Aufgaben zu den binomischen Formeln

Kann man die binomische Formel anwenden? Wenn ja, wende sie an.

$(4 x + 5 y) (5 y + 4 x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
$(4 x + 5 y) (5 y + 4 x)$ $=$ $(4 x + 5 y) (4 x + 5 y)$
↓
Mit dem Kommutativgesetz die Terme umstellen.
$=$ ${(4 x + 5 y)}^{2}$
↓
Man kann die 1. binomische Formel anwenden.
$=$ $16 x^{2} + 40 x y + 25 y^{2}$
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$(8 x^{2} - 3 x) (8 x^{2} - 3 x)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
$(8 x^{2} - 3 x) (8 x^{2} - 3 x)$ $=$ ${(8 x^{2} - 3 x)}^{2}$
↓
Man kann die 2. binomische Formel anwenden.
$=$ ${(8 x^{2})}^{2} - 2 \cdot 8 x^{2} \cdot 3 x + {(3 x)}^{2}$
↓
Vereinfache mithilfe der Potenzgesetze
$=$ $64 x^{4} - 48 x^{3} + 9 x^{2}$
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$(4 p + 5 q) (4 q + 5 p)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
Für den Term $(4 p + 5 q) (4 q + 5 p)$ kann man die binomischen Formeln nicht anwenden, weil es in den beiden Klammern nicht dieselben Terme sind und auch die 3. binomische Formel nicht angwendet werden kann.
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$(8 x^{2} - 3 x) (3 x + 8 x^{2})$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
$(8 x^{2} - 3 x) (3 x + 8 x^{2})$ $=$ $(8 x^{2} - 3 x) (8 x^{2} + 3 x)$
↓
Man kann die 3. binomische Formel anwenden.
$=$ $64 x^{4} - 9 x^{2}$
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$(- x - 3 y) (- 3 y - x)$

$(\frac{3}{4} m - 2 n) (\frac{4}{3} m - 2 n)$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
Für den Term $(\frac{3}{4} m - 2 n) (\frac{4}{3} m - 2 n)$ kann man keine binomische Formel anwenden, da die Terme in den Klammern gleich sein müssen. Aber $\frac{3}{4} m$ und $\frac{4}{3} m$ sind nicht gleich.
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$16 a^{2} - 16 a b + 4 b^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
$16 a^{2} - 16 a b + 4 b^{2}$ $=$ ${(4 a - 2 b)}^{2}$
↓
Erkennen und Auflösen der 2. binomische Formel.
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$\frac{1}{4} a^{2} - 4 a b + 4 b^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
Für den Term $\frac{1}{4} a^{2} - 4 a b + 4 b^{2}$ kann man keine binomische Formel anwenden, da bei diesen Quadrattermen der Mischterm $2 \cdot \frac{1}{2} a \cdot 2 b = 2 a b$ sein müsste.
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$25 a^{2} + 50 a b - 4 b^{2}$

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Binomische Formel
Die binomischen Formeln werden zum Auflösen einer Klammer oder zum Faktorisieren angewendet.
$25 a^{2} + 50 a b - 4 b^{2}$
Man kann keine binomische Formel anwenden. Die Quadratterme $25 a^{2}$ und $- 4 b^{2}$ haben unterschiedliche Vorzeichen. Für die erste und zweite binomische Formel müssen nämlich die Koeffizienten von $a^{2}$ und $b^{2}$ dieselben Vorzeichen haben. Außerdem müsste dann der Mischterm $2 \cdot 5 a \cdot 2 b = 20 a b$ sein und nicht wie hier $50 a b$ . Bei der dritten binomischen Formel haben zwar $a^{2}$ und $b^{2}$ unterschiedliche Vorzeichen, jedoch kann es dabei keinen Mischterm geben.
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CC BY-SA 4.0 → Was bedeutet das?

$(4 x + 5 y) (5 y + 4 x)$	$=$	$(4 x + 5 y) (4 x + 5 y)$
	↓	Mit dem Kommutativgesetz die Terme umstellen.
	$=$	${(4 x + 5 y)}^{2}$
	↓	Man kann die 1. binomische Formel anwenden.
	$=$	$16 x^{2} + 40 x y + 25 y^{2}$

$(8 x^{2} - 3 x) (8 x^{2} - 3 x)$	$=$	${(8 x^{2} - 3 x)}^{2}$
	↓	Man kann die 2. binomische Formel anwenden.
	$=$	${(8 x^{2})}^{2} - 2 \cdot 8 x^{2} \cdot 3 x + {(3 x)}^{2}$
	↓	Vereinfache mithilfe der Potenzgesetze
	$=$	$64 x^{4} - 48 x^{3} + 9 x^{2}$

$(8 x^{2} - 3 x) (3 x + 8 x^{2})$	$=$	$(8 x^{2} - 3 x) (8 x^{2} + 3 x)$
	↓	Man kann die 3. binomische Formel anwenden.
	$=$	$64 x^{4} - 9 x^{2}$

$(- x - 3 y) (- 3 y - x)$	$=$	$(- x - 3 y) (- x - 3 y)$
	↓	Mit dem Kommutativgesetz die Terme umstellen. Forme bzw. schreibe den Term dafür um.
	$=$	$[(- 1) \cdot (x + 3 y)] \cdot [(- 1) \cdot (x + 3 y)]$
	↓	Den Faktor $- 1$ ausklammern.
	$=$	${(- 1)}^{2} \cdot {(x + 3 y)}^{2}$
	$=$	${(x + 3 y)}^{2}$
	↓	Man kann die 1. binomische Formel anwenden.
	$=$	$x^{2} + 6 x y + 9 y^{2}$

$16 a^{2} - 16 a b + 4 b^{2}$	$=$	${(4 a - 2 b)}^{2}$
	↓	Erkennen und Auflösen der 2. binomische Formel.

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