \end{array}$
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Klammere gemeinsame Faktoren aus.
1. $c a + a$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern einer Variablen
  Klammere hier die Variable $a$ aus.
  $\displaystyle ca+a$ $=$ $\displaystyle a\cdot\left(c+1\right)$
  ↓
  Ausklammern der Variablen $a$
  Die Lösung ist $a (c + 1)$ .
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2. $4 a + 2 a b$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern einer Variablen
  In dieser Aufgabe klammerst du $2 a$ aus.
  $\displaystyle 4a+2ab$ $=$ $\displaystyle 2a\cdot\left(2+b\right)$
  ↓
  Ausklammern von $2 a$ .
  Die Lösung ist $2 a (2 + b)$ .
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3. $4 a + 6 b$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern einer Variablen
  In dieser Aufgabe klammerst du die Zahl $2$ aus.
  $\displaystyle 4a+6b$ $=$ $\displaystyle 2\cdot\left(2a+3b\right)$
  ↓
  Ausklammern von der Zahl $2$ .
  Die Lösung ist $2 (2 a + 3 b)$ .
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4. $- 3 a c + 9 a b$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern einer Variablen
  Lösungsvorschlag 1
  $\displaystyle -3ac+9ab$ $=$ $\displaystyle -3\cdot\left(c-3b\right)$
  ↓
  Ausklammern von der Zahl $- 3$ und der Variablen $a$ .
  Die Lösung ist $- 3 a (c - 3 b)$ .
  Lösungsvorschlag 2
  $\displaystyle -3ac+9ab$ $=$ $\displaystyle +3a\cdot\left(-c+3b\right)$
  ↓
  Ausklammern von der Zahl $+ 3$ und der Variablen $a$ .
  Die Lösung ist $3a \cdot (-c+3b)$ .
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Löse die Klammern auf. Fasse so weit wie möglich zusammen.

$(a + b)^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formel
Löse Klammer auf
↓
$\displaystyle \left(a+b\right)^2$ $=$ $\displaystyle a^2+2ab+b^2$
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$(c - d)^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formel
$\displaystyle \left(c-d\right)^2$ $=$ $\displaystyle c^2-2cd+d^2$
↓
Löse die Klammer auf.
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$(2+a)\cdot(2-a)$

Dieses Werk steht unter der freien Lizenz
CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle a^2-b^2$
	↓	Verwende die 3. binomische Formel.
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle \left(a-b\right)\cdot\left(a+b\right)$
	↓	Die beiden Zahlen sind jeweils um $1$ größer bzw. kleiner als $10^{15}$ .
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle (\color{#cc0000}{(10^{15}+1)}-\color{#006400}{(10^{15}-1)})(\color{#cc0000}{(10^{15}+1)}+\color{#006400}{(10^{15}-1)})$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle (10^{15}+1-10^{15}+1)\cdot(10^{15}+1+10^{15}-1)$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 2\cdot2\cdot10^{15}$
$\displaystyle x$	$=$	$\displaystyle 4\cdot10^{15}=4\,000\, 000\,000\,000\,000$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle \left(\textcolor{cc0000}{ ac }+\textcolor{009999}{ bd }\right)^2$	$=$	$\displaystyle (\textcolor{cc0000}{ ac })^2+2\cdot \textcolor{cc0000}{ ac }\cdot \textcolor{009999}{ bd }+(\textcolor{009999}{ bd })^2$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$\displaystyle a^2c^2+2abcd+b^2d^2$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle \left(\textcolor{cc0000}{ a }+\textcolor{009999}{ bc }\right)^2$	$=$	$\displaystyle \textcolor{cc0000}{ a }^2+2\cdot \textcolor{cc0000}{ a }\cdot\textcolor{009999}{ bc } +\left(\textcolor{009999}{ bc }\right)^2$
	↓	Berechne das Quadrat und das Produkt.
	$=$	$\displaystyle a^2+2abc+b^2c^2$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle \left(\textcolor{cc0000}{ ad }+\textcolor{009999}{ cb }\right)^2$	$=$	$\displaystyle (\textcolor{cc0000}{ ad })^2+2\cdot \textcolor{cc0000}{ ad }\cdot \textcolor{009999}{ cb }+(\textcolor{009999}{ cb })^2$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$\displaystyle a^2d^2+2abcd+b^2c^2$

