Wir betrachten einige Eigenschaften linearer Abbildungen zwischen Vektorräumen.
Inhaltsverzeichnis
Zusammenfassung
Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet
Inverse werden auf Inverse abgebildet
Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet
Kompositionen linearer Abbildungen sind linear
Untervektorräume werden auf Untervektorräume abgebildet
Spanne werden auf Spanne abgebildet
Zusammenfassung
Eine lineare Abbildung bzw. ein Vektorraumhomomorphismus erhält die Struktur des Vektorraums beim Abbilden. Dies zeigt sich in folgenden Eigenschaften einer linearen Abbildung f:V→W
Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet: f(0)=0
Inverse werden auf Inverse abgebildet: f(−v)=−f(v)
Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet
Kompositionen linearer Abbildungen sind linear
Bilder von Untervektorräumen sind Untervektorräume
Das Bild eines Spanns ist der Spann der einzelnen Bildvektoren:
f(span(M))=span(f(M)) (M⊆V ist eine beliebige Menge)
Nullvektor wird auf Nullvektor abgebildet
Der Ursprung hat in unserer Anschauung von Vektorräumen eine zentrale Bedeutung. Deshalb sollte der Ursprung durch eine lineare Abbildung auf den Ursprung geschickt werden. Was wir anschaulich mit dem Ursprung bezeichnen, ist formal das neutrale Element 0 der Addition. Wir zeigen also folgenden Satz:
Jede lineare Abbildung f:V→W zwischen zwei K-Vektorräumen bildet das neutrale Element von Vauf das neutrale Element in W ab. Formal bedeutet das f(0V)=0W.
Eine weitere wichtige Struktur des Vektorraums ist, dass es zu jedem Element ein additives Inverses gibt. Wir wollen nun zeigen, dass Inverse durch lineare Abbildungen erhalten bleiben.
Jede lineare Abbildung bildet das Inverse eines Elements auf das Inverse des Bildes von dem Element ab. Formal bedeutet das, dass für alle v in V gilt f(−v)=−f(v).
===f(−v)↓⏐−v=(−1)⋅Vvf((−1)⋅Vv)↓Homogenita¨t von f(−1)⋅Wf(v)↓⏐(−1)⋅Wf(v)=−f(v)−f(v)
Somit gilt nun f(−v)=−f(v).
Wir haben hier benutzt, dass −v=(−1)⋅Vv−v=(−1)⋅Vv für v∈V und −w=(−1)⋅Ww−w=(−1)⋅Ww für alle w∈Ww∈W. Dieser Zusammenhang gilt in jedem Vektorraum. Den Beweis findest du hier:
Linearkombinationen werden auf Linearkombinationen abgebildet
Lineare Abbildungen erhalten die Struktur einer Linearkombination und bilden damit Linearkombinationen im Definitionsbereich auf Ihre korrespondierenden Linearkombinationen im Wertebereich ab:
Eine Abbildung f:V→W zwischen zwei K-Vektorräumen V und W ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn sie Linearkombinationen erhält. Sprich: Jede lineare Abbildung bildet die Linearkombination von Elementen auf die Linearkombination von den Bildern der Elemente ab. Formal bedeutet das, dass für endlich viele v1,…,vn∈V und λ1,…,λn∈K gilt:
f(∑i=1nλi⋅Vvi)=∑i=1nλi⋅Wf(vi)
Kompositionen linearer Abbildungen sind linear
Nehmen wir zwei lineare Abbildungen f:V1→V2 und g:V2→V3. Beide vertragen sich mit der Vektorraumstruktur und erhalten Linearkombinationen. Dann sollte dies insbesondere auch für die Hintereinanderausführung beider Abbildungen g∘f:V1→V3 mit (g∘f)(v)=g(f(v)) gelten. Dies beweist der folgende Satz:
Seien f:V1→V2 und g:V2→V3 zwei lineare Abbildungen zwischen den K-Vektorräumen V1, V2 und V3. Dann ist auch die Komposition g∘f:V1→V3 dieser beiden Abbildungen mit (g∘f)(v)=g(f(v)) für v∈V1 eine lineare Abbildung.
Seien zunächst v1,v2∈V1 zwei beliebige Vektoren. Es ist
===(g∘f)(v1+v2)↓Definition von g∘fg(f(v1+v2))↓Additivita¨t von fg(f(v1)+(v2))↓Additivita¨t von gg(f(v1))+g(f(v2))↓Definition von g∘f(g∘f)(v1)+(g∘f)(v2)
Zum Beweis der Homogenität wählen wir ein beliebiges λ∈K und ein beliebiges v∈V1:
===(g∘f)(λ⋅v)↓Definition von g∘fg(f(λ⋅v))↓Homogenita¨t von fg(λ⋅f(v))↓Homogenita¨t von gλ⋅g(f(v))↓Definition von g∘fλ⋅(g∘f)(v)
Untervektorräume werden auf Untervektorräume abgebildet
Dass lineare Abbildungen die Vektorraumstruktur erhalten, kann man auch an folgender Eigenschaft sehen: Die Bilder von Untervektorräumen einer linearen Abbildung sind wieder Untervektorräume.
Sei f:V→W eine lineare Abbildung zwischen zwei K -Vektorräumen V und W. Dann ist das Bild f(U)={f(v):v∈U} jedes Untervektorraums U⊆V ein Untervektorraum in W.
Obiger Satz beweist auch, dass das Bild f(V) einer linearen Abbildung f:V→Wstets ein Vektorraum ist. Dies ergibt sich daraus, dass der Vektorraum V auch ein Untervektorraum von sich selbst ist. Nach dem obigen Satz ist damit f(V)={f(v):v∈V} ein Untervektorraum von W.
Spanne werden auf Spanne abgebildet
Nehmen wir nun an, wir haben eine Teilmenge M⊆V. Für diese Teilmenge gilt nun, dass es egal ist, ob wir zunächst den Spann berechnen und anschließend die Abbildung anwenden oder umgekehrt.
Dass dem wirklich so ist, zeigen wir mit dem folgenden Satz:
