Aufgaben zu den binomischen Formeln

Hier findest du Aufgaben zu den binomischen Formeln. Lerne, binomische Formeln anzuwenden und vertiefe dein Wissen!

1
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
${(a + 4)}^{2} = a^{2} + 2 \cdot a \cdot 4 + 4^{2} = a^{2} + 8 a + 16$
${(4 - a)}^{2} = 4^{2} - 2 \cdot 4 \cdot a + a^{2} = 16 - 8 a + a^{2} = a^{2} - 8 a + 16$
${(a - 2)}^{2} = a^{2} - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^{2} = a^{2} - 4 a + 4$
${(a + 2)}^{2} = a^{2} + 2 \cdot a \cdot 2 + 2^{2} = a^{2} + 4 a + 4$
${(2 - a)}^{2} = 2^{2} - 2 \cdot a \cdot 2 + a^{2} = 4 - 4 a + a^{2} = a^{2} - 4 a + 4$
Überlege zunächst, welche der binomischen Formeln du anwenden kannst.
Was entspricht in der Aufgabe den Variablen $a$ und $b$ aus der passenden Formel?
2
Was ist hier falsch?
${(- a - 2,5)}^{2}$
↓
Faktor -1 ausklammern.
$=$ $- 1 \cdot {(a + 2,5)}^{2}$
↓
1. binomische Formel anwenden
$=$ $- 1 \cdot (a^{2} + 5 a + 6,25)$
↓
Klammer ausmultiplizieren
$=$ $- a^{2} - 5 a - 6,25$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Termumformungen
${(- a - 2,5)}^{2}$
Faktor -1 ausklammern.
$= {[(- 1) \cdot (a + 2,5)]}^{2}$
Potenzgesetz anwenden: Es gilt
${(a \cdot b)}^{x} = a^{x} \cdot b^{x}$ , hier ist
$a = - 1$ , $b = a + 2,5$ und $x = 2$
$= {(- 1)}^{2} \cdot {(a + 2,5)}^{2}$
Die erste Klammer wird zu 1. Für die zweite Klammer die 1. binomische Formel anwenden.
$= 1 \cdot (a^{2} + 5 a + 6,25)$
Klammer ausmultiplizieren.
$= a^{2} + 5 a + 6,25$

Was ergibt $1 000 000 000 000 001^{2} - 999 999 999 999 999^{2}$ ?

4
Welche der folgenden Terme sind zum Term $x^{2} - {(3 - x)}^{2}$ äquivalent?
$- 9$
$6 x - 9$
$- 6 x - 9$
$2 x^{2} - 9$
$2 x^{2} - 6 x - 9$
$- 9 + 6 x$
Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Term berechnen
Wende auf die Klammer mit dem Quadrat die zweite Binomische Formel an. Denke dir dabei aber um diese Klammer mit Quadrat eine zusätzliche Klammer, die bislang noch unsichtbar ist, weil man sie nicht braucht, da ohnehin Punkt vor Strich gilt.
$x^{2} - {(3 - x)}^{2}$ $=$ $x^{2} - (9 - 6 x + x^{2})$
↓
Löse die Klammer auf
$=$ $x^{2} - 9 + 6 x - x^{2}$
↓
Vereinfache weiter
$=$ $6 x - 9$
$\Rightarrow$ $6 x - 9$ und $- 9 + 6 x$ sind richtig.

Löse auf (Binome)

${(a c + b d)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Wende die 1. Binomische Formel an
↓
${(a c + b d)}^{2}$ $=$ $(a c)^{2} + 2 \cdot a c \cdot b d + (b d)^{2}$
↓
Berechne die Quadrate und das Produkt.
$=$ $a^{2} c^{2} + 2 a b c d + b^{2} d^{2}$
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$(a + b)^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Wende die 1. Binomische Formel an
↓
${(a + b)}^{2}$ $=$ $a^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b^{2}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $a^{2} + 2 a b + b^{2}$
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${(a + b c)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Wende die 1. Binomische Formel an
↓
${(a + b c)}^{2}$ $=$ $a^{2} + 2 \cdot a \cdot b c + {(b c)}^{2}$
↓
Berechne das Quadrat und das Produkt.
$=$ $a^{2} + 2 a b c + b^{2} c^{2}$
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${(a d + c b)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Wende die 1. Binomische Formel an
↓
${(a d + c b)}^{2}$ $=$ $(a d)^{2} + 2 \cdot a d \cdot c b + (c b)^{2}$
↓
Berechne die Quadrate und das Produkt.
$=$ $a^{2} d^{2} + 2 a b c d + b^{2} c^{2}$
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$5 (6 x + 4 y)^{2}$

$(3 - 8 n)^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Wende die 2. Binomische Formel an
↓
${(3 - 8 n)}^{2}$ $=$ $3^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 8 n + (8 n)^{2}$
↓
Berechne die Quadrate und das Produkt.
$=$ $9 - 48 n + 64 n^{2}$
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$(u + 5 v)^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Wende die 1. Binomische Formel an
↓
${(u + 5 v)}^{2}$ $=$ $u^{2} + 2 \cdot u \cdot 5 v + (5 v)^{2}$
↓
Berechne die Quadrate und das Produkt.
$=$ $u^{2} + 10 u v + 25 v^{2}$
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$(z - 1)^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Wende die 2. Binomische Formel an
↓
${(z - 1)}^{2}$ $=$ $z^{2} - 2 \cdot z \cdot 1 + 1^{2}$
↓
Fasse zusammen.
$=$ $z^{2} - 2 z + 1$
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$(2 s + r)^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Wende die 1. Binomische Formel an
↓
${(2 s + r)}^{2}$ $=$ $(2 s)^{2} + 2 \cdot 2 s \cdot r + (r)^{2}$
↓
Berechne die Quadrate und das Produkt.
$=$ $4 s^{2} + 4 r s + r^{2}$
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$(4 a - 5 b)^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Wende die 2. Binomische Formel an
↓
${(4 a - 5 b)}^{2}$ $=$ $(4 a)^{2} - 2 \cdot 4 a \cdot 5 b + (5 b)^{2}$
↓
Berechne die Quadrate und das Produkt.
$=$ $16 a^{2} - 40 a b + 25 b^{2}$
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$(a + b) (u + v)^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Wende auf die 2. Klammer die 1. Binomische Formel an
↓
$(a + b) \cdot {(u + v)}^{2}$ $=$ $(a + b) \cdot (u^{2} + 2 \cdot u \cdot v + v^{2})$
↓
Multipliziere die beiden Klammern.
$=$ $a u^{2} + 2 a u v + a v^{2} + b u^{2} + 2 b u v + b v^{2}$
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$(3 b - 5 c) \cdot (2 x + 5 y)^{2}$