Wende die 2. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle \left(\textcolor{cc0000}{ 3 }-\textcolor{009999}{ 8n }\right)^2$	$=$	$\displaystyle \textcolor{cc0000}{ 3 }^2-2\cdot \textcolor{cc0000}{ 3 }\cdot\textcolor{009999}{ 8n }+(\textcolor{009999}{ 8n })^2$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$\displaystyle 9-48n+64n^2$

$\displaystyle x^2-\left(3-x\right)^2$	$=$	$\displaystyle x^2-\left( 9-6x+x^2 \right)$
	↓	Löse die Klammer auf
	$=$	$\displaystyle x^2-9+6x-x^2$
	↓	Vereinfache weiter
	$=$	$\displaystyle 6x-9$

Wende auf die Klammer die 1. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle 5\cdot\left(\textcolor{cc0000}{ 6x }+\textcolor{009999}{ 4y }\right)^2$	$=$	$\displaystyle 5\cdot\left((\textcolor{cc0000}{ 6x })^2+2\cdot \textcolor{cc0000}{ 6x }\cdot\textcolor{009999}{ 4y }+(\textcolor{009999}{ 4y })^2\right)$
	↓	Berechne in der Klammer die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$\displaystyle 5\cdot\left(\textcolor{cc0000}{ 36x }^2+48xy+\textcolor{009999}{ 16y }^2\right)$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$\displaystyle 180x^2+240xy+80y^2$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle \left(\textcolor{cc0000}{ u}+\textcolor{009999}{ 5v }\right)^2$	$=$	$\displaystyle \textcolor{cc0000}{ u }^2+2\cdot \textcolor{cc0000}{ u}\cdot\textcolor{009999}{ 5v }+(\textcolor{009999}{ 5v })^2$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$\displaystyle u^2+10uv+25v^2$

Wende die 2. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle \left(\textcolor{cc0000}{z}-\textcolor{009999}{ 1 }\right)^2$	$=$	$\displaystyle \textcolor{cc0000}{ z }^2-2\cdot \textcolor{cc0000}{ z}\cdot\textcolor{009999}{ 1 }+\textcolor{009999}{ 1 }^2$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$\displaystyle z^2-2z+1$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle \left(\textcolor{cc0000}{ 2s}+\textcolor{009999}{ r }\right)^2$	$=$	$\displaystyle (\textcolor{cc0000}{ 2s })^2+2\cdot \textcolor{cc0000}{ 2s}\cdot\textcolor{009999}{ r }+(\textcolor{009999}{ r })^2$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$\displaystyle 4s^2+4rs+r^2$

Wende die 2. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle \left(\textcolor{cc0000}{4a}-\textcolor{009999}{ 5b }\right)^2$	$=$	$\displaystyle (\textcolor{cc0000}{ 4a})^2-2\cdot \textcolor{cc0000}{ 4a}\cdot\textcolor{009999}{ 5b }+(\textcolor{009999}{ 5b })^2$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$\displaystyle 16a^2-40ab+25b^2$

Wende auf die 2. Klammer die 1. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle \left(a+b\right)\cdot\left(\textcolor{cc0000}{u}+\textcolor{009999}{ v }\right)^2$	$=$	$\displaystyle \left(a+b\right)\cdot\left(\textcolor{cc0000}{u}^2+2\cdot \textcolor{cc0000}{u}\cdot\textcolor{009999}{ v }+\textcolor{009999}{ v }^2\right)$
	↓	Multipliziere die beiden Klammern.
	$=$	$\displaystyle au^2+2auv+av^2+bu^2+2buv+bv^2$

Wende auf die 2. Klammer die 1. Binomische Formel an
	↓
$\displaystyle \left(3b-5c\right)\cdot \left(\textcolor{cc0000}{2x}+\textcolor{009999}{ 5y }\right)^2$	$=$	$\displaystyle \left(3b-5c\right)\cdot\left((\textcolor{cc0000}{2x})^2+2\cdot \textcolor{cc0000}{2x}\cdot\textcolor{009999}{ 5y }+(\textcolor{009999}{ 5y })^2\right)$
	↓	Berechne in der 2. Klammer die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$\displaystyle \left(3b-5c\right)\cdot\left(\textcolor{cc0000}{4x}^2+20xy+\textcolor{009999}{ 25y }^2\right)$
	↓	Multipliziere die beiden Klammern.
	$=$	$\displaystyle 12bx^2+60bxy+75by^2-20cx^2-100cxy-125cy^2$

$\displaystyle \left(-a-2{,}5\right)^2$	$=$
	↓	Faktor $- 1$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle \left[-1\cdot\left(a+2{,}5\right)\right]^2$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$\displaystyle (-1)^2\cdot\left(a+2{,}5\right)^2$
	↓	1. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.
	$=$	$\displaystyle 1\cdot(a^2+5a+6{,}25)$
	$=$	$\displaystyle a^2+5a+6{,}25$

$\displaystyle \left(r+4\right)^3$	$=$
	↓	Faktorisiere so, dass man einen Term hoch zwei erhält, so dass man dann eine der binomischen Formeln anwenden kann.
	$=$	$\displaystyle \left(r+4\right)^2\left(r+4\right)$
	↓	1. Binomische Formel anwenden, um die erste Klammer aufzulösen.
	$=$	$\displaystyle \left(r^2+8r+16\right)\left(r+4\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle r^3+8r^2+16r+4r^2+32r+64$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle r^3+12r^2+48r+64$

$\displaystyle \left(2r-\frac{1}{2}\right)^3$	$=$
	↓	Faktorisiere so, dass man einen Term hoch zwei erhält, sodass man dann eine der binomischen Formeln verwenden kann.
	$=$	$\displaystyle \left(2r-\frac{1}{2}\right)\left(2r-\frac{1}{2}\right)^2$
	↓	Die 2. Binomische Formel auf die zweite Klammer anwenden.
	$=$	$\displaystyle \left(2r-\frac{1}{2}\right)\left(4r^2-2r+\frac{1}{4}\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren .
	$=$	$\displaystyle 8r^3-4r^2+\frac{1}{2}r-2r^2+r-\frac{1}{8}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle 8r^3-6r^2+\frac32r-\frac18$

$\displaystyle \left(2+r\right)^2-\left(2-r\right)^2$	$=$	$\displaystyle 4+4r+r^2-\left(4-4r+r^2\right)$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$\displaystyle 4+4r+r^2-4+4r-r^2$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle 8r$

$\displaystyle 16r^2-\left(3a-4r\right)^2$	$=$	$\displaystyle 16r^2-\left(9a^2-24ar+16r^2\right)$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$\displaystyle 16r^2-9a^2+24ar-16r^2$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle -9a^2+24ar$

	$\displaystyle \left(5r-19\right)^2-\left(r-3\right)\left(3+r\right)-\left(3r+4\right)\left(4r-5\right)+\left(2r+3\right)^2+179r+1$
	↓ Die 1. und 2. binomische Formel auf $\left(5r-19\right)^2$ und $\left(2r+3\right)^2$ anwenden und 3. binomische Formel auf $(r - 3) (r + 3)$ anwenden.
$=$	$\displaystyle 25r^2-190r+361-\left(r-3\right)\left(3+r\right)-\left(3r+4\right)\left(4r-5\right)+4r^2+12r+9+179r+1$
	↓ Klammern auflösen.
$=$	$\displaystyle 25r^2-190r+361-r^2+9-12r^2+15r-16r+20+4r^2+12r+9+179r+1$
	↓ Terme zusammenfassen.
$=$	$\displaystyle 16r^2+400$

