a) Berechne die Seitenlänge $b$, falls gilt: $a=8\text{cm}$ und $c=\text{10 cm}$.

Wende den Satz des Pythagoras an.

Es gilt: $a^2+b^2=c^2$ stelle nach $b$ um.

$b=\sqrt{c^2-a^2}$

$b=\sqrt{(10cm{)}^2-(8cm{)}^2}$

$b=\sqrt{36c{m}^2}$

$b=6cm$

b) Drücken Sie allgemein, also unabhängig von den in Teilaufgabe a) betrachteten Zahlenwerten, $\sin \alpha$ und $\cos \alpha$ durch die Seitenlängen $a$, $b$ und $c$ aus und zeigen Sie mithilfe dieser Ausdrücke, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: $(\sin \alpha {)}^2+(\cos \alpha {)}^2=1$.

Im rechtwinkeligen Dreieck gilt:

$a^2+b^2=c^2$

$\sin \alpha ={\displaystyle \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}}={\displaystyle \frac{a}{c}}$

$\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}}={\displaystyle \frac{b}{c}}$

Zeige, dass in jedem rechtwinkeligen Dreieck gilt:

$(\sin \alpha {)}^2+(\cos \alpha {)}^2=1$

Setze für $\sin \alpha ={\displaystyle \frac{a}{c}}$ und für $\cos \alpha ={\displaystyle \frac{b}{c}}$ ein.

$({\displaystyle \frac{a}{c}}{)}^2+({\displaystyle \frac{b}{c}}{)}^2=1$

${\displaystyle \frac{a^2+b^2}{c^2}}=1$ löse nach $c^2$ auf

$a^2+b^2=c^2$