Gruppe A

Die Aufgabenstellung findest du hier zum Ausdrucken als PDF.

1
Bestimmen Sie für $x \in ℝ$ die Lösungen der Gleichung $5 - x (x - 2) = 2 x$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen umformen
Zuerst solltest du die Klammer auf der linken Seite der Gleichung ausmultiplizieren und danach die Gleichung nach $x$ auflösen:
$\begin{array}{rclcl} 5 - x (x - 2) & = & 2 x \\ 5 - x^{2} + 2 x & = & 2 x & | & - 2 x \\ 5 - x^{2} & = & 0 & | & + x^{2} \\ 5 & = & x^{2} \end{array}$
Jetzt ziehst du auf beiden Seiten die Wurzel und erhältst dann:
$x = \pm \sqrt{5}$
Die Lösungen der Gleichung sind also: $x_{1} = \sqrt{5}$ und $x_{2} = - \sqrt{5}$ .
2
(Löse folgende Aufgaben.)
1. Eine der folgenden Mengen ist die maximale Definitionsmenge des Term $\sqrt{3 - x}$ . Kreuzen Sie (nur) diese an.
  $ℝ$
  $ℝ ∖ {3}$
  $ℝ^{+}$
  $ℝ^{+} ∖ {3}$
  $ℝ_{0}^{+}$
  $ℝ_{0}^{+} ∖ {3}$
  $] - \infty; 3]$
  $] - \infty; 3 [$
  $] 3; + \infty [$
  $[3; + \infty [$
2. Begründen Sie anhand eines geeigneten Zahlenbeispiels, dass die in $ℝ$ definierten Terme $\sqrt{x^{2} + 16}$ und $x + 4$ nicht äquivalent sind.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Gleichungen
  Setze für die Variable $x$ z. B. den Wert 3 ein und berechne die Terme der linken und rechten Seite:
  $\begin{array}{l} \sqrt{x^{2} + 16} = x + 4 \\ \sqrt{3^{2} + 16} \neq 3 + 4 \\ \sqrt{25} \neq 7 \\ 5 \neq 7 \end{array}$
  Da die Terme der linken und rechten Seite für eine einzige Einsetzung unterschiedliche Ergebnisse liefern, sind sie insgesamt nicht äquivalent.
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3
Geben Sie jeweils ein Beispiel für einen Funktionsterm an, der zum beschriebenen Graphen passt.
1. Der Graph der Funktion $g$ besitzt eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung $x = 3$ .
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Asymptote
  Eine Voraussetzung für das Auftreten einer senkrechten Asymptote bei einer gebrochenrationalen Funktion ist eine Nullstelle des Nenners (Definitionslücke).
  Eine mögliche gebrochenrationale Funktion mit der Asymptote $x = 3$ ist z. B. $\frac{1}{x - 3}$ .
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2. Der Graph der Funktion $h$ ist eine Parabel, die achsensymmetrisch zur Gerade mit der Gleichung $x = - 2$ ist.
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Symmetrie zu Graphen
  Eine Parabel ist achsensymmetrisch. Die Symmetrieachse verläuft parallel zur y-Achse durch den Scheitelpunkt.
  Um einen Funktionsterm zu finden, der achsensymmetrisch zur Gerade x = -2 ist, gehe von der Scheitelpunktform aus.
  $h_{(x)} = (x - x_{s})^{2} + y_{s}$ setze für $x_{s} = - 2$ und für $y_{s} = 0$ . ( $y_{s}$ ist frei wählbar)
  also $(x + 2)^{2} + 0$ .
  Ein möglicher Funktionsterm, der achsensymmetrisch zur Gerade mit der Gleichung $x = - 2$ ist:
  $h (x) = (x + 2)^{2}$ = $x^{2} + 4 x + 4$ . Die Umwandlung in die Normalform ist nicht gefordert.
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4
Temperaturen werden in den USA üblicherweise nicht in °C (Grad Celsius), sondern in °F (Grad Fahrenheit) angegeben. Der nebenstehende Graph ver-anschaulicht den Zusammenhang zwischen Temperaturangaben in °C und °F. Im abgebildeten Thermometer werden auf der linken Seite die Angaben in °F, auf der rechten in °C angetragen
1. a) Lesen Sie aus dem Graphen ab, welche Angabe in °C einer Temperatur von 40°F in etwa entspricht, und tragen Sie den Wert im leeren Kästchen im Thermometer ein.
  (Anmerkung: Auf serlo.org kannst du die Lösung in das Eingabefeld eingeben.)
  °C
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Temperatureinheiten
  Gehe in dem Graphen, auf der Achse für die Temperaturanzeige in Fahrenheit, bei 40° F nach rechts bis zum Schnittpunkt mit der eingezeichneten Geraden und anschließend senkrecht nach unten zu der Achse für die Temperaturanzeige in ° C. Lies die Temperatur ab und beachte dabei den Maßstab.
  40 °F entspricht 4° C.
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2. Es gibt eine bestimmte Temperatur, bei der die Maßzahl der zugehörigen °C-Angabe die gleiche ist wie die der zugehörigen °F-Angabe. Lesen Sie diese Temperatur aus dem Graphen ab.
  °C / °F
  
  Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Temperatureinheiten
  Aus dem Graphen kannst Du ablesen, dass bei -40° die Maßzahl der °C und die Maßzahl der °F übereinstimmen.
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3. Mithilfe der Formel $c = (f - 32) \cdot \frac{5}{9}$ kann man eine Temperaturangabe $f$ in °F in eine Temperaturangabe $c$ in °C umrechnen. Lösen Sie die Formel nach $f$ auf. Geben Sie anschließend an, was sich damit als exakte Steigung der abgebildeten Gerade ergibt.
  
  Die Umrechnung einer Temperaturangabe f von °F in °C erfolgt mit der folgenden Formel:
  $c = (f - 32) \cdot \frac{5}{9}$
  $9 c = 5 f - 160$
  $5 f = 9 c + 160$
  $f = \frac{9}{5} c + 32$
  Als Steigung der Geraden ergibt sich also $\frac{9}{5}$ .
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4. Bei der UN-Klimakonferenz in Paris wurde im Jahr 2015 beschlossen, die Erderwärmung im Vergleich zum vorindustriellen Zeitalter auf unter 2°C zu begrenzen. Ein amerikanischer Schüler hört von diesem „2-Grad-Ziel“ und interpretiert die Gradangabe als 2°F. Entscheiden Sie, ob ein Anstieg um 2°F größer oder kleiner ist als ein Anstieg um 2°C, und begründen Sie Ihre Entscheidung.
  
  Mithilfe der Formel $c = (f - 32) \cdot \frac{5}{9}$ kann man eine Temperaturangabe $f$ in °F in eine Temperaturangabe in °C umrechnen. Berechnen wir nun mithilfe dieser Formel wieviel z.B. 36°F und 34°F in °C sind.
  $c = (36 - 32) \cdot \frac{5}{9} = (4) \cdot \frac{5}{9} = \frac{20}{9} = 2,22$
  $36 ° F \hat{=} 2,22 ° C$
  $c = (34 - 32) \cdot \frac{5}{9} = (2) \cdot \frac{5}{9} = \frac{10}{9} = 1,11$
  $34 ° F \hat{=} 1,11 ° C$
  Wie Du siehst, entspricht eine Temperaturdifferenz von $(36 ° F - 34 ° F) = 2 ° F$ einer Temperaturdifferenz von $(2,22 ° C - 1,11 ° C) = 1,11 ° C$ . Die Einheit °F ist also kleiner als die Einheit °C, demnach ist auch ein Anstieg um 2°F kleiner als einer um 2°C, siehe auch Thermometer oder Diagramm.
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5
Das Diagramm stellt die Altersstruktur der Bevölkerung in Mittelfranken in den Jahren 1987 und 2016 dar. Dabei betrug die Gesamtbevölkerung in Mittelfranken im Jahr 1987 rund 1,5 Mio. und im Jahr 2016 rund 1,8 Mio. Personen.
a) Die Personenzahl in der Altersgruppe der 50- bis unter 65-Jährigen hat von 1987 bis 2016 um einen bestimmten Prozentsatz zugenommen. Stellen Sie mithilfe geeigneter Zahlenwerte aus dem Diagramm einen Term auf, mit dem dieser Prozentsatz berechnet werden könnte.
b) Die Aussage „Etwa 20% der Bevölkerung sind 65 oder mehr Jahre alt.“ passt nur zu einem der beiden betrachteten Jahre. Geben Sie dieses Jahr an und begründen Sie Ihre Angabe.
c) Paul wundert sich, dass die beiden Säulen für die 15- bis unter 18-Jährigen so auffallend niedrig sind. Susi erklärt: „Das liegt nicht daran, dass diese Jahrgänge so besonders geburtenschwach sind, sondern es liegt an der Darstellung der Daten im Diagramm.“
Erläutern Sie, warum bei der gewählten Art der Darstellung tatsächlich zu erwarten ist, dass die Säule der 15- bis unter 18-Jährigen die kleinste ist, egal, ob man das Jahr 1987, das Jahr 2016 oder ein anderes Jahr betrachtet.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Prozentrechnung
Teilaufgabe a)
Die Personenzahl in der Altersgruppe der 50- bis unter 65-Jährigen hat von 1987 bis 2016 von 270 Tausend auf 380 Tausend zugenommen. Die Formel für den Prozentsatz lautet
$p = \frac{W}{G}$
Die Zunahme der Personenzahl zwischen 1987 und 2016 beträgt $380 - 270 = 110$ Tausend. Der Grundwert ist $270$ Tausend.
$p = \frac{110}{270}$
Teilaufgabe b)
Die Gesamtbevölkerung in Mittelfranken im Jahr 1987 betrug rund 1,5 Mio.
Davon waren 240 Tausend älter als 65 Jahre.
20% von 1,5 Mio sind $(1500000 : 100) \cdot 20 = 300000$ . Dies passt nicht zum Diagramm.
Die Gesamtbevölkerung in Mittelfranken im Jahr 2016 betrug rund 1,8 Mio. Davon waren 360 Tausend älter als 65 Jahre.
20% von 1,8 Mio sind $(1800000 : 100) \cdot 20 = 360000$ . Dies entspricht dem Diagramm.
2016 waren 20% der Bevölkerung älter als 65 Jahre.
Teilaufgabe c)
Die beiden Säulen für die 15- bis unter 18-Jährigen sind auffallend niedrig. Dies liegt daran, dass die Altersgruppe der 15-bis unter 18-Jährigen deutlich weniger Jahrgänge umfasst, als die anderen dargestellten Altersgruppen, siehe z.B. die Altersgruppe der 6-bis unter 15-Jährigen oder die Altersgruppe der 50-bis unter 65-Jährigen.
6
In einer Playlist eines Smartphones befinden sich 20 Lieder, darunter genau fünf mit deutschsprachigem Text. Die 20 Lieder werden in zufälliger Reihenfolge ohne Wiederholung abgespielt. $p$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ersten drei gespielten Lieder einen deutschsprachigen Text haben.
Erläutern Sie, warum der Ansatz $p = (\frac{1}{4})^{3}$ falsch ist, und geben Sie einen richtigen Ansatz zur Berechnung von $p$ an.