Schreibe ohne Klammern

$(a + 7) (a - 7)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$(a + 7) (a - 7)$
3. Binomische Formel anwenden, um die Klammern aufzulösen. Falls du die Formel nicht parat hast, kannst du die Klammern ausmultiplizieren:
$[a * (a - 7)] + [7 * (a - 7)]$
Dafür multiplizierst du jeden Term der ersten Klammer ( $a$ und $7)$ mit der gesamten zweiten Klammer $(a - 7)$ . Weil das Additionsverhältnis der ersten Klammer weiter abgebildet werden muss, addierst du die beiden Multiplikationen $a * (a - 7)$ und $7 * (a - 7)$ wieder. Wegen Punkt vor Strich musst du hierfür jeweils eine große Klammer setzen: $[a * (a - 7)] + [7 * (a - 7)]$
$a^{2} - 7 a + 7 a - 49$
Löse die Klammern von innen () nach außen [ ] auf. Beachte dabei die Vorzeichenregeln: aus $a * (- 7$ ) wird $- 7 a$ und aus $7 * (- 7)$ wird $- 49$ ! Darum ist der letzte Term im Setting $(a + b) (a - b)$ immer negativ.
$a^{2} (+ 0) - 49$
Die Terme $- 7 a$ und $+ 7 a$ heben sich auf. Die mittleren Terme heben sich im Setting $(a + b) (a - b)$ immer auf. Darum kannst du dir den ganzen Prozess sparen, wenn du die 3. binomische Formel kennst! :D
$= a^{2} - 49$
Denn übrig bleibt das Ergebnis der 3. binomischen Formel $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$
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${(a + 4 b)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Anwendung der ersten binomischen Formel
${(a + 4 b)}^{2}$
1. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.
$= a^{2} + 8 a b + 16 b^{2}$
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${(2 r - 12)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
${(2 r - 12)}^{2}$
2. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.
$= 4 r^{2} - 48 r + 144$
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${(r^{2} + 5)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Klammer auflösen mit binomischer Formel
${(r^{2} + 5)}^{2}$
1. Binomische Formel anwenden, um die Klammer aufzulösen.
$= r^{4} + 10 r^{2} + 25$
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${(r - \frac{1}{3})}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
${(r - \frac{1}{3})}^{2}$
2. Binomische Formel anwenden um die Klammer auflösen.
$= r^{2} - \frac{2}{3} r + \frac{1}{9}$
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$(r + 8) (r - 8)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$(r + 8) (r - 8)$
3. Binomische Formel anwenden um die Klammern aufzulösen.
$= r^{2} - 64$
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$(2 r + 9) (2 r - 9)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$(2 r + 9) (2 r - 9)$
Die 3. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.
$= 4 r^{2} - 81$
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${(- z + 9)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
${(- z + 9)}^{2}$
Kommutativgesetz anwenden.
$= {(9 - z)}^{2}$
2. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.
$= 81 - 18 z + z^{2}$
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${(- a - 2,5)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
${(- a - 2,5)}^{2}$ $=$
↓
Faktor $- 1$ ausklammern.
$=$ ${[- 1 \cdot (a + 2,5)]}^{2}$
↓
Potenzgesetz anwenden.
$=$ $(- 1)^{2} \cdot {(a + 2,5)}^{2}$
↓
1. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.
$=$ $1 \cdot (a^{2} + 5 a + 6,25)$
$=$ $a^{2} + 5 a + 6,25$
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${(r + 4)}^{3}$

${(2 r - \frac{1}{2})}^{3}$

Vereinfache

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${(2 + r)}^{2} - {(2 - r)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
1. und 2. Binomische Formel anwenden.
${(2 + r)}^{2} - {(2 - r)}^{2}$ $=$ $4 + 4 r + r^{2} - (4 - 4 r + r^{2})$
↓
Klammer auflösen.
$=$ $4 + 4 r + r^{2} - 4 + 4 r - r^{2}$
↓
Terme zusammenfassen.
$=$ $8 r$
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$16 r^{2} - {(3 a - 4 r)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Für die Klammer die 2. Binomische Formel anwenden.
$16 r^{2} - {(3 a - 4 r)}^{2}$ $=$ $16 r^{2} - (9 a^{2} - 24 a r + 16 r^{2})$
↓
Klammer auflösen.
$=$ $16 r^{2} - 9 a^{2} + 24 a r - 16 r^{2}$
↓
Terme zusammenfassen.
$=$ $- 9 a^{2} + 24 a r$
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${(5 r - 19)}^{2} - (r - 3) (3 + r) - (3 r + 4) (4 r - 5) + {(2 r + 3)}^{2} + 179 r + 1$

Kann man die binomische Formel anwenden? Wenn ja, wende sie an.

$(4 x + 5 y) (5 y + 4 x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
$(4 x + 5 y) (5 y + 4 x)$ $=$ $(4 x + 5 y) (4 x + 5 y)$
↓
Mit dem Kommutativgesetz die Terme umstellen.
$=$ ${(4 x + 5 y)}^{2}$
↓
Man kann die 1. binomische Formel anwenden.
$=$ $16 x^{2} + 40 x y + 25 y^{2}$
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$(8 x^{2} - 3 x) (8 x^{2} - 3 x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
$(8 x^{2} - 3 x) (8 x^{2} - 3 x)$ $=$ ${(8 x^{2} - 3 x)}^{2}$
↓
Man kann die 2. binomische Formel anwenden.
$=$ ${(8 x^{2})}^{2} - 2 \cdot 8 x^{2} \cdot 3 x + {(3 x)}^{2}$
↓
Vereinfache mithilfe der Potenzgesetze
$=$ $64 x^{4} - 48 x^{3} + 9 x^{2}$
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$(4 p + 5 q) (4 q + 5 p)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
Für den Term $(4 p + 5 q) (4 q + 5 p)$ kann man die binomischen Formeln nicht anwenden, weil es in den beiden Klammern nicht dieselben Terme sind und auch die 3. binomische Formel nicht angwendet werden kann.
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$(8 x^{2} - 3 x) (3 x + 8 x^{2})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
$(8 x^{2} - 3 x) (3 x + 8 x^{2})$ $=$ $(8 x^{2} - 3 x) (8 x^{2} + 3 x)$
↓
Man kann die 3. binomische Formel anwenden.
$=$ $64 x^{4} - 9 x^{2}$
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$(- x - 3 y) (- 3 y - x)$

$(\frac{3}{4} m - 2 n) (\frac{4}{3} m - 2 n)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
Für den Term $(\frac{3}{4} m - 2 n) (\frac{4}{3} m - 2 n)$ kann man keine binomische Formel anwenden, da die Terme in den Klammern gleich sein müssen. Aber $\frac{3}{4} m$ und $\frac{4}{3} m$ sind nicht gleich.
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$16 a^{2} - 16 a b + 4 b^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
$16 a^{2} - 16 a b + 4 b^{2}$ $=$ ${(4 a - 2 b)}^{2}$
↓
Erkennen und Auflösen der 2. binomische Formel.
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$\frac{1}{4} a^{2} - 4 a b + 4 b^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
Für den Term $\frac{1}{4} a^{2} - 4 a b + 4 b^{2}$ kann man keine binomische Formel anwenden, da bei diesen Quadrattermen der Mischterm $2 \cdot \frac{1}{2} a \cdot 2 b = 2 a b$ sein müsste.
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$25 a^{2} + 50 a b - 4 b^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
$25 a^{2} + 50 a b - 4 b^{2}$
Man kann keine binomische Formel anwenden. Die Quadratterme $25 a^{2}$ und $- 4 b^{2}$ haben unterschiedliche Vorzeichen. Für die erste und zweite binomische Formel müssen nämlich die Koeffizienten von $a^{2}$ und $b^{2}$ dieselben Vorzeichen haben. Außerdem müsste dann der Mischterm $2 \cdot 5 a \cdot 2 b = 20 a b$ sein und nicht wie hier $50 a b$ . Bei der dritten binomischen Formel haben zwar $a^{2}$ und $b^{2}$ unterschiedliche Vorzeichen, jedoch kann es dabei keinen Mischterm geben.
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Multipliziere aus und fasse neu zusammen:

${(3 x - 5 y)}^{2} - {(3 x + 5 y)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formel
Wende in der ersten Klammer die zweite binomische Formel und in der zweiten Klammer die erste binomische Formel an.
${(3 x - 5 y)}^{2} - {(3 x + 5 y)}^{2}$ $=$ $(9 x^{2} - 30 x y + 25 y^{2}) - (9 x^{2} + 30 x y + 25 y^{2})$
↓
Löse die Klammern auf.
$=$ $- 60 x y$
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$\frac{2}{3} {(6 a - 1,5 b)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
Wende die zweite binomische Formel an.
$\frac{2}{3} {(6 a - 1,5 b)}^{2}$ $=$ $\frac{2}{3} (36 a^{2} - 18 a b + 2,25 b^{2})$
↓
Wende das Distributivgesetz an.
$=$ $24 a^{2} - 12 a b + 1,5 b^{2}$
Alternative:
Klammere $1,5$ aus. Beachte dabei, dass du wegen des Quadrats diesen Faktor zweimal erhältst und dass $\frac{2}{3}$ gerade der Kehrwert von $1,5$ ist.
$\frac{2}{3} (6 a - 1,5 b)^{2}$ $=$ $\frac{2}{3} \cdot 1,5 \cdot 1,5 \cdot (4 a - b)^{2}$
↓
Fasse zusammen und wende die 2. Binomische Formel an
$=$ $1,5 \cdot (16 a^{2} - 8 a b + b^{2})$
↓
Multipliziere aus
$=$ $24 a^{2} - 12 a b + 1,5 b^{2}$
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${(0,5 x - y)}^{2} - (0,5 x - y) \cdot (0,5 x + y)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
Wende in der ersten Klammer die zweite binomische Formel und im hinteren Teil die dritte binomische Formel an.
${(0,5 x - y)}^{2} - (0,5 x - y) \cdot (0,5 x + y)$
$=$ $(0,25 x^{2} - x y + y^{2}) - (0,25 x^{2} - y^{2})$
↓
Löse die Klammern auf.
$=$ $0,25 x^{2} - x y + y^{2} - 0,25 x^{2} + y^{2}$
↓
$0,25 x^{2}$ und $- 0,25 x^{2}$ heben sich aus und fasse die $y^{2}$ zusammen.
$=$ $- x y + 2 y^{2}$
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${(\frac{1}{3} x - 2)}^{2} + \frac{1}{3} \cdot {(x + 2)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
Klammern mit Hilfe der binomischen Formeln ausrechnen (Erste Klammer mit zweiter binomischer Formel, zweite Klammer mit erster binomischer Formel).
${(\frac{1}{3} x - 2)}^{2} + \frac{1}{3} \cdot {(x + 2)}^{2}$ $=$ $(\frac{1}{9} x^{2} - \frac{4}{3} x + 4) + \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + 4 x + 4)$
↓
Klammern ausmultiplizieren
$=$ $\frac{1}{9} x^{2} - \frac{4}{3} x + 4 + \frac{1}{3} x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{4}{3}$
↓
Terme zusammenfassen.
$=$ $\frac{4}{9} x^{2} + \frac{16}{3}$
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${(2 x - 3)}^{2} - 2 \cdot {(x + 3)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot {(6 - 2 x)}^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
Erste Klammer mit zweiter binomischer Formel, zweite Klammer mit erster binomischer Formel und dritte Klammer mit zweiter binomischer Formel ausrechnen.
${(2 x - 3)}^{2} - 2 \cdot {(x + 3)}^{2} - \frac{1}{2} \cdot {(6 - 2 x)}^{2}$
$=$ $(4 x^{2} - 12 x + 9) - 2 \cdot (x^{2} + 6 x + 9) - \frac{1}{2} \cdot (36 - 24 x + 4 x^{2})$
↓
Klammern ausmultiplizieren
$=$ $4 x^{2} - 12 x + 9 - 2 x^{2} - 12 x - 18 - 18 + 12 x - 2 x^{2}$
↓
Terme zusammenfassen.
$=$ $- 12 x - 27$
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$\frac{1}{3} \cdot {(1,5 a - b)}^{2} - \frac{3}{4} \cdot {(\frac{1}{3} b + a)}^{2}$

${(a - 0,4 b)}^{2} - 2 \cdot {(0,3 b - 0,5 a)}^{2} + 0,2 \cdot {(a + 0,1 b)}^{2}$

10
Ergänze
1. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
  $\dots + 14 r + 49 = {(\dots \dots .)}^{2}$
  Am $+$ vor dem Mischterm $14 r$ erkennt man, dass man die 1. Binomische Formel ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ anwenden muss.
  Aus dem Quadratterm kann man $b$ bestimmen.
  $49 = b^{2}$ $\Rightarrow$ $b = 7$
  $\dots + 14 r + 49 = {(\dots + 7)}^{2}$
  Aus dem Mischterm kann man $a$ bestimmen.
  $2 \cdot a \cdot b = 14 r$
  $2 \cdot 7 \cdot a = 14 r \Rightarrow a = r$
  $\Rightarrow {(r + 7)}^{2}$
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2. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
  $r^{2} - \frac{1}{3} r \dots . = {(\dots \dots)}^{2}$
  Am $-$ vor dem Mischterm $\frac{1}{3} r$ erkennt man, dass man die 2. Binomische Formel ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ anwenden muss.
  Aus Quadratterm kann man $a$ bestimmen.
  $a^{2} = r^{2} \Rightarrow a = r$
  $r^{2} - \frac{1}{3} r \dots \dots = {(r - \dots)}^{2}$
  Aus dem Mischterm kann man $b$ bestimmen.
  $2 \cdot a \cdot b = \frac{1}{3} r$
  $2 \cdot r \cdot b = \frac{1}{3} r \Rightarrow b = \frac{1}{6}$
  $\Rightarrow {(r - \frac{1}{6})}^{2}$
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11
Verwandle in ein Produkt.
1. $225 + 30 a + a^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formel
  $225 + 30 a + a^{2}$ $=$ $15^{2} + 2 \cdot 15 \cdot a + a^{2}$
  ↓
  Wende die 1. binomische Formel an.
  $=$ ${(15 + a)}^{2}$
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2. $4 m^{2} + 28 m + 49$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formel
  $4 m^{2} + 28 m + 49$ $=$ ${(2 m)}^{2} + 2 \cdot 2 m \cdot 7 + 7^{2}$
  ↓
  Wende die 1. binomische Formel an.
  $=$ ${(2 m + 7)}^{2}$
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3. $9 a^{2} - 16 b^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
  $9 a^{2} - 16 b^{2}$ $=$ ${(3 a)}^{2} - {(4 b)}^{2}$
  ↓
  Wende 3. binomische Formel an.
  $=$ $(3 a + 4 b) \cdot (3 a - 4 b)$
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4. $81 u^{2} - 36 u + 4$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
  $81 u^{2} - 36 u + 4$ $=$ ${(9 u)}^{2} - 2 \cdot 9 u \cdot 2 + 2^{2}$
  ↓
  Wende 2. binomische Formel an.
  $=$ ${(9 u - 2)}^{2}$
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5. $36 u^{2} - 289 w^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
  $36 u^{2} - 289 w^{2}$ $=$ ${(6 u)}^{2} - {(17 w)}^{2}$
  ↓
  Wende die 3. binomische Formel an.
  $=$ $(6 u + 17 w) (6 u - 17 w)$
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6. $324 + 36 x + x^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
  $324 + 36 x + x^{2}$ $=$ $18^{2} + 2 \cdot 18 \cdot x + x^{2}$
  ↓
  Wende die 1. binomische Formel an.
  $=$ ${(18 + x)}^{2}$
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7. $49 k^{2} - 70 k u + 25 u^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
  $49 k^{2} - 70 k u + 25 u^{2}$ $=$ ${(7 k)}^{2} - 2 \cdot 7 k \cdot 5 u + {(5 u)}^{2}$
  ↓
  Wende 2. binomische Formel an.
  $=$ ${(7 k - 5 u)}^{2}$
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8. $64 y^{2} - 160 y z + 100 z^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
  $64 y^{2} - 160 y z + 100 z^{2}$ $=$ ${(8 y)}^{2} - 2 \cdot 8 y \cdot 10 z + {(10 z)}^{2}$
  ↓
  Wende die 2. binomische Formel an.
  $=$ ${(8 y - 10 z)}^{2}$
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9. $361 m^{2} - 256 n^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
  $361 m^{2} - 256 n^{2}$ $=$ ${(19 m)}^{2} - {(16 n)}^{2}$
  ↓
  Wende 3. binomische Formel an.
  $=$ $(19 m - 16 n) \cdot (19 m + 16 n)$
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10. $121 x^{2} + 44 x y + 4 y^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
  $121 x^{2} + 44 x y + 4 y^{2}$ $=$ ${(11 x)}^{2} + 2 \cdot 11 x \cdot 2 y + {(2 y)}^{2}$
  ↓
  Wende 1. binomische Formel an.
  $=$ ${(11 x + 2 y)}^{2}$
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12
Faktorisiere
1. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $100 r^{2} - 225$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  $100 r^{2} - 225$
  Da es nur zwei Quadratterme ohne Mischterm gibt, muss man die 3. Binomische Formel anwenden.
  $100 r^{2} = {(10 r)}^{2}$ und $225 = 15^{2}$
  $100 r^{2} - 225 = (10 r - 15) (10 r + 15)$
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2. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $4 r^{2} + 4 r + 1$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  $4 r^{2} + 4 r + 1$
  Am $+$ vor dem Mischterm $4 r$ erkennt man, dass man die 1. Binomische Formel anwenden muss.
  $4 r^{2} = {(2 r)}^{2}$ und $1 = 1^{2}$
  $4 r^{2} + 4 r + 1 = {(2 r + 1)}^{2}$
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3. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $r^{2} - 7 r + 12 \frac{1}{4}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  $r^{2} - 7 r + 12 \frac{1}{4}$
  Am $-$ vor dem Mischterm $7 r$ erkennt man, dass man die 2.Binomische Formel anwenden muss.
  $12 \frac{1}{4} = {3,5}^{2}$
  $r^{2} - 7 r + 12 \frac{1}{4} = {(r - 3,5)}^{2}$
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4. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $48 r^{3} - 147 r y^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  $48 r^{3} - 147 r y^{2}$
  Man kann aus beiden Termen $3 r$ ausklammern .
  $= 3 r (16 r^{2} - 49 y^{2})$
  Nun kann man die 3.Binomische Formel anwenden.
  $= 3 r (4 r - 7 y) (4 r + 7 y)$
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5. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $49 p^{2} - 112 p q + 64 q^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  $49 p^{2} - 112 p q + 64 q^{2}$
  An den beiden Quadrattermen und dem $-$ vor dem Mischterm $112 p q$ erkennt man, dass man die 2. Binomische Formel anwenden kann.
  $49 p^{2} = {(7 p)}^{2}$ , $64 q^{2} = {(8 q)}^{2}$
  $49 p^{2} - 112 p q + 64 q^{2} = {(7 p - 8 q)}^{2}$
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6. strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
  $24 a^{2} r^{2} + 120 a r + 150$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  $24 a^{2} r^{2} + 120 a r + 150$
  Den Faktor 6 aus allen Termen ausklammern.
  $= 6 (4 a^{2} r^{2} + 20 a r + 25)$
  1.Binomische Formel anwenden.
  $= 6 {(2 a r + 5)}^{2}$
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13
Fasse folgende Binome zusammen.
1. $\frac{1}{4} a^{2} - 3 ab + 9 b^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  Wende die 2. binomische Formel an.
  $\frac{1}{4} a^{2} - 3 a b + 9 b^{2}$
  $= (\frac{1}{2} a - 3 b)^{2}$
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2. $4 b^{2} - c^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  Wende die 3. binomische Formel an.
  $4 b^{2} - c^{2}$
  $= (2 b + c) (2 b - c)$
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3. $4 x^{2} - 12 xy + 9 y^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  Wende die 2. binomische Formel an .
  $4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2}$
  $= (2 x - 3 y)^{2}$
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4. $\frac{1}{4} a^{2} - ab + b^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  Wende die 2. binomischen Formel an.
  $\frac{1}{4} a^{2} - a b + b^{2}$
  $= (\frac{1}{2} a - b)^{2}$
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5. $a^{2} - b^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  Wende die 3. binomischen Formel an.
  $a^{2} - b^{2}$
  $= (a + b) (a - b)$
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6. $49 p^{2} - 81 q^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  $49 p^{2} - 81 q^{2}$
  Wende die 3. binomischen Formel an .
  $= (7 p + 9 q) (7 p - 9 q)$
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7. $a^{2} + 16 - 8 a$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  Nutze das Kommutativgesetz, um die Terme umzustellen.
  $a^{2} + 16 - 8 a$
  $= a^{2} - 8 a + 16$
  Wende nun die 2. binomische Formel an.
  $\begin{array}{l} a^{2} + 16 - 8 a \\ = a^{2} - 8 a + 16 \\ = (a - 4)^{2} \end{array}$
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8. $a^{2} + 10 a + 25$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  Wende die 1. binomische Formel an.
  $a^{2} + 10 a + 25$
  $= (a + 5)^{2}$
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9. $5 x^{2} + 3 x y + y^{2} + x y - x^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  Fasse zuerst die Terme zusammen.
  $5 x^{2} + 3 x y + y^{2} + x y - x^{2}$
  $= 4 x^{2} + 4 xy + y^{2}$
  Wende nun die 1. binomische Formel an.
  $\begin{array}{l} 4 x^{2} + 4 xy + y^{2} \\ = (2 x + y)^{2} \end{array}$
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10. $\frac{36}{49} m^{2} - \frac{3}{14} m n + \frac{1}{64} n^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  Wende die 2. binomische Formel an.
  $\frac{36}{49} m^{2} - \frac{3}{14} m n + \frac{1}{64} n^{2}$
  $= (\frac{6}{7} m - \frac{1}{8} n)^{2}$
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11. $\frac{1}{9} u^{2} - \frac{4}{15} u v + \frac{4}{25} v^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
  Wende die 2. binomische Formel an.
  $\frac{1}{9} u^{2} - \frac{4}{15} u v + \frac{4}{25} v^{2}$
  $= (\frac{1}{3} u - \frac{2}{5} v)^{2}$
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Benutze binomische Formeln um die Brüche zu kürzen