$\displaystyle \left(4x+5y\right)\left(5y+4x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(4x+5y\right)\left(4x+5y\right)$
	↓	Mit dem Kommutativgesetz die Terme umstellen.
	$=$	$\displaystyle \left(4x+5y\right)^2$
	↓	Man kann die 1. binomische Formel anwenden.
	$=$	$\displaystyle 16x^2+40xy+25y^2$

$\displaystyle \left(8x^2-3x\right)\left(8x^2-3x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(8x^2-3x\right)^2$
	↓	Man kann die 2. binomische Formel anwenden.
	$=$	$\displaystyle \left(8x^2\right)^2-2\cdot8x^2\cdot3x+\left(3x\right)^2$
	↓	Vereinfache mithilfe der Potenzgesetze
	$=$	$\displaystyle 64x^4-48x^3+9x^2$

$\displaystyle \left(8x^2-3x\right)\left(3x+8x^2\right)$	$=$	$\displaystyle \left(8x^2-3x\right)\left(8x^2+3x\right)$
	↓	Man kann die 3. binomische Formel anwenden.
	$=$	$\displaystyle 64x^4-9x^2$

$\displaystyle \left(-x-3y\right)\left(-3y-x\right)$	$=$	$\displaystyle \left(-x-3y\right)\left(-x-3y\right)$
	↓	Mit dem Kommutativgesetz die Terme umstellen. Forme bzw. schreibe den Term dafür um.
	$=$	$\displaystyle \left[\left(-1\right)\cdot\left(x+3y\right)\right]\cdot\left[\left(-1\right)\cdot\left(x+3y\right)\right]$
	↓	Den Faktor $- 1$ ausklammern.
	$=$	$\displaystyle \left(-1\right)^2\cdot\left(x+3y\right)^2$
	$=$	$\displaystyle \left(x+3y\right)^2$
	↓	Man kann die 1. binomische Formel anwenden.
	$=$	$\displaystyle x^2+6xy+9y^2$

$\displaystyle 16a^2-16ab+4b^2$	$=$	$\displaystyle \left(4a-2b\right)^2$
	↓	Erkennen und Auflösen der 2. binomische Formel.

$\displaystyle \left(3x-5y\right)^2-\left(3x+5y\right)^2$	$=$	$\displaystyle \left(9x^2-30xy+25y^2\right)-\left(9x^2+30xy+25y^2\right)$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$\displaystyle -60xy$

Aufgaben zu den binomischen Formeln

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Anwendung der ersten binomischen Formel

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Klammer auflösen mit binomischer Formel

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$\displaystyle \frac{2}{3}\left(6a-1{,}5b\right)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\left(36a^2-18ab+2{,}25b^2\right)$
	↓	Wende das Distributivgesetz an.
	$=$	$\displaystyle 24a^2-12ab+1{,}5b^2$

$\displaystyle \frac{2}{3}(6a-1{,}5b)^2$	$=$	$\displaystyle \frac{2}{3}\cdot 1{,}5\cdot1{,}5\cdot (4a-b)^2$
	↓	Fasse zusammen und wende die 2. Binomische Formel an
	$=$	$\displaystyle 1{,}5\cdot(16a^2-8ab+b^2)$
	↓	Multipliziere aus
	$=$	$\displaystyle 24a^2-12ab+1{,}5b^2$

	$=$	$\displaystyle \left(0{,}25x^2-xy+y^2\right)-\left(0{,}25x^2-y^2\right)$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$\displaystyle 0{,}25x^2-xy+y^2-0{,}25x^2+y^2$
	↓	$0{,}25x^2$ und $-0{,}25x^2$ heben sich aus und fasse die $y^{2}$ zusammen.
	$=$	$\displaystyle -xy+2y^2$

