Wahlteil - lernen mit Serlo!

Analytische Geometrie B1

Ein rechteckiger Spiegel hat die Eckpunkte $A(2|0|0),$ $B(-2|4|0)$ , $C(-2|4|4)$ und $D(2|0|4)$ . Er lässt sich um die Strecke $PQ$ durch die Punkte $P(0|2|0)$ und $Q(0|2|4)$ drehen.

Weiterhin ist für jedes $t \in \mathbb{R}$ eine Ebene $E_t$ durch die Gleichung $E_t:x_1+tx_2=2t$ gegeben. Für jedes $t$ wird durch die Ebene $E_t$ eine mögliche Lage des Spiegels dargestellt.

a) Zeichnen Sie den Spiegel und die Strecke $PQ$ in ein Koordinatensystem.

Zeigen Sie, dass der Spiegel in der Ebene $E_1$ liegt.

Zeichnen Sie die Ebene $E_3$ ein.

Der Spiegel dreht sich nun so, dass er in der Ebene $E_3$ liegt. Berechnen Sie, um wieviel Grad er sich dabei gedreht hat.

Beschreiben Sie, wie sich die Stellung des Spiegels in Abhängigkeit von $t$ ändert.

Bestimmen Sie, welche Stellung des Spiegels durch keine Ebene $E_t$ dargestellt wird.

b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Eckpunkte des Spiegels, wenn der Spiegel in der Ebene $E_3$ liegt und zeichnen Sie den Spiegel für diese Lage ein.

c) Im Punkt $L(6|8|1)$ befindet sich eine Lichtquelle, welche einen Lichtstrahl in Richtung $\begin{pmatrix}-3\\-3\\1\end{pmatrix}$ aussendet.

Zeigen Sie, dass der Lichtstrahl den Spiegel unabhängig von dessen Stellung immer im gleichen Punkt trifft.

Für diese Aufgabe benötigst Du folgendes Grundwissen: Ebene

Lösung zu a)

Die Ebene $E_1$ hat die Gleichung $E_1:\;x_1+x_2=2\;\Rightarrow\;\dfrac{x_1}{2}+\dfrac{x_2}{2}=1$

Aus der Achsenabschnittsform können die Achsenschnittpunkte (Spurpunkte) abgelesen werden:

$S_{x_1}(2|0|0)$ (Punkt $A$ in der Zeichnung) und $S_{x_2}(0|2|0)$ (Punkt $P$ in der Zeichnung)

Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $x_3$ -Achse, d. h. die Ebene $E_1$ verläuft parallel zur $x_3$ -Achse.

Nachweis, dass der Spiegel in der Ebene $E_1$ liegt

Prüfe, ob die vier Punkte des Spiegels in der Ebene $E_1$ liegen:

$A=S_{x_1}$ , damit ist $A\in E_1$

$B(-2|4|0) \in E_1?\;\Rightarrow\;-2+4=2\checkmark$

$C(-2|4|4) \in E_1?\;\Rightarrow\;-2+4=2\checkmark$

$D(2|0|4) \in E_1?\;\Rightarrow\;2+0=2\checkmark$

Damit liegt der Spiegel in der Ebene $E_1$ .

Die Ebene $E_3$ hat die Gleichung $E_3:\;x_1+3\cdot x_2=6\;\Rightarrow\;\dfrac{x_1}{6}+\dfrac{x_2}{2}=1$

Aus der Achsenabschnittsform können die Achsenschnittpunkte abgelesen werden:

$S_{x_1}(6|0|0)$ und $S_{x_2}(0|2|0)$ (Punkt $P$ in der Zeichnung)

Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $x_3$ -Achse, d. h. die Ebene $E_3$ verläuft parallel zur $x_3$ -Achse.

Darstellung des Spiegels $ABCD$ in der Ebene $E_1$ (orange). Gedrehter Spiegel in der Ebene $E_3$ (grün). Drehachse [PQ].

Spiegeldrehung

Drehung des Spiegels um den Winkel $\alpha$ , um die Achse $[PQ]$ . Der Winkel $\alpha$ ist der Winkel zwischen den beiden Ebenen $E_1$ und $E_3$ .

Aus den Koordinatendarstellungen der beiden Ebenen kannst du die Normalenvektoren ablesen:

$\vec n_{E_1}=\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\vec n_{E_3}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}$

Damit gilt für den Winkel: $\cos \alpha=\dfrac{\vec n_{E_1}\circ\vec n_{E_3} }{|\vec n_{E_1}|\cdot|\vec n_{E_3}|}$

$\Rightarrow\;\cos \alpha=\dfrac{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\circ\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix} }{\Big\vert\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}\Big\vert\cdot\Big\vert\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}\Big\vert}=\dfrac{1+3+0}{\sqrt{1^2+1^2+0^2}\cdot\sqrt{1^2+3^2+0^2}}=\dfrac{4}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{10}}=\dfrac{4}{\sqrt{20}}$

$\alpha=\arccos\left(\dfrac{4}{\sqrt{20}}\right)\approx26{,}57^{\circ}$

Antwort: Der Spiegel wurde um etwa $26{,}57^\circ$ gedreht.

Lage der Ebene $E_t$ in Abhängigkeit von $t$

$E_t:\;x_1+t\cdot x_2=2\cdot t$

Es gibt keinen Schnittpunkt mit der $x_3$ -Achse, d. h. die Ebene $E_t$ verläuft parallel zur $x_3$ -Achse.

Für $t=0$ ist $x_1=0$ , d.h. die Ebene $E_0$ liegt in der $x_2x_3$ -Ebene. Wenn der Betrag von $t$ größer wird, wird die $x_1$ -Achse bei größeren $x_1$ -Werten geschnitten $(S_{x_1}(2t|0|0))$ , während der Schnittpunkt mit der $x_2$ -Achse immer gleich bleibt $(S_{x_2}(0|2|0))$ . Die Ebene (und damit auch der Spiegel) dreht sich weiter um die Drehachse $[PQ]$ .

Liegt die Ebene (und damit auch der Spiegel) parallel zur $x_1x_3$ -Ebene, dann lautet die Ebenengleichung $x_2=2$ . Für kein $t$ kann aber die Ebene $E_t$ die Gleichung $x_2=2$ annehmen.

Lösung zu b)

$E_3:\;x_1+3\cdot x_2=6$

Dargestellt ist die Spiegellage in der $x_1x_2$ -Ebene.

Gesucht sind die Spiegelkoordinaten $A'B'C'D'$ in der Ebene $E_3$ .

Der Spiegel ist $4$ Einheiten hoch und $\Big\vert \overrightarrow{AB}\Big \vert$ breit.

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-2\\4\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix}$

$\Big\vert \overrightarrow{AB}\Big \vert=\sqrt{(-4)^2+4^2+0^2}=\sqrt{32}=2\cdot \sqrt{8}$

Demnach ist $\Big\vert \overrightarrow{PA'}\Big \vert=\dfrac{1}{2}\cdot \Big\vert \overrightarrow{AB}\Big \vert=\sqrt{8}$ und mit dem Satz des Pythagoras findest du:

$\vert \overline{PS_{x_1}} \vert=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}$

Der Punkt $A'$ hat die Koordinaten $A'(a|b|0)$ .

Im Dreieck $S_{x_1}OP$ kann dann der Strahlensatz angewendet werden.

$\dfrac{b}{2}=\dfrac{\sqrt{40}-\sqrt{8}}{\sqrt{40}}\;\Rightarrow\;b=2\cdot\left((1-\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\approx1{,}11$

Weiterhin gilt: $\dfrac{a}{6}=\dfrac{\sqrt{8}}{\sqrt{40}}\;\Rightarrow\;a=\dfrac{6}{\sqrt{5}}\approx2{,}68$

Der Punkt $A'$ hat die Koordinaten $A'(2{,}68|1{,}11|0)$ .

Durch Symmetrieüberlegungen findest du die anderen Koordinaten des gedrehten Spiegels.

Die $x_1$ -Koordinate vom Punkt $B'$ ist die negative $x_1$ -Koordinate des Punktes $A'$ .

Die $x_2$ -Koordinate von $A'$ ist $1{,}11$ . Aus der Zeichnung kannst du entnehmen, dass die $x_2$ -Koordinate vom Punkt $B'$ gleich $2+(2-1{,}11)=2{,}89$ ist.

Der Punkt $B'$ hat die Koordinaten $B'(-2{,}68|2{,}89|0)$ .

Der Punkt $C'$ liegt $4$ Einheiten oberhalb des Punktes $B'$ . Somit hat $C'$ die Koordinaten $C'(-2{,}68|2{,}89|4)$ .

Der Punkt $D'$ liegt $4$ Einheiten oberhalb des Punktes $A'$ . Somit hat $D'$ die Koordinaten $D'(2{,}68|1{,}11|4)$ .

Antwort: $A'(2{,}68|1{,}11|0);\;B'(-2{,}68|2{,}89|0);\;C'(-2{,}68|2{,}89|4);\;D'(2{,}68|1{,}11|4)$

Lösung zu c)

Geradengleichung für den Lichtstrahl

$g_{Licht}:\;\vec x=\begin{pmatrix}6\\8\\1\end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix}-3\\-3\\1\end{pmatrix}$

Berechne den Schnittpunkt der Geraden $g_{Licht}$ mit der Ebene $E_t$ :

$\displaystyle (6-3r)+t\cdot(8-3r)$	$=$	$\displaystyle 2t$
	↓	Löse die Klammern auf.
$\displaystyle 6-3r+8t-3rt$	$=$	$\displaystyle 2t$
	↓	Sortiere die Terme.
$\displaystyle -3r-3rt$	$=$	$\displaystyle -6-6t$	$\displaystyle \cdot(-1)$
$\displaystyle 3r+3rt$	$=$	$\displaystyle 6+6t$
	↓	Klammere $r$ aus.
$\displaystyle r(3+3t)$	$=$	$\displaystyle 6+6t$

Fallunterscheidung:

Fall 1: $t\neq-1$

Die letzte Gleichung kann nach r aufgelöst werden.

$\displaystyle r(3+3t)$	$=$	$\displaystyle 6+6t$	$\displaystyle :(3+3t)$
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \dfrac{6+6t}{3+3t}$
	↓	Klammere im Zähler $2$ aus.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle \dfrac{2(3+3t)}{3+3t}$
	↓	Kürze.
$\displaystyle r$	$=$	$\displaystyle 2$

Fall 2: $t=-1$

Setzt du $t=-1$ in die Gleichung $r(3+3t)=6+6t$ ein, dann erhältst du eine wahre Aussage $0=0$ , d.h. die Gerade liegt für $t=-1$ in der Ebene $E_t$ .

Zur Berechnung des Schnittpunktes setze $r=2$ in $g_{Licht}$ ein:

$\vec x_S=\begin{pmatrix}6\\8\\1\end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix}-3\\-3\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}$

Der Schnittpunkt $S$ ist unabhängig von $t$ , d.h. der Spiegel wird immer im gleichen Punkt $S$ getroffen. Der Punkt $S(0|2|3)$ liegt auf der Drehachse [PQ] des Spiegels.

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