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 1}$ $=$
↓
Benutze die 1. binomische Formel im Zähler.
$=$ $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x + 1}$
↓
Kürze mit (x+1).
$=$ $(x + 1)$
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$\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ $=$
↓
Wende die 3. binomische Formel im Zähler an.
$=$ $\frac{(x + 1) (x - 1)}{x + 1}$
↓
Kürze $(x + 1)$ .
$=$ $x - 1$
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$\frac{{(x + 3 y)}^{3}}{x^{2} + 6 x y + 9 y^{2}}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\frac{{(x + 3 y)}^{3}}{x^{2} + 6 x y + 9 y^{2}}$ $=$
↓
Wende im Nenner die 1. binomische Formel an.
$=$ $\frac{{(x + 3 y)}^{3}}{{(x + 3 y)}^{2}}$
↓
Kürze ${(x + 3 y)}^{2}$ .
$=$ $x + 3 y$
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$\frac{(x + 1) (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 4}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
$\frac{(x + 1) (x - 2)}{x^{2} - 4 x + 4}$ $=$
↓
Wende die 2. binomische Formel an.
$=$ $\frac{(x + 1) (x - 2)}{{(x - 2)}^{2}}$
↓
Kürze $(x - 2)$ .
$=$ $\frac{x + 1}{x - 2}$
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\frac{x^{4} + 18 x^{2} + 89}{{(x^{2} + 9)}^{2}}

15
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Beim Betrachten der Quadratzahlen $1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots$ fällt auf, dass die Differenz von jeweils zwei benachbarten Quadratzahlen immer um $2$ wächst:
$4 - 1 = 3$ ,
dann $9 - 4 = 5$ ,
dann $16 - 9 = 7$ ,
dann $25 - 16 = 9$ ,
dann $36 - 25 = 11$
usw.
Erkläre diesen Zusammenhang mit Hilfe einer binomischen Formel!