$\displaystyle \left(\frac{1}{3}x-2\right)^2+\frac{1}{3}\cdot\left(x+2\right)^2$	$=$	$\displaystyle \left(\frac{1}{9}x^2-\frac{4}{3}x+4\right)+\frac{1}{3}\cdot\left(x^2+4x+4\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{9}x^2-\frac{4}{3}x+4+\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}x+\frac{4}{3}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle \frac{4}{9}x^2+\frac{16}{3}$

	$=$	$\displaystyle \left(4x^2-12x+9\right)-2\cdot\left(x^2+6x+9\right)-\frac{1}{2}\cdot\left(36-24x+4x^2\right)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
	$=$	$\displaystyle 4x^2-12x+9-2x^2-12x-18-18+12x-2x^2$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle -12x-27$

	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{3}{2}a-b\right)^2-\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{1}{3}b+a\right)^2$
	↓	Erste Klammer mit der 2. binomischen Formel ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{1}{3}\cdot\left(\frac{9}{4}a^2-3ab+b^2\right)-\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{1}{3}b+a\right)^2$
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}a^2-ab+\frac{1}{3}b^2-\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{1}{3}b+a\right)^2$
	↓	Klammer mit der 1. binomischen Formel ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}a^2-ab+\frac{1}{3}b^2-\frac{3}{4}\cdot\left(\frac{1}{9}b^2+\frac{2}{3}ab+a^2\right)$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle \frac{3}{4}a^2-ab+\frac{1}{3}b^2-\frac{1}{12}b^2-\frac{1}{2}ab-\frac{3}{4}a^2$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle -\frac{3}{2}ab+\frac{1}{4}b^2$

	$=$	$\displaystyle \left(a^2-0{,}8ab+0{,}16b^2\right)-2\cdot\left(0{,}3b-0{,}5a\right)^2+0{,}2\cdot\left(a+0{,}1b\right)^2$
	↓	Zweite Klammer mit der 2. binomischen Formel auflösen.
	$=$	$\displaystyle a^2-0{,}8ab+0{,}16b^2-2\cdot\left(0{,}09b^2-0{,}3ab+0{,}25a^2\right)+0{,}2\cdot\left(a+0{,}1b\right)^2$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle a^2-0{,}8ab+0{,}16b^2-0{,}18b^2+0{,}6ab-0{,}5a^2+0{,}2\cdot\left(a+0{,}1b\right)^2$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5a^2-0{,}2ab-0{,}02b^2+0{,}2\cdot\left(a+0{,}1b\right)^2$
	↓	Klammer mit der 1. binomischen Formel auflösen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5a^2-0{,}2ab-0{,}02b^2+0{,}2\cdot\left(a^2+0{,}2ab+0{,}01b^2\right)$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
	$=$	$\displaystyle 0{,}5a^2-0{,}2ab-0{,}02b^2+0{,}2a^2+0{,}04ab+0{,}002b^2$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\displaystyle 0{,}7a^2-0{,}16ab-0{,}018b^2$

$\displaystyle 225+30a+a^2$	$=$	$\displaystyle 15^2+2\cdot15\cdot a+a^2$
	↓	Wende die 1. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \left(15+a\right)^2$

$\displaystyle 4m^2+28m+49$	$=$	$\displaystyle \left(2m\right)^2+2\cdot2m\cdot7+7^2$
	↓	Wende die 1. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \left(2m+7\right)^2$

$\displaystyle 9a^2-16b^2$	$=$	$\displaystyle \left(3a\right)^2-\left(4b\right)^2$
	↓	Wende 3. binomische Formel an.
	$=$	$\displaystyle \left(3a+4b\right)\cdot\left(3a-4b\right)$