Eigenschaften Linearer Abbildungen

Jede lineare Abbildung $f:V\to W$ zwischen zwei $K$-Vektorräumen bildet das neutrale Element von $V$auf das neutrale Element in $W$ ab. Formal bedeutet das ${\displaystyle f(0_{V})=0_{W}}.$

Es ist:

$\def\arraystretch{1.25} {\displaystyle {\begin{aligned}&f(0_{V})\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ 0_{V}=0_{V}+_{{}_{V}}0_{V}\right.}\\[0.3em]=&f(0_{V}+_{{}_{V}}0_{V})\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Additivität von }}f\right.}\\[0.3em]=&f(0_{V})+_{{}_{W}}f(0_{V}).\\[0.3em]\end{aligned}}}$

Wir haben also:

${\displaystyle f(0_{V})=f(0_{V})+_{{}_{W}}f(0_{V}).}$

Nun addieren wir ${\displaystyle -f(0_{V})}$ zu beiden Seiten:

$\def\arraystretch{1.25} {\displaystyle {\begin{aligned}0_{W}=&f(0_{V})+_{{}_{W}}(-f(0_{V}))\\[0.3em]=&f(0_{V})+_{{}_{W}}f(0_{V})+_{{}_{W}}(-f(0_{V}))\\[0.3em]=&f(0_{V})+_{{}_{W}}0_{W}\\[0.3em]=&f(0_{V}).\end{aligned}}}$

Somit gilt ${\displaystyle 0_{W}=f(0_{V})}$

Jede lineare Abbildung bildet das Inverse eines Elements auf das Inverse des Bildes von dem Element ab. Formal bedeutet das, dass für alle $v$ in $V$ gilt ${\displaystyle f(-v)=-f(v)}$.

Sei ${\displaystyle v}$ ein beliebiges Element des Vektorraums ${\displaystyle V}$.

$\def\arraystretch{1.25} {\displaystyle {\begin{aligned}&f(-v)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ -v=(-1)\cdot _{{}_{V}}v\right.}\\[0.3em]=&f((-1)\cdot _{{}_{V}}v)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Homogenität von }}f\right.}\\[0.3em]=&(-1)\cdot _{{}_{W}}f(v)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ (-1)\cdot _{{}_{W}}f(v)=-f(v)\right.}\\[0.3em]=&-f(v)\end{aligned}}}$

Somit gilt nun $f(-v)=-f(v)$.

Eine Abbildung $f:V\to W$ zwischen zwei ${\displaystyle K}$-Vektorräumen ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle W}$ ist genau dann eine lineare Abbildung, wenn sie Linearkombinationen erhält. Sprich: Jede lineare Abbildung bildet die Linearkombination von Elementen auf die Linearkombination von den Bildern der Elemente ab. Formal bedeutet das, dass für endlich viele $v_{1},\dots ,v_{n}\in V$ und $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\in K$ gilt:

$f\left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{V}}v_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\cdot _{{}_{W}}f\left(v_{i}\right)$

Seien ${\displaystyle f:V_{1}\to V_{2}}$ und ${\displaystyle g:V_{2}\to V_{3}}$ zwei lineare Abbildungen zwischen den $K$-Vektorräumen $V_{1}$, $V_{2}$ und $V_{3}$. Dann ist auch die Komposition ${\displaystyle g\circ f:V_{1}\to V_{3}}$ dieser beiden Abbildungen mit ${\displaystyle (g\circ f)(v)=g(f(v))}$ für ${\displaystyle v\in V_{1}}$ eine lineare Abbildung.

Seien zunächst ${\displaystyle v_{1},v_{2}\in V_{1}}$ zwei beliebige Vektoren. Es ist

$\def\arraystretch{1.25} {\displaystyle {\begin{aligned}&(g\circ f)(v_{1}+v_{2})\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}g\circ f\right.}\\[0.3em]=&g(f(v_{1}+v_{2}))\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Additivität von }}f\right.}\\[0.3em]=&g(f(v_{1})+(v_{2}))\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Additivität von }}g\right.}\\[0.3em]=&g(f(v_{1}))+g(f(v_{2}))\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}g\circ f\right.}\\[0.3em]&(g\circ f)(v_{1})+(g\circ f)(v_{2})\end{aligned}}}$

Zum Beweis der Homogenität wählen wir ein beliebiges ${\displaystyle \lambda \in K}$ und ein beliebiges ${\displaystyle v\in V_{1}}$:

$\def\arraystretch{1.25} {\displaystyle {\begin{aligned}&(g\circ f)(\lambda \cdot v)\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}g\circ f\right.}\\[0.3em]=&g(f(\lambda \cdot v))\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Homogenität von }}f\right.}\\[0.3em]=&g(\lambda \cdot f(v))\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Homogenität von }}g\right.}\\[0.3em]=&\lambda \cdot g(f(v))\\[0.3em]&{\color {Green}\left\downarrow \ {\text{Definition von }}g\circ f\right.}\\[0.3em]&\lambda \cdot (g\circ f)(v)\end{aligned}}}$

Sei ${\displaystyle f:V\to W}$ eine lineare Abbildung zwischen zwei ${\displaystyle K}$ -Vektorräumen $V$ und ${\displaystyle W}$. Dann ist das Bild ${\displaystyle f(U)=\{f(v):v\in U\}}$ jedes Untervektorraums ${\displaystyle U\subseteq V}$ ein Untervektorraum in ${\displaystyle W}$.

Obiger Satz beweist auch, dass das Bild ${\displaystyle f(V)}$ einer linearen Abbildung ${\displaystyle f:V\to W}$stets ein Vektorraum ist. Dies ergibt sich daraus, dass der Vektorraum ${\displaystyle V}$ auch ein Untervektorraum von sich selbst ist. Nach dem obigen Satz ist damit ${\displaystyle f(V)=\{f(v):v\in V\}}$ ein Untervektorraum von ${\displaystyle W}.$

Sei ${\displaystyle M\subseteq V}$ eine beliebige Teilmenge (nicht zwingend ein Untervektorraum!) des Vektorraumes ${\displaystyle V}$, dann gilt für den Spann von ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle \operatorname {span} (f(M))=f(\operatorname {span} (M))}$