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formeln
2 aufeinander folgende Zahlen kann man als $n$ und $n + 1$ schreiben.
Quadriere nun die beiden Zahlen.
Du erhältst: $n^{2}$ und $(n + 1)^{2}$ .
Bilde die Differenz der beiden Zahlen und berechne den Wert des Terms durch Nutzen der 1. binomischen Formel.
$\begin{array}{l} {(n + 1)}^{2} - n^{2} \\ = (n^{2} + 2 n + 1^{2}) - n^{2} \\ = n^{2} + 2 n + 1 - n^{2} \\ = 2 n + 1 \end{array}$
Setzt man für $n$ jeweils die nächstgrößere natürliche Zahl ein, so wird diese Differenz wegen $2 n$ immer um $2$ größer.
16
strobl-f.de (Gilt für: Aufgabenstellung)Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4.0 mit Namensnennung von Herrn Franz Strobl
Interpretiere die Skizze als verallgemeinerte binomische Formel ${(a + b + c)}^{2}$ . Berechne entsprechend ${(2 x + a + 12)}^{2}$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formeln
Lies aus der Skizze die Flächen der einzelnen Rechtecke ab und addiere sie:
$\begin{array}{rcl} {(a + b + c)}^{2} & = & a^{2} + a b + a c + b a + b^{2} + b c + c a + c b + c^{2} \\ = & a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c \end{array}$
Verwende diese Formel nun für die Aufgabe ${(2 x + a + 12)}^{2}$ :
$\begin{array}{rcl} {(2 x + a + 12)}^{2} & = & {(2 x)}^{2} + a^{2} + 144 + 2 \cdot 2 x \cdot a + 2 \cdot 2 x \cdot 12 + 2 \cdot a \cdot 12 \\ = & 4 x^{2} + a^{2} + 144 + 4 a x + 48 x + 24 a \end{array}$
17
Klammere gemeinsame Faktoren aus.
1. $c a + a$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern einer Variablen
  Klammere hier die Variable $a$ aus.
  $c a + a$ $=$ $a \cdot (c + 1)$
  ↓
  Ausklammern der Variablen $a$
  Die Lösung ist $a (c + 1)$ .
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2. $4 a + 2 a b$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern einer Variablen
  In dieser Aufgabe klammerst du $2 a$ aus.
  $4 a + 2 a b$ $=$ $2 a \cdot (2 + b)$
  ↓
  Ausklammern von $2 a$ .
  Die Lösung ist $2 a (2 + b)$ .
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3. $4 a + 6 b$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern einer Variablen
  In dieser Aufgabe klammerst du die Zahl $2$ aus.
  $4 a + 6 b$ $=$ $2 \cdot (2 a + 3 b)$
  ↓
  Ausklammern von der Zahl $2$ .
  Die Lösung ist $2 (2 a + 3 b)$ .
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4. $- 3 a c + 9 a b$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ausklammern einer Variablen
  Lösungsvorschlag 1
  $- 3 a c + 9 a b$ $=$ $- 3 \cdot (c - 3 b)$
  ↓
  Ausklammern von der Zahl $- 3$ und der Variablen $a$ .
  Die Lösung ist $- 3 a (c - 3 b)$ .
  Lösungsvorschlag 2
  $- 3 a c + 9 a b$ $=$ $+ 3 a \cdot (- c + 3 b)$
  ↓
  Ausklammern von der Zahl $+ 3$ und der Variablen $a$ .
  Die Lösung ist $3 a \cdot (- c + 3 b)$ .
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18
Löse die Klammern auf. Fasse so weit wie möglich zusammen.
1. $(a + b)^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formel
  Löse Klammer auf
  ↓
  ${(a + b)}^{2}$ $=$ $a^{2} + 2 a b + b^{2}$
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2. $(c - d)^{2}$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formel
  ${(c - d)}^{2}$ $=$ $c^{2} - 2 c d + d^{2}$
  ↓
  Löse die Klammer auf.
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3. $(2 + a) \cdot (2 - a)$
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: binomische Formel
  $(2 + a) \cdot (2 - a)$ $=$ $4 + 2 a - 2 a - a^{2}$
  ↓
  Multipliziere die Klammern aus.
  $4 + 2 a - 2 a - a^{2}$ $=$ $4 - a^{2}$
  ↓
  Kürze soweit wie möglich.
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$x$	$=$	$a^{2} - b^{2}$
	↓	Verwende die 3. binomische Formel.
$x$	$=$	$(a - b) \cdot (a + b)$
	↓	Die beiden Zahlen sind jeweils um $1$ größer bzw. kleiner als $10^{15}$ .
$x$	$=$	$((10^{15} + 1) - (10^{15} - 1)) ((10^{15} + 1) + (10^{15} - 1))$
$x$	$=$	$(10^{15} + 1 - 10^{15} + 1) \cdot (10^{15} + 1 + 10^{15} - 1)$
$x$	$=$	$2 \cdot 2 \cdot 10^{15}$
$x$	$=$	$4 \cdot 10^{15} = 4 000 000 000 000 000$

	${(- a - 2,5)}^{2}$
	↓ Faktor -1 ausklammern.
$=$	$- 1 \cdot {(a + 2,5)}^{2}$
	↓ 1. binomische Formel anwenden
$=$	$- 1 \cdot (a^{2} + 5 a + 6,25)$
	↓ Klammer ausmultiplizieren
$=$	$- a^{2} - 5 a - 6,25$

$x^{2} - {(3 - x)}^{2}$	$=$	$x^{2} - (9 - 6 x + x^{2})$
	↓	Löse die Klammer auf
	$=$	$x^{2} - 9 + 6 x - x^{2}$
	↓	Vereinfache weiter
	$=$	$6 x - 9$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
${(a c + b d)}^{2}$	$=$	$(a c)^{2} + 2 \cdot a c \cdot b d + (b d)^{2}$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$a^{2} c^{2} + 2 a b c d + b^{2} d^{2}$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
${(a + b)}^{2}$	$=$	$a^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b^{2}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
${(a + b c)}^{2}$	$=$	$a^{2} + 2 \cdot a \cdot b c + {(b c)}^{2}$
	↓	Berechne das Quadrat und das Produkt.
	$=$	$a^{2} + 2 a b c + b^{2} c^{2}$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
${(a d + c b)}^{2}$	$=$	$(a d)^{2} + 2 \cdot a d \cdot c b + (c b)^{2}$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$a^{2} d^{2} + 2 a b c d + b^{2} c^{2}$

Wende auf die Klammer die 1. Binomische Formel an
	↓
$5 \cdot {(6 x + 4 y)}^{2}$	$=$	$5 \cdot ((6 x)^{2} + 2 \cdot 6 x \cdot 4 y + (4 y)^{2})$
	↓	Berechne in der Klammer die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$5 \cdot (36 x^{2} + 48 x y + 16 y^{2})$
	↓	Löse die Klammer auf.
	$=$	$180 x^{2} + 240 x y + 80 y^{2}$

Wende die 2. Binomische Formel an
	↓
${(3 - 8 n)}^{2}$	$=$	$3^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 8 n + (8 n)^{2}$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$9 - 48 n + 64 n^{2}$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
${(u + 5 v)}^{2}$	$=$	$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 5 v + (5 v)^{2}$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$u^{2} + 10 u v + 25 v^{2}$

Wende die 2. Binomische Formel an
	↓
${(z - 1)}^{2}$	$=$	$z^{2} - 2 \cdot z \cdot 1 + 1^{2}$
	↓	Fasse zusammen.
	$=$	$z^{2} - 2 z + 1$

${(r + 4)}^{3}$	$=$
	↓	Faktorisiere so, dass man einen Term hoch zwei erhält, so dass man dann eine der binomischen Formeln anwenden kann.
	$=$	${(r + 4)}^{2} (r + 4)$
	↓	1. Binomische Formel anwenden, um die erste Klammer aufzulösen.
	$=$	$(r^{2} + 8 r + 16) (r + 4)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren.
	$=$	$r^{3} + 8 r^{2} + 16 r + 4 r^{2} + 32 r + 64$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$r^{3} + 12 r^{2} + 48 r + 64$

${(2 r - \frac{1}{2})}^{3}$	$=$
	↓	Faktorisiere so, dass man einen Term hoch zwei erhält, sodass man dann eine der binomischen Formeln verwenden kann.
	$=$	$(2 r - \frac{1}{2}) {(2 r - \frac{1}{2})}^{2}$
	↓	Die 2. Binomische Formel auf die zweite Klammer anwenden.
	$=$	$(2 r - \frac{1}{2}) (4 r^{2} - 2 r + \frac{1}{4})$
	↓	Klammern ausmultiplizieren .
	$=$	$8 r^{3} - 4 r^{2} + \frac{1}{2} r - 2 r^{2} + r - \frac{1}{8}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$8 r^{3} - 6 r^{2} + \frac{3}{2} r - \frac{1}{8}$

${(2 + r)}^{2} - {(2 - r)}^{2}$	$=$	$4 + 4 r + r^{2} - (4 - 4 r + r^{2})$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$4 + 4 r + r^{2} - 4 + 4 r - r^{2}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$8 r$

$16 r^{2} - {(3 a - 4 r)}^{2}$	$=$	$16 r^{2} - (9 a^{2} - 24 a r + 16 r^{2})$
	↓	Klammer auflösen.
	$=$	$16 r^{2} - 9 a^{2} + 24 a r - 16 r^{2}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$- 9 a^{2} + 24 a r$

Wende die 1. Binomische Formel an
	↓
${(2 s + r)}^{2}$	$=$	$(2 s)^{2} + 2 \cdot 2 s \cdot r + (r)^{2}$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$4 s^{2} + 4 r s + r^{2}$

Wende die 2. Binomische Formel an
	↓
${(4 a - 5 b)}^{2}$	$=$	$(4 a)^{2} - 2 \cdot 4 a \cdot 5 b + (5 b)^{2}$
	↓	Berechne die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$16 a^{2} - 40 a b + 25 b^{2}$

Wende auf die 2. Klammer die 1. Binomische Formel an
	↓
$(a + b) \cdot {(u + v)}^{2}$	$=$	$(a + b) \cdot (u^{2} + 2 \cdot u \cdot v + v^{2})$
	↓	Multipliziere die beiden Klammern.
	$=$	$a u^{2} + 2 a u v + a v^{2} + b u^{2} + 2 b u v + b v^{2}$

Wende auf die 2. Klammer die 1. Binomische Formel an
	↓
$(3 b - 5 c) \cdot {(2 x + 5 y)}^{2}$	$=$	$(3 b - 5 c) \cdot ((2 x)^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot 5 y + (5 y)^{2})$
	↓	Berechne in der 2. Klammer die Quadrate und das Produkt.
	$=$	$(3 b - 5 c) \cdot (4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2})$
	↓	Multipliziere die beiden Klammern.
	$=$	$12 b x^{2} + 60 b x y + 75 b y^{2} - 20 c x^{2} - 100 c x y - 125 c y^{2}$

${(- a - 2,5)}^{2}$	$=$
	↓	Faktor $- 1$ ausklammern.
	$=$	${[- 1 \cdot (a + 2,5)]}^{2}$
	↓	Potenzgesetz anwenden.
	$=$	$(- 1)^{2} \cdot {(a + 2,5)}^{2}$
	↓	1. Binomische Formel anwenden um die Klammer aufzulösen.
	$=$	$1 \cdot (a^{2} + 5 a + 6,25)$
	$=$	$a^{2} + 5 a + 6,25$

	${(5 r - 19)}^{2} - (r - 3) (3 + r) - (3 r + 4) (4 r - 5) + {(2 r + 3)}^{2} + 179 r + 1$
	↓ Die 1. und 2. binomische Formel auf ${(5 r - 19)}^{2}$ und ${(2 r + 3)}^{2}$ anwenden und 3. binomische Formel auf $(r - 3) (r + 3)$ anwenden.
$=$	$25 r^{2} - 190 r + 361 - (r - 3) (3 + r) - (3 r + 4) (4 r - 5) + 4 r^{2} + 12 r + 9 + 179 r + 1$
	↓ Klammern auflösen.
$=$	$25 r^{2} - 190 r + 361 - r^{2} + 9 - 12 r^{2} + 15 r - 16 r + 20 + 4 r^{2} + 12 r + 9 + 179 r + 1$
	↓ Terme zusammenfassen.
$=$	$16 r^{2} + 400$

$(4 x + 5 y) (5 y + 4 x)$	$=$	$(4 x + 5 y) (4 x + 5 y)$
	↓	Mit dem Kommutativgesetz die Terme umstellen.
	$=$	${(4 x + 5 y)}^{2}$
	↓	Man kann die 1. binomische Formel anwenden.
	$=$	$16 x^{2} + 40 x y + 25 y^{2}$

$(8 x^{2} - 3 x) (8 x^{2} - 3 x)$	$=$	${(8 x^{2} - 3 x)}^{2}$
	↓	Man kann die 2. binomische Formel anwenden.
	$=$	${(8 x^{2})}^{2} - 2 \cdot 8 x^{2} \cdot 3 x + {(3 x)}^{2}$
	↓	Vereinfache mithilfe der Potenzgesetze
	$=$	$64 x^{4} - 48 x^{3} + 9 x^{2}$