Von 20 Liedern haben 5 Lieder einen deutschsprachigen Text. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit $p$ , dass die ersten 3 gespielten Lieder einen deutschen Text haben? Da die Lieder ohne Wiederholung gespielt werden, ändert sich die Wahrscheinlichkeit dass ein deutschsprachiges Lied gespielt wird, von Lied zu Lied.
Die Wahrscheinlichkeit, dass das 1. Lied einen deutschen Text hat, beträgt $\frac{5}{20}$ . Nun sind es nur noch 19 Lieder, von denen 4 einen deutschen Text haben können und danach 3 von 18 Liedern mit deutschsprachigem Text. Also gilt:
$p = \frac{5}{20} \cdot \frac{4}{19} \cdot \frac{3}{18}$
7
Ein rechtwinkliger Holzkeil ist 10 cm lang und 2 cm hoch (vgl. schematische Abbildung). Das dünne Ende wird so weit wie möglich unter eine Tür geschoben. Dann ist nur noch ein 8 cm langes Stück des Keils zu sehen. Berechnen Sie die Höhe des Spalts unter der Tür.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Strahlensatz
Wenn nur noch 8 cm, des 10 cm langen Keils, zu sehen sind, dann wurden 2 cm unter die Tür geschoben. In der folgenden Seitenansicht kannst du dir das veranschaulichen.
Hier kannst du den 2. Strahlensatz für die V-Figur verwenden, um die Höhe h des Spalts unter der Tür zu berechnen. Mit dem Strahlensatz gilt:
$\begin{array}{lrcll} \frac{2 cm}{h} & = & \underset{= 5}{\underset{⏟}{\frac{10 cm}{2 cm}}} & | & \cdot h \\ 2 cm & = & 5 \cdot h & | & : 5 \\ 0,4 cm & = & h \end{array}$
Die Höhe des Spalts unter der Tür beträgt also $0,4 cm$ .
8
Betrachtet werden rechtwinklige Dreiecke $A B C$ mit rechtem Winkel bei $C$ und den in nebenstehender Abbildung verwendeten Bezeichnungen.
a) Berechnen Sie die Seitenlänge $b$ , falls gilt: $a = 8 cm$ und $c = 10 cm$ .
b) Drücken Sie allgemein, also unabhängig von den in Teilaufgabe a) betrachteten Zahlenwerten, $\sin α$ und $\cos α$ durch die Seitenlängen $a$ , $b$ und $c$ aus und zeigen Sie mithilfe dieser Ausdrücke, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: $(\sin α)^{2} + (\cos α)^{2} = 1$ .

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Satz des Pythagoras
a) Berechne die Seitenlänge $b$ , falls gilt: $a = 8 cm$ und $c = 10 cm$ .
Wende den Satz des Pythagoras an.
Es gilt: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ stelle nach $b$ um.
$b = \sqrt{c^{2} - a^{2}}$
$b = \sqrt{(10 c m)^{2} - (8 c m)^{2}}$
$b = \sqrt{36 c m^{2}}$
$b = 6 c m$
b) Drücken Sie allgemein, also unabhängig von den in Teilaufgabe a) betrachteten Zahlenwerten, $\sin α$ und $\cos α$ durch die Seitenlängen $a$ , $b$ und $c$ aus und zeigen Sie mithilfe dieser Ausdrücke, dass in jedem rechtwinkligen Dreieck gilt: $(\sin α)^{2} + (\cos α)^{2} = 1$ .
Im rechtwinkeligen Dreieck gilt:
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$
$\sin α = \frac{Gegenkathete}{Hypothenuse} = \frac{a}{c}$
$\cos α = \frac{Ankathete}{Hypothenuse} = \frac{b}{c}$
Zeige, dass in jedem rechtwinkeligen Dreieck gilt:
$(\sin α)^{2} + (\cos α)^{2} = 1$
Setze für $\sin α = \frac{a}{c}$ und für $\cos α = \frac{b}{c}$ ein.
$(\frac{a}{c})^{2} + (\frac{b}{c})^{2} = 1$
$\frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = 1$ löse nach $c^{2}$ auf
$a^{2} + b^{2} = c^{2}$