a) Berechne die Seitenlänge $b$, falls gilt: $a = 8 \text{cm}$ und $c = \text{10 cm}$.

Wende den Satz des Pythagoras an.

Es gilt: $a^2+b^2= c^2$ stelle nach $b$ um.

$b= \sqrt{c^2-a^2}$

$b= \sqrt{(10cm)^2-(8cm)^2}$

$b= \sqrt{36cm^2}$

$b=6cm$

b) Drücken Sie allgemein, also unabhängig von den in Teilaufgabe a) betrachteten Zahlenwerten, $\sin\alpha$ und $\cos \alpha$ durch die Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ aus und zeigen Sie mithilfe dieser Ausdrücke, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: $(\sin \alpha)^2+(\cos \alpha)^2=1$.

Im rechtwinkeligen Dreieck gilt:

$a^2+b^2=c^2$

$\sin\alpha=\dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}=\dfrac{a}{c}$

$\cos\alpha = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}} =\dfrac{b}{c}$

Zeige, dass in jedem rechtwinkeligen Dreieck gilt:

$(\sin \alpha)^2+(\cos \alpha)^2=1$

Setze für $\sin\alpha = \dfrac{a}{c}$ und für $\cos\alpha=\dfrac{b}{c}$ ein.

$\bigg(\dfrac{a}{c}\bigg)^2+\bigg(\dfrac{b}{c}\bigg)^2=1$

$\dfrac{a^2+b^2}{c^2}=1\hspace{10mm}$ löse nach $c^2$ auf

$a^2+b^2=c^2$