$(8 x^{2} - 3 x) (3 x + 8 x^{2})$	$=$	$(8 x^{2} - 3 x) (8 x^{2} + 3 x)$
	↓	Man kann die 3. binomische Formel anwenden.
	$=$	$64 x^{4} - 9 x^{2}$

$(- x - 3 y) (- 3 y - x)$	$=$	$(- x - 3 y) (- x - 3 y)$
	↓	Mit dem Kommutativgesetz die Terme umstellen. Forme bzw. schreibe den Term dafür um.
	$=$	$[(- 1) \cdot (x + 3 y)] \cdot [(- 1) \cdot (x + 3 y)]$
	↓	Den Faktor $- 1$ ausklammern.
	$=$	${(- 1)}^{2} \cdot {(x + 3 y)}^{2}$
	$=$	${(x + 3 y)}^{2}$
	↓	Man kann die 1. binomische Formel anwenden.
	$=$	$x^{2} + 6 x y + 9 y^{2}$

Aufgaben zu den binomischen Formeln

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Anwendung der ersten binomischen Formel

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Klammer auflösen mit binomischer Formel

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$16 a^{2} - 16 a b + 4 b^{2}$	$=$	${(4 a - 2 b)}^{2}$
	↓	Erkennen und Auflösen der 2. binomische Formel.

${(3 x - 5 y)}^{2} - {(3 x + 5 y)}^{2}$	$=$	$(9 x^{2} - 30 x y + 25 y^{2}) - (9 x^{2} + 30 x y + 25 y^{2})$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$- 60 x y$

$\frac{2}{3} {(6 a - 1,5 b)}^{2}$	$=$	$\frac{2}{3} (36 a^{2} - 18 a b + 2,25 b^{2})$
	↓	Wende das Distributivgesetz an.
	$=$	$24 a^{2} - 12 a b + 1,5 b^{2}$

$\frac{2}{3} (6 a - 1,5 b)^{2}$	$=$	$\frac{2}{3} \cdot 1,5 \cdot 1,5 \cdot (4 a - b)^{2}$
	↓	Fasse zusammen und wende die 2. Binomische Formel an
	$=$	$1,5 \cdot (16 a^{2} - 8 a b + b^{2})$
	↓	Multipliziere aus
	$=$	$24 a^{2} - 12 a b + 1,5 b^{2}$

	$=$	$(0,25 x^{2} - x y + y^{2}) - (0,25 x^{2} - y^{2})$
	↓	Löse die Klammern auf.
	$=$	$0,25 x^{2} - x y + y^{2} - 0,25 x^{2} + y^{2}$
	↓	$0,25 x^{2}$ und $- 0,25 x^{2}$ heben sich aus und fasse die $y^{2}$ zusammen.
	$=$	$- x y + 2 y^{2}$

${(\frac{1}{3} x - 2)}^{2} + \frac{1}{3} \cdot {(x + 2)}^{2}$	$=$	$(\frac{1}{9} x^{2} - \frac{4}{3} x + 4) + \frac{1}{3} \cdot (x^{2} + 4 x + 4)$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
	$=$	$\frac{1}{9} x^{2} - \frac{4}{3} x + 4 + \frac{1}{3} x^{2} + \frac{4}{3} x + \frac{4}{3}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$\frac{4}{9} x^{2} + \frac{16}{3}$

	$=$	$(4 x^{2} - 12 x + 9) - 2 \cdot (x^{2} + 6 x + 9) - \frac{1}{2} \cdot (36 - 24 x + 4 x^{2})$
	↓	Klammern ausmultiplizieren
	$=$	$4 x^{2} - 12 x + 9 - 2 x^{2} - 12 x - 18 - 18 + 12 x - 2 x^{2}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$- 12 x - 27$

	$=$	$\frac{1}{3} \cdot {(\frac{3}{2} a - b)}^{2} - \frac{3}{4} \cdot {(\frac{1}{3} b + a)}^{2}$
	↓	Erste Klammer mit der 2. binomischen Formel ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{1}{3} \cdot (\frac{9}{4} a^{2} - 3 a b + b^{2}) - \frac{3}{4} \cdot {(\frac{1}{3} b + a)}^{2}$
	$=$	$\frac{3}{4} a^{2} - a b + \frac{1}{3} b^{2} - \frac{3}{4} \cdot {(\frac{1}{3} b + a)}^{2}$
	↓	Klammer mit der 1. binomischen Formel ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{3}{4} a^{2} - a b + \frac{1}{3} b^{2} - \frac{3}{4} \cdot (\frac{1}{9} b^{2} + \frac{2}{3} a b + a^{2})$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
	$=$	$\frac{3}{4} a^{2} - a b + \frac{1}{3} b^{2} - \frac{1}{12} b^{2} - \frac{1}{2} a b - \frac{3}{4} a^{2}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$- \frac{3}{2} a b + \frac{1}{4} b^{2}$

	$=$	$(a^{2} - 0,8 a b + 0,16 b^{2}) - 2 \cdot {(0,3 b - 0,5 a)}^{2} + 0,2 \cdot {(a + 0,1 b)}^{2}$
	↓	Zweite Klammer mit der 2. binomischen Formel auflösen.
	$=$	$a^{2} - 0,8 a b + 0,16 b^{2} - 2 \cdot (0,09 b^{2} - 0,3 a b + 0,25 a^{2}) + 0,2 \cdot {(a + 0,1 b)}^{2}$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
	$=$	$a^{2} - 0,8 a b + 0,16 b^{2} - 0,18 b^{2} + 0,6 a b - 0,5 a^{2} + 0,2 \cdot {(a + 0,1 b)}^{2}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$0,5 a^{2} - 0,2 a b - 0,02 b^{2} + 0,2 \cdot {(a + 0,1 b)}^{2}$
	↓	Klammer mit der 1. binomischen Formel auflösen.
	$=$	$0,5 a^{2} - 0,2 a b - 0,02 b^{2} + 0,2 \cdot (a^{2} + 0,2 a b + 0,01 b^{2})$
	↓	Klammer ausmultiplizieren.
	$=$	$0,5 a^{2} - 0,2 a b - 0,02 b^{2} + 0,2 a^{2} + 0,04 a b + 0,002 b^{2}$
	↓	Terme zusammenfassen.
	$=$	$0,7 a^{2} - 0,16 a b - 0,018 b^{2}$

$225 + 30 a + a^{2}$	$=$	$15^{2} + 2 \cdot 15 \cdot a + a^{2}$
	↓	Wende die 1. binomische Formel an.
	$=$	${(15 + a)}^{